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第二十一章 四边形 单元检测卷(一)
时间:100分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1. 如图,l ∥l ,A,D在l 上,B,C在l 上,AB∥CD,若AB=3,则CD的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是 ( )
A.十边形 B.九边形 C.八边形 D.七边形
3. 如图,将 ABCD的一边AD延长至点E,若∠1=55°,则∠B的度数为 ( )
A. 100° B. 105° C. 110° D. 125°
4. 如图,在矩形ABCD中,AC,BD 相交于点O,若AB=6,AO=5,则矩形ABCD 的面积为 ( )
A. 24 B. 30 C. 48 D. 60
5.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，已知△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上，D为线段BC的中点，则线段AD的长为 ( )
A. B. 7 C. D.
6. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,连接AC,BD,E,F,G,H分别为边AB,BD,DC,AC 边上的中点,顺次连接点 E,F,G,H,则四边形 EFGH是 ( )
A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形
7.如图是一块四边形空地ABCD，小华爸爸计划在原有基础上扩大空地面积，将空地的两边 BA，CD 延伸围成 已知A，D分别是BE,CE的中点,若BC=8m,四边形空地ABCD 的周长为20m,则围成三角形空地 EBC 还需要木栅栏的长是 ( )
A. 6m B. 8m C. 9 m D. 10m
8. 如图,在 ABCD中,E是对角线BD上一点,连接AE,CE.若点E在线段 AB 的垂直平分线上，点B 在线段 EC 的垂直平分线上，且∠BCE=75°,则∠AEB的度数为 ( )
A. 140° B. 145° C. 150° D. 155°
9.如图，将矩形ABCD 先进行对折，折痕为 PQ，展开后沿 EC 再次折叠,使点B落在折痕PQ 上的点 F处,CE交 PQ 于点 G.若BC 的长为3，则线段FG的长为 ( )
A. B. C. D. 3
10.在边长为6的正方形ABCD 中，将含45°角的直角三角尺按如图所示放置在正方形ABCD 上方,边AE,AF分别交BC,CD 于点M,N,连接MN,则下列结论:①MN=BM+DN;②当M为BC的中点时,N为 CD的中点;③当M为BC的中点时,△AMN的面积为15;④点A 到 MN的距离为6，其中正确的结论为 ( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11.添加一个条件，使矩形ABCD 是正方形，这个条件可以是 .
12.如图，有4个全等的圆，它们彼此分离，将它们的圆心连接起来形成一个四边形.若圆的半径为1，则图中阴影部分的总面积为 (结果保留π).
主题情境 窗是建筑美学与实用功能的融合体，其边框线条勾勒出的特殊四边形，更暗藏着几何世界的严谨规律.请完成第13~14题:
13.小方在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花纹(如图①)吸引，他从中抽离出一个菱形ABCD(如图②)，已知菱形ABCD的周长是80cm,∠ABC=60°,则点 B 与点 D 之间的距离为 cm.
14.如图①是小方在参观完博物院后用一张彩纸剪出来的窗棂图案轮廓，图②是其抽象出的部分几何示意图，四边形 ABCD 和四边形EFGH均为正方形,若CE=4,正方形的边长为4,且点A,C,E,G在同一条直线上，则矩形 MNOP 的面积为 .
15. 如图,在菱形ABCD中,AB=8,E,F分别为AB,BC的中点,P是AC上的一个动点，则PE+PF的最小值是 .
三、解答题(本大题共6小题，共55分)
16.(6分)已知正多边形的一个内角比与它相邻的外角的4倍少20°.
(1)求这个正多边形的边数；
(2)求这个正多边形的内角和.
17. (8分)如图,在 中，E为对角线BD 上一点，连接EA，过点C作 交BD于点 F.求证.BF=DE.
18. (8分)如图,在菱形ABCD中,过点 D 作. 于点 E.
(1)尺规作图:过点 D 作 BC 的垂线,交BC 于点 F(不写作法,保留作图痕迹，并标明字母)；
(2)在(1)的基础上,求证.AE=CF.
19. (10分)如图,在 中，分别过点A，C作BC，AB边的平行线交于点 D,E,F分别是BC,AD的中点,连接AE,CF.
(1)求证四边形AECF 是平行四边形；
(2)当AB，AC之间满足什么数量关系时四边形AECF 是矩形，请说明理由.
20.(11分)如图，用硬纸板剪一个矩形ABCD，作它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在矩形上的直细木条(宽度忽略不计)固定在点O 处，并使细木条可以绕点 O 转动.拨动细木条，使它随意停留在任意位置.设细木条分别交矩形ABCD 的边AD，BC 于点E,E.
(1)任选一个结论证明:①OE=OF;②DE=BF;
(2)在细术条转动过程中，当E，F恰好是AD；BC的中点时，对角线AC，上有一点P，使 ,若AB=5,BC=12,求AP 的长.
21. (12分)【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，在正方形ABCD 中，点E，F分别是边BC，CD上的点，连接AE，BF 相交于点 G，请同学们结合图形提出自己的猜想并证明.以下是小亮的猜想：
小亮:若AE⊥BF,则AE=BF.(1)请帮助小亮证明他的猜想;
【类比探究】(2)如图②,当点 E,F分别在正方形ABCD 的边 CB,DC的延长线上时,连接AE,BF,FB 的延长线交AE 于点 G,此时(1)中小亮的猜想是否仍然成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【解决问题】(3)如图③，将图①中的线段 BF 向上平移后得到线段MN,此时,若AE⊥MN,则AE=MN这一猜想是否成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
1. C 【解析】∵l ∥l ,A,D 在l 上,B,C在l 上,AB∥CD,∴ 四边形ABCD 为平行四边形,∴ CD=AB.∵AB=3,∴CD=3.
2. D【解析】设这个多边形是 n 边形，则(n-2)·180°=900°,解得n=7,∴这个多边形是七边形.
3. D 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠B=∠ADC. ∵ ∠ADC = 180°-∠1 = 125°,∴∠B=125°.
4. C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形,且AO=5,∴AC=2AO=10,∠ABC=90°.∵AB=6,∴ 在 Rt△ABC 中,
5. C【解析】根据勾股定理得 AC =BC ,∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°.∵ D 为 BC 的中点,
6. A 【解析】∵E,F分别是AB,BD的中点,∴ EF= 同理可得 ∵AD=BC,∴EH=GH=FG=EF,∴四边形 EFGH是菱形.
7. B 【解析】∵A,D 分别是 BE,CE的中点,∴AE=AB,DE=CD,AD 为△EBC的中位线.∵BC=8m
∵AE⊥BF,∴∠BGE=90°,
∴ ∠GBE+∠GEB=90°.
∵∠BAE+∠GEB=90°,
∴∠BAE=∠GBE,即∠BAE=∠CBF. … (1分)
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴AE=BF; (3分)
(2)解:成立. (4分)
证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABE=∠ABC=∠BCF=90°.
∵AE与BF所在直线垂直,∴∠BGA=90°,
∴ ∠BAE+∠ABG=90°.
∵∠CBF+∠ABG=90°,∴∠BAE=∠CBF.
在△ABE和△BCF 中,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴AE=BF; (7分)
(3)解:成立. (8分)
证明如下：如解图，过点N作 NK⊥AB于点 K，∵四边形ABCD 是正方形，由题易知四边形ADNK 是矩形,∠ABE=∠MKN=90°.
∴AB=AD=KN.
∵AE⊥MN,∴∠AGM=90°,
∴ ∠MAG+∠AMG=90°.
∵∠MNK+∠AMG=90°,
∴∠MNK=∠MAG. (10分)
在△NKM 和△ABE中,
∴△NKM≌△ABE(ASA),
∴ MN=EA,即AE=MN. (12分)

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