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2025-2026学年福建省泉州市晋江市磁灶片区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1.下列四个实数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算中，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. 若，则 B. 算术平方根等于它本身的数是0
C. 对顶角相等 D. 在数轴上没有表示这个数的点
5.若的结果不含x的一次项，则p、q应满足( )
A. B. C. D.
6.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是( )
A. B.
C. D.
8.如图，若≌，且，，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.若x，y都是实数，且，则xy的平方根是( )
A. 6 B. C. D.
10.我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形.已知关于x的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有个
①当时，； ②存在实数x，使得； ③若，则；
④已知代数式M、N、P满足，，则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小： 填“>”、“=”或“<”
12.把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果……，那么……”的形式：__________________________________________.
13.已知，，则的值为 .
14.如图，D，E是边BC上的两点，，，现要直接用“SAS”定理来证明≌，请你再添加一个条件： .
15.已知，且，则的值为 .
16.对任意一个正整数m，如果，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点.例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点.把“矩数”p与“矩数”q的差记为，其中，若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为当时，求的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算题：
；
18.本小题8分
把下列多项式因式分解：
；
19.本小题8分
先化简，再求值：，其中，
20.本小题8分
如图，已知点E，C在线段BF上，，，求证：
21.本小题8分
已知：的立方根是，的算术平方根是5，c是的整数部分.
求a，b，c的值；
求的平方根.
22.本小题10分
长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为
用含a、b的式子分别表示和；
若a、b为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数.
23.本小题10分
对于任意四个有理数s、t、u、v，可以组成两个有理数对与，我们规定：，例如：
若是一个完全平方式，求常数k的值；
若，且，求xy的值.
24.本小题13分
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.
请利用图①所得的恒等式，解决如下问题：若，，求ab的值；
两个正方形ABCD，AEFG如图②摆放，边长分别为x，若，，请求出图中阴影部分的面积；
类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式、图③是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；
已知，，利用以上恒等式求的值.
25.本小题13分
综合实践
活动目的 探究因式分解的其他方法
材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则
材料2 “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下：
甲：
分成两组
直接运用公式
乙：
分成两组
提公因式
这种分解因式的方法叫作“分组分解法”.
材料3 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”.
例如：因式分解：解：设，则原式
学习上述材料内容，合作交流完成下列任务
任务1 因式分解：①；②
任务2 ①因式分解：；②若a，b，c分别为三边的长，且，请判断的形状，并说明理由.
任务3 ①因式分解：；②求证：多项式的值一定是非负数.
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.C
5.C
6.B
7.C
8.C
9.D
10.B
11.>
12.如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
13.12
14.
15.5
16.
17.解：
；
18.解：原式
；
原式
19.解：原式
，
当，时，
原式
20.证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，

21.解：的立方根是，的算术平方根是5，
，，
解得，，
又，而c是的整数部分，
，
即，，；
当，，时，，
的平方根为
22.解：由题意得，
，
，
是，是；
由题意得，
，
与的差一定是5的倍数．
23.解：，
是完全平方式，
；
，
，
即，
，
，
，
解得
24.解：由图①可知，大正方形面积为或，
，
，
；
由图可知，四边形ABCD和AEFG都是正方形，
，，，
，
又，
，
，
，
，
，
，即阴影部分的面积为8；
由图③得，正方体体积表示为，也可以表示为，
，
即；
，，
由得
，
25.解：①
；
②
解：①
；
②解：为等腰三角形，理由如下：由题意，，
，
，
，b，c分别为三边的长，
，则
为等腰三角形．
①解：
②证明：由题意得，
对于任意实数x都有，
多项式的值一定是非负数．

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