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陕西省西安一中2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．4，5，6 C．11，12，15 D．8，15，17
2．下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　）
A．东经122°，北纬43.6°
B．电影院8排22号
C．枣庄市青檀路
D．港口南偏东60°方向上距港口10海里
4．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（3，﹣6），则k的值等于（　　）
A．﹣18 B．﹣3 C．﹣2 D．
5．若点M的坐标是（4，﹣3），则点M到x轴的距离为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
6．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是（　　）
A．（0，2） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（﹣2，0）
7．已知函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx+k2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是（0，0），第2个点是（0，1），第3个点是（1，1），第4个点是（1，0）…根据这个规律，第2025个点是（　　）
A．（1011，1） B．（1012，1） C．（1011，0） D．（1012，0）
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是　 　 （用字母表示）．
10．9的算术平方根是 　 　 ．
11．2025年春节期间，动画电影《哪吒2》在各大影院热映．某影院规定，座位的位置采用“排数，座数”的形式来记录，例如5排7座记作为（5，7）．按照这个规则，10排2座应记为　 　 ．
12．将函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为　 　 ．
13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，分别以AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFH，点P是线段DE上的动点，点Q是线段BC上的动点，则△APQ的周长最小值为 　 　 ．
三、解答题（共81分）
14．（10分）计算：
（1）；
（2）．
15．（6分）已知一个正数的平方根是a+1和2a﹣4，a+2b﹣1的立方根为﹣2．
（1）求7a﹣b的算术平方根；
（2）点A（b，a）是否在一次函数y＝﹣2x﹣4的图象上？请说明理由．
16．（5分）如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为250m，现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试判断AC与BM的位置关系，并说明理由．
17．（6分）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1个单位长度．
（1）写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC的和最小，在图中直接标出P点即可．
18．（6分）已知y﹣3与x成正比例，当x＝2时，y＝7．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）计算x＝4时，y的值．
19．（6分）已知一次函数y＝﹣x+3．
（1）画出这个函数的图象；
（2）求坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＞x2时，则y1　 　 y2（填＞、＜或＝）．
20．（6分）藁城宫灯是石家庄藁城著名的特色传统手工艺品，始于东汉、盛于隋唐，因进贡宫廷故名“宫灯”，以造型优美、易于保存等特点驰名中外．李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：
甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折卖；
乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折卖．
设李老师购买宫灯的个数为x（个），甲商店所需费用为y1元，且y1＝7x+100；乙商店所需费用为y2元．
（1）甲商店一张会员卡的价格为 　 　 元；
（2）求y2的函数表达式；
（3）若李老师准备买40个宫灯，则选哪个商店比较合算，请说明理由．
21．（6分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在y轴上，求点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标．
22．（10分）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，如表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值．
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38
（1）由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为 　 　 cm；
（2）请直接写出y与x的关系式 　 　 ；
（3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程）
23．（8分）【阅读理解】
点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若d1≤d2，则称d1为点P的“微距值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例如，点P（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3＜5，所以点P的“微距值”为3．
【知识应用】
（1）点A（2，﹣3）的“微距值”为　 　 ；
（2）若点B（a，3）的“微距值”为2，求a的值；
（3）若点C在直线y＝﹣3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．
24．（12分）【模型建立】
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】
（1）如图1，若AD＝1，BE＝3，则△ABC的面积为　 　 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣3），A点的坐标为（6，0），求AB与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为：y＝2x+1，点A（4，2），在直线l上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
陕西省西安一中2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C C C D A D
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．a2+b2＝c2．
10．3．
11．（10，2）．
12．y＝3x+2．
13．．
三、解答题（共81分）
14．解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝5．
15．解：（1）∵一个正数的平方根互为相反数，有a+1+2a﹣4＝0，
解得：a＝1，
又∵a+2b﹣1的立方根是﹣2，即1+2b﹣1＝（﹣2）3，
解得：b＝﹣4，
∴7a﹣b＝7×1﹣（﹣4）＝11，算术平方根为：，
即7a﹣b的算术平方根为；
（2）不在，理由：
由（1）知 a＝1，b＝﹣4，点 A 的坐标为 A（﹣4，1），
当x＝﹣4时，y＝﹣2x﹣4＝﹣2×（﹣4）﹣4＝4，
∴点A（﹣4，1）不在一次函数y＝﹣2x﹣4的图象上．
16．解：（1）∵MN⊥AB，
∴∠ANM＝∠BNM＝90°，
∵MN＝120m，MB＝150m，
∴（m），
∴AN＝AB﹣BN＝160m，
∴m，
∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200m；
（2）AC⊥BM，
理由如下：∵AM＝200m，AB＝250m，BM＝150m，
∴AB2＝AM2+BM2，
∴∠AMB＝90°，
∴AC⊥BM．
17．解：（1）由图可知，A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图，
（3）连接AC1，交y轴于点P，则点P即为所求，
如图，
理由：∵C与C1对称，
∴PC＝PC1，
∴PA+PC＝PA+PC1＝AC1，
∴根据“两点之间线段最短”可得，PA+PC的和最小，
此时点P即为所求．
18．解：（1）∵y﹣3与x成正比例，
∴设y﹣3＝kx，
又∵x＝2时，y＝7，
∴7﹣3＝2k，即k＝2．
∴y﹣3＝2x，
即y＝2x+3．
故y与x之间的函数关系式y＝2x+3．
（2）当x＝4时，y＝2×4+3＝11．
故y的值为11．
19．解：（1）当x＝0时，y＝﹣1×0+3＝3，
∴一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴交于点（0，3）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
∴一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点（3，0）．
描点、连线，画出函数图象如图所示．
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，3），
∴一次函数y＝﹣x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积＝×3×3＝．
（3）∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
20．解：（1）∵y1＝7x+100，
∴当x＝0时，y1＝100．
故答案为：100；
（2）根据题意得y2＝10×0.9x＝9x，
（3）李老师准备买40个宫灯，则选乙商店比较合算，
理由：当x＝40时，y1＝7×40+100＝380，y2＝9×40＝360，
∵360＜380，
∴若李老师准备买40个宫灯，则选择乙商店比较合算．
21．解：（1）根据题意可知，2a﹣2＝0，
解得：a＝1，
则a+5＝6，
∴点P（0，6）；
（2）根据题意可知，2a﹣2+a+5＝0，2a﹣2＜0，a+5＞0，
解得：a＝﹣1，
则2a﹣2＝﹣4＜0，a+5＝4＞0，
∴点P（﹣4，4）．
22．解：（1）由表格可知，弹簧不挂物体的长度为18cm；
故答案为：18；
（2）y＝4x+18；
∵当x＝0时，长度为18cm；当x＝1时，长度为22cm，
∴当质量增加1kg，弹簧的长度就增加4cm，
∴当质量增加xkg，弹簧的长度就增加4xcm，
∴总长度y＝4x+18，
故答案为：y＝4x+18；
（3）当y＝50时，
50＝4x+18，
解得x＝8．
23．解：（1）∵3＞2，即d1＞d2，
∴点A的“微距值”为d2＝2，
故答案为：2．
（2）点B（a，3）到x轴的距离d1＝|3|＝3，
由条件可知点B到y轴的距离d2＝|a|＝2．
∴a＝2或a＝﹣2．
（3）设点C的坐标为（x，y），
∵点C在直线y＝﹣3x+6上，
∴y＝﹣3x+6．
情况一：当d1≤d2时 此时d1＝2，即|y|＝2．
当y＝2时，代入y＝﹣3x+6，得2＝﹣3x+6，
移项可得3x＝6﹣2，即3x＝4，
解得，
此时，
∵，
∴不满足d1≤d2，舍去．
当y＝﹣2时，代入y＝﹣3x+6，得﹣2＝﹣3x+6，
移项可得3x＝6+2，即3x＝8，解得，
此时，∵，满足d1≤d2，
∴点C坐标为．
情况二：当d1＞d2时 此时d2＝2，即|x|＝2．
当x＝2时，代入y＝﹣3x+6，
得y＝﹣3×2+6＝0，此时d1＝|y|＝0，
∵0＜2，不满足d1＞d2，
∴舍去．
当x＝﹣2时，代入y＝﹣3x+6，
得y＝﹣3×（﹣2）+6＝12，此时d1＝|y|＝12，
∵12＞2，满足d1＞d2，
∴点C坐标为（﹣2，12）．
综上，点C的坐标为或（﹣2，12）．
24．解：（1）∵∠E＝∠D＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∴在Rt△BEC与Rt△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS），
在直角三角形BEC中，AD＝EC＝1，BE＝CD＝3，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
故答案为：5；
（2）如图2，过点B作BE⊥y轴于点E，则∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠AOC＝90°，∠BCE+∠ECA＝90°，
∵∠BCE+∠ECA＝∠ACB＝90°，∠ECA+∠OAC＝180°﹣∠AOC＝90°，
∴∠BCE＝∠OAC．
在△BCE与△CAO中，
，
∴△BCE≌△CAO（AAS），
∴CE＝OA，BE＝OC，
∵C（0，﹣3），A（6，0），
∴CO＝3，AO＝6，
∴CE＝6，BE＝3，
∴OE＝CE﹣CO＝3，
∴B（﹣3，3）．
设直线AB的解析式为yAB＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当x＝0时，得：y＝2，
∴D（0，2）；
（3）在直线l上存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°；或；理由如下：
如图3，设点B，点B′是符合要求的两个点，即∠ABB′＝∠AB′B＝45°，
设B（a，2a+1），
如图3，过点B作直线平行x轴，过点A作直线平行y轴，两直线相交于点D，则∠ADB＝∠B′EA＝90°，
∵∠ABB′＝∠AB′B＝45°，
∴∠BAB′＝180°﹣∠ABB′﹣∠AB′B＝90°，AB＝AB′，
∵∠ABD+∠BAD＝180°﹣∠ADB＝90°，
∠B′AE+∠BAD＝180°﹣∠BAB′＝90°，
∴∠ABD＝∠B′AE，
在△ABD和△B′AE中，
，
∴△ABD≌△B′AE（AAS），
∴BD＝EA，AD＝B′E，
∵B（a，2a+1），A（4，2），
∴BD＝4﹣a，AD＝2﹣（2a+1）＝1﹣2a，
∴AE＝BD＝4﹣a，B′E＝AD＝1﹣2a，
∴B′（4﹣1+2a，2+4﹣a），即B′（3+2a，6﹣a），
∵点B′（3+2a，6﹣a）在直线y＝2x+1上，
∴2（3+2a）+1＝6﹣a，
解得：，
∴．

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