资源简介

2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（A卷）
一、单选题
1．中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
3．开口向上，顶点坐标为（﹣2，3）的抛物线为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2+3
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣2（x+2）2+3
4．已知二次函数，y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
5．如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠AOB＝30°，∠BOC的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
6．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有x个飞机场根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C． D．
7．若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两根，则a2+3a+b＝（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．若点A（2，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝（x﹣2）2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
9．已知关于x的方程x2﹣3mx+5m﹣2＝0的一个根为x＝2，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．6或10
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0 B．2a+b＜0 C．3b﹣2c＜0 D．3a+c＜0
二、填空题
11．若关于x的方程2（x﹣1）2＝m﹣1有实数根，则m的取值范围是　 　 ．
12．若抛物线y＝4x2向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 　 　 ．
13．如图，已知点A的坐标是，2），点B的坐标是（﹣1，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 　 　 ．
14．若抛物线y＝（m﹣2）x2+2x﹣1与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 　 　 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠DAB＝46°，则∠ACD＝ 　 　 °．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AE．下列结论：①△BDC≌△AEC；②四边形AECD的面积是a2；③若∠BDC＝105°，则；④AD2+BD2＝2CD2．其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
17．解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
18．小方格边长为1的正方形网格，在建立坐标系后，△ABC的顶点在格点上，点C坐标为（4，﹣1）．
（1）以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°作出△A1B1C；
（2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）写出点C2的坐标　 　 ．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，求证：DE∥AC．
20．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象，写出不等式﹣x2+bx+c＞x+2的解集．
21．如图△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求证：DE与⊙O相切；
（3）若BC＝18，AB＝12，求DE的长．
22．用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园．
（1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成
①设DE等于xm，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②菜园的面积能不能等于110m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值．
23．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若下表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求a的值．
24．图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠B＝60°，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形AEFG，设BE＝x．
（1）①纸片1中的EF＝ 　 　 （用含x的代数式表示）；若正方形AEFG的面积为27，则可列一元二次方程：　 　 ．
②请解①中的方程，并求AB的长．
（2）①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）．
②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？
25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
九年级期中数学参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B B D A C B D
二、填空题
11．m≥1．
12．y＝4（x+1）2﹣2．
13．（1，）．
14．m＞1且m≠2．
15．44．
16．①③④．
三、解答题
17．解：x2﹣2x﹣15＝0，
（x+3）（x﹣5）＝0，
∴x+3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝5．
18．解：（1）△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°得到△A1B1C，如图1即为所求；
（2）△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，如图2即为所求；
（3）根据图形知：C2（﹣4，1），
故答案为：（﹣4，1）．
19．证明：∵∠ACB＝120°，
∴∠ACE＝60°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，∠AED＝∠ACB＝120°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE＝60°，
∴∠AED+∠CAE＝180°，
∴DE∥AC．
20．解：（1）当x＝0时，y＝0+2＝2，
当y＝0时，x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
把（﹣2，0），（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣x+2．
（2）观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，
∴不等式﹣x2+bx+c＞x+2的解集为：﹣2＜x＜0．
21．（1）证明：连接CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD，
即点D是AB的中点；
（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：
连接OD，
∵AD＝BD，OC＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
（3）解：∵AB＝12，BD＝AD，
∴AD＝6，
∵CA＝CB＝18，
在Rt△ADC中，DC＝＝12，
∵DE⊥AC，
∴ AD CD＝ AC DE，
∴DE＝＝4．
22．解：（1）①由题意可得：设DE等于xm，则DC＝（32﹣x）m，
故菜园面积y与x之间的函数关系式为：y＝（32﹣x）x＝﹣x2+16x，（0＜x≤8）；
②若菜园的面积等于110 m2，则﹣x2+16x＝110．
解得：x1＝10，x2＝22．
因为0＜x≤8，所以不能围成面积为110m2的菜园．
（2）设DE等于xm，则菜园面积为：
y＝x（32+8﹣2x）
＝﹣x2+20x
＝﹣（x﹣10）2+100（0＜x≤20），
当x＝10时，函数有最大值100．
答：当DE长为10 m时，菜园的面积最大，最大值为100 m2．
23．解：（1）当a＝12时，每户居民用水量每月不超过12吨时，每吨按0.3×12＝3.6元缴纳水费；每月超过12吨时，超过部分每吨按0.4×12＝4.8元缴纳水费，
∴某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费为12×3.6+（22﹣12）×4.8＝91.2（元）；
（2）∵18×0.3×18＝97.2＞62，
∴a＜18，
根据题意得0.3a a+（18﹣a）×0.4a＝62，
整理得a2﹣72a+620＝0，
解得a＝10或a＝62（舍去），
当a＝10时，0.3×10×10+（24﹣10）×0.4×10＝86，成立，
∴a的值为10．
24．解：（1）①∵四边形AEFG为正方形，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEF＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝30°，
∴FB＝2BE＝2x，
∴，
∴．
故答案为：，3x2＝27；
②3x2＝27，
x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴BE＝3，，
∴；
（2）①过点A作AM⊥BC，设AM为裁剪线，
∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴将△ABM绕点A逆时针旋转90°得出△ADN，如图，
∴AM＝AN，∠B＝∠ADN，∠BAD＝90°．
∵∠BCD＝90°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADN＝180°，
∴C、D、N三点共线，
∴∠N＝∠MCN＝∠AMC＝90°，
∴四边形AMCN为矩形，
∴矩形AMCN为正方形，即此时拼出的正方形面积最大；
②（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，（1）中的正方形面积较大；理由如下：
由（2）①可知∠AMB＝90°，
又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，
∴∠BAM＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，（1）中的正方形面积较大．
25．（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴分别将 A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中，
得，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为．
（2）证明：连接CN，如图，
∵b＝1，
∴y＝ax2+x﹣1，
当x＝﹣1时，y＝a﹣2，
∴M（﹣1，a﹣2），
当x＝1时，y＝a，
∴N（1，a），
∵C（﹣1，a），N（1，a），
∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，
∴，
∵，
∴DN＝MN，
∴∠NDM＝∠NMD，
∵DN∥CM，
∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，
∴MD平分∠CMN．
（3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，
当a＝1时，y＝x2+bx﹣1，
∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，
令x2+bx﹣1＝x﹣1，
解得x1＝0，x2＝1﹣b．
∵b≤﹣2，
∴x2＝1﹣b≥3，
点G在H的上方，如图，
设GH＝t，则t＝﹣m2+（1﹣b）m，
其对称轴为，且，
①当时，即﹣5≤b≤﹣2，
由图可知，
当时，t取得最大值，
解得b＝﹣3或b＝5（舍去），
②当时，得b＜﹣5，
由图可知，
当m＝3时，t取得最大值﹣9+3﹣3b＝4，
解得（舍去），
综上所述，b的值为﹣3．

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