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期中检测卷
时间:100分钟 满分:120分
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列是最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2.下列三角形是直角三角形的是 ( )
3. 在 ABCD中,已知∠B+∠D=90°,则∠C的度数为 ( )
A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
4.一个多边形的内角和为1 260°，则这个多边形是 ( )
A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
5.下列各式计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
6. 若a=2025,则代数式的值为 ( )
A. - 1 B. 1 C. 2 024 D. 2 026
7. 如图,在矩形ABCD 中,连接BD,延长DA 至点E使AE=BD,连接CE.已知∠CDB=56°,则∠ECD 的度数为 ( )
A. 72° B. 73° C. 74° D. 75°
8.蓝丝带海洋保护协会是以海洋环境保护为主旨的民间公益社会团体.如图是壮壮参加某地蓝丝带志愿者服务活动时，用一段矩形绸缎制作了一条宽为4cm的蓝丝带，若∠BAD=45°，则重叠部分图形ABCD 的形状和面积分别是 ( )
A. 菱形,8cm B. 菱形,
C. 矩形,8cm D. 矩形,
9.为避免出现游客因找不到垃圾箱而随手乱扔的现象，某景区管理员决定增加沙滩上垃圾箱的数量.如图，该区域目前有两个垃圾箱A和B，垃圾箱B在A 的北偏东45°方向上，两者相距60米，景区管理员计划在垃圾箱B的南偏东75°方向上，与垃圾箱B 相距100米的位置新增一个垃圾箱C，则垃圾箱 C 与垃圾箱A之间的距离为 ( )
A. 110米 B. 120米 C. 130米 D. 140米
10.如图,在正方形ABCD中,E为BC 的中点,以 CE 为直角边向正方形ABCD 外作等腰直角△CEF,∠CEF=90°,连接AF,G为线段AF上一点,连接CG,若AF=2 ，则CG的最小值为 ( )
A. 2 B. C. D.
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11.若二次根式 有意义，则x的取值范围是 .
12.在平面直角坐标系中，点(6，8)到原点的距离为 .
13. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D,E,F分别是AC,BC,CD的中点,连接BD,EF,已知EF=2,则AC 的长为 .
14.趋势情境真实问题，如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是弧长为18m的半圆，其边缘AB=CD=30m，点E在CD上，CE=6m.一位滑板爱好者从点A 出发滑到点 E，则他滑行的最短距离为 m.
15.(黑白卷改编)如图，将△ABC沿直线DE 折叠后，使点A落在BC边上的点A'处，且A'E∥AB.则有下列结论:①∠BDA'=∠BA'D;②A'C=A'E;③DE= BC;④A'D=A'E.其中一定正确的是 (填序号).
三、解答题(本大题共8小题，共75分)
16. (8分)计算:
17. (8分)如图,在 中,D为BC的中点,连接AD.
(1)用尺规作图法在△ABC下方作 且射线 BE 与AD 的延长线交于点 F(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)；
(2)在(1)的条件下，连接CF，求证四边形ABFC 为平行四边形.
18.(9分)如图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中， 的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)求AB的长;
(2)求证 为直角三角形.
19.(9分)如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点 O，过点B作AC的平行线交DC 的延长线于点E,连接OE.
(1)求证BD=BE;
(2)若BE=10,CE=6,求 的面积.
20.(9分)如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路AB，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂 D的北边，B市和工厂 C 之间有一大型水库.从工厂 C 修建了两条公路通往A 市和工厂D，已知AC=15km,CD=12km,AD=9km.
(1)试通过计算说明CD长是工厂 C到公路AB 的最短距离； (2)请你连接DF，已知 ,求 DF 的长.
(2)若AB=BC,，求工厂 C到 B市的距离.
21. (10分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点 O. E,F,G分别为OB,BC,OC的中点,连接EF,FG.
(1)求证四边形 EFGO为矩形;
(2)请你连接DF,已知 求DF的长.
22.(10分)观察下列等式:
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)试猜想: (n为正整数)；
(2)计算:
23. (12分)正方形ABCD和正方形 DEFG按如图①放置,AB=2,DG=4,，点A，D，G在同一条直线上，点C在DE边上，连接AE和CG，现将正方形ABCD绕着点 D 逆时针旋转，假设旋转角为α，据此回答下列问题.
(1)当 时，试猜想AE和CG的数量关系和位置关系，并证明；
(2)当旋转到如图②所示位置时，问题(1)中的结论还成立吗 请说明理由；
(3)在旋转过程中，当点B，C，G在同一条直线上时，求 BG的长度.
1. C
2. C
3. D 【解析】∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∠B=∠D.∵∠B+∠D=90°,∴ ∠B=∠D=45°,∴∠C=180°-∠B=135°.
4. C【解析】设这个多边形是 n边形，根据题意，得 ，解得n=9，∴这个多边形是九边形.
5. C 【解析】 , 不是同类二次根式，不能合并，故A 选项错误； 故 B选项错误； 故C 选项正确； 故D选项错误.
6. D 【解析】∵ a=2 025>0,∴ 原式=|2a|- .将a=2025代入,得原式=2025+1=2026.
7. B 【解析】如解图,连接AC 与 BD 相交于点 O.∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BCD=∠CDA=90°,AC=BD,OA=OD.∵∠CDB=56°,∴∠ODA=34°,∴∠OAD=∠ODA=34°. ∵ AE=BD,∴AE=AC, ∴∠BCE=∠E=17°,∴∠ECD=∠BCD-∠BCE=
8. B【解析】如解图(截取蓝丝带的一部分)，过点D分别作DH⊥AB 交AB 于点 H,DI⊥BC 交 BC 于点I,∵丝带的形状是宽为4 cm的矩形,∴BA∥CD,BC∥AD,DH=DI,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.∵S四边形ABCD=AB·DH=BC·DI,∴AB=BC,∴ 四边形 ABCD 是菱形. ∵∠DHA = 90°,∠BAD =45°,∴∠ADH=45°,在 Rt △ADH 中,∵DH= 4 cm,∴AH=4cm,由勾股定理,得AD=4 cm,∴AB=
9. D 【解析】如解图,过点A 作AD⊥CB交 CB 的延长线于点 D，由题意，得 ∴∠DBA= 60°,∴ ∠DAB = 30°,∴ BD = AB =30(米). ∴ 在 Rt △ABD 中, 30 (米),∴CD=BD+BC=30+100=130(米),∴在Rt△ACD 中,由勾股定理,得 140(米).
10. D 【解析】如解图,连接AC.∵ 四边形 ABCD 为正方形,△CEF 为等腰直角三角形,∴ ∠B =∠CEF=90°,AB=BC,CE=EF,∴∠BAC=∠BCA,∠BCF=∠EFC,∠BAC +∠BCA = 90°,∠BCF+∠EFC=90°,∴∠BAC=∠BCA=∠BCF=∠EFC=45°.∴∠ACB+∠BCF=90°,∴∠ACF=90°.∵E 为BC 的中点,∴ 可设 CE 为 x,则 BC 为 2x,在Rt△ABC中, 在 Rt△CEF中, 在 Rt△ACF 中,由勾股定理，得 即 解得 (负值已舍去),∴AC=2 x=4,CF= .x=2,当CG⊥AF时,CG取最小值,由等体积法，得 解得 CG=
11. x>2 【解析】由题意,得x-2≥0,即x≥2,又
12. 10 【解析】点(6,8)到原点的距离为
13. 8 【解析】∵E,F分别是BC,CD的中点,且EF=2,∴EF 是△BCD 的中位线,∴ BD =2EF =4,∵△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,D 是AC 的中点,∴AC=2BD=8.
14.30 【解析】将中间滑行部分曲面展开如解图所示,连接AE,根据题意,得 AD=18 m,AB=CD=30m,∴DE=CD-CE=30-6=24(m),在 Rt△ADE中，根据勾股定理，得 他滑行的最短距离为30m.
15. ④ 【解析】如解图,连接AA',∵A'E∥AB,∴∠A'ED=∠ADE.∵∠AED=∠DEA',∴∠ADE=∠AED.∴AD=AE.又∵AD =A'D,AE =A'E,∴AD=A'D=A'E=AE,∴四边形ADA'E 为菱形.∴AC∥A'D,当∠BDA'=∠BA'D时,需满足∠BAC=∠BCA,故①不一定正确;同理当A'C=A'E时,需满足∠BAC=∠BCA,故②不一定正确;∵DE 经过AA'的中点,当DE= BC时,需满足DE∥BC,故③不一定正确;∵四边形ADA'E 为菱形,∴A'D=A'E,∴④一定正确.
16.解:(1)原式
(4分)
(2)原式
(4分)
17. (1)解:如解图,∠CBE 和点 F 即为所求(作法不唯一); (4分)
(2)证明:如解图,
∵D为BC的中点,
∴BD=CD.
在△ACD 和△FBD中,
∴△ACD≌△FBD(ASA),
∴AC=FB.
∵∠ACB=∠CBF,
∴AC∥BF,
∴四边形ABFC为平行四边形. (8分)
18.(1)解：由题意和题图可得， (4分)
(2)证明：由题意和题图可得，
由(1)知,
∴△ABC为直角三角形. (9分)
19. (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC 是平行四边形，
∴AC=BE,
∴BD=BE; (4分)
(2)解:如解图,过点O作 OF∥BC交CD于点 F.
∵ 四边形ABCD 为矩形,
∴BC⊥DE,OB=OD.
∴OF⊥DE.
∵BD=BE,BE=10,
∴BD=10,CD=CE=6,
∵OB=OD,OF∥BC,
∴OF为△BCD的中位线,
(9分)
20.解:(1)∵AC=15 km,CD=12 km,AD=9 km,9 +
∴△ACD 是直角三角形,∠ADC=90°,
∴CD⊥AB,
∴ CD长是工厂C到公路AB的最短距离； (5分)
(2)设AB=BC=x km,则BD=AB-AD=(x-9) km,由(1)得∠ADC=90°,∴∠CDB=90°,
∴在 Rt△BCD 中,由勾股定理,得 CD ,
即 解得x=12.5,
∴工厂C到 B市的距离为12.5k m. (9分)
21. (1)证明:∵E,F,G分别为OB,BC,OC的中点,
∴EF,FG是△OBC的中位线,
∴EF∥OC,FG∥OB,
∴ 四边形 EFGO 是平行四边形: (2分)
∵ 四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠GOE=90°,
∴ 四边形 EFGO 是矩形; (4分)
(2)解:如解图,连接DF,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD=CD,OB=OD,OA=OC,AC⊥BD.
∵∠ADC=60°,
∴△ACD 是等边三角形,
∴AC=CD=AD=8,
在Rt△COD中，由勾股定理，得 4 (6分)
∵E,G分别为OB,OC的中点,
由(1)知,四边形EFGO 是矩形,
∴EF=OG=2,∠FED=90°,
(10分)
22.解: (4分)
(2)原式
0分)
23.解:(1)AE=CG,AE⊥CG. (2分)
证明:如解图①,延长GC,交AE于点 M.
∵ 四边形ABCD 与四边形 DEFG均为正方形,
∴AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠CDG=90°,
在△ADE 和△CDG中
∴△ADE≌△CDG(SAS), (4分)
∴AE=CG,∠AED=∠CGD.
∴∠DAE+∠CGD=∠DAE+∠AED=90°.
∴∠GMA=90°,
∴AE⊥CG; (5分)
(2)成立. (6分)
理由如下：
如解图②,延长GC,交AE于点 N,交 DE 于点 O,同(1)易证得,△ADE≌△CDG,
∴AE=CG,∠AED=∠CGD.
又∵∠EON=∠GOD,
∴180°-∠AED-∠EON=180°-∠CGD-∠GOD,
∴∠ONE=∠ODG=90°,
∴AE⊥GC; (8分)
(3)在旋转的过程中，当点 B，C，G在同一条直线上时，存在下面两种情况：
①如解图③，∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠DCB=90°,DC=BC=AB=2.
∴ ∠DCG=180°-∠DCB=90°,
在Rt△DCG 中,由勾股定理,得 (9分)
10分)
②如解图④,同(3)①可得,
综上所述，当点 B，C，G在同一条直线上时，BG的长度是 或 (12分)

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