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第2章 二元一次方程组 单元自测卷
建议用时：100分钟，满分：120分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
3．用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程组的解为，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
5．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买了多少件．设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．方程组的解满足、互为相反数，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
8．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
9．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（）
A． B． C． D．
10．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．已知方程，用含x的代数式表示y，则_______．
12．写出一个解为的二元一次方程组____________．
13．、、各代表一个数，已知：，，，那么_____．
14．已知则______．
15．若关于，的方程组的解满足，则的值为________．
16．已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则___________．
三、解答题：本题共8小题，共72分．
17．解方程组：
(1)；
(2)
18．解方程组．
19．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值．
20．列方程解应用题：
“太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术，经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高，我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为99元/盆．为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数．
21．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，．
(1)当时，求c的值；
(2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解．
22．2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划用960万元采购A型和B型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
23．观察发现：
解方程组：
将①整体代入②得．
解得．
把代入①，．
故原方程组的解为．
这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答．
(1)实践运用：
请用“整体代入法”解方程组．
(2)拓展提升：
请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体）
24．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
(1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母）
A．　B．　C．　D．
(2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需同时满足含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程这三个条件”是解题的关键．
根据二元一次方程的定义（含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程），逐一判断选项是否符合条件．
【详解】解：二元一次方程需满足：①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程．
选项A、，的次数为2，不符合；
选项B、，含分式，不是整式方程，不符合；
选项C、，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合；
选项D、，项次数为2，不符合．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，把的值代入已知方程计算即可求出的值．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键．
根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键．
将代入得到，然后求解即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴
∴得，．
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系建立方程组的方法是解题的关键．
根据“甲、乙奖品总数”和“购买奖品的总花费”这两个等量关系，列出对应的二元一次方程组，再判断选项．
【详解】解：设购买甲种奖品件，乙种奖品件．
由题意可得．
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加得到． ，根据方程组的解满足、互为相反数得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
得，
∵方程组的解满足、互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：，
解得：．
故小长方形的长为，宽为，
∴．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值．
【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为，
将代入第一个方程组的，得：①，
代入第二个方程组的，得：②，
将①和②相加：，
整理得：，
则．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解．
【详解】解：设，，
则新方程组化为：
∵原方程组的解为，
∴，，
即：，
解得，
故选D．
10．C
【分析】本题考查了二元一次方程（组的解，熟练掌握解二元一次方程（组的方法是解题的关键．①把代入方程组，求出方程组的解，即可得出的值，然后把代入方程中得出的值，比较即可；②解方程组得到、的值，然后求出的值，如果的值为0，则，互为相反数，否则不是；③根据②中即可得出方程组的非负整数解，从而判断即可；④根据②的证明可知，得到，结合即可求出的值．
【详解】解：①.当时，关于，的方程组为，
解得，
，
当时，，
当时，方程组的解也是的解，正确；
②.，
得，，
解得，
把代入得，，
，
无论取何值，，的值不可能是互为相反数，正确；
③.由②得，
原方程组的非负整数解是，，，，共4对，错误；
④.得，，
，
，
解得，正确；
正确的有①②④，
故选：C．
11．
【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，将含x的项移到等号右边，再把等式两边同时除以3即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可．
【详解】解：由和，可列出等式和，
因此方程组为，
故答案为：（答案不唯一）．
13．17
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据条件可得，将代入中，得到，与联立，解方程组求出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由可得，
代入可得：，
∵，
∴两式相减可得：，即，
∴，
代入可得：，
故答案为：．
14．
2
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．将三个方程相加计算即可．
【详解】解：，
将三个方程相加，得，
解得．
故答案为：2．
15．5
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
解法一：联立方程和解出，，再代入求出的值即可．
解法二：两个方程相加，再建立关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】解法一：联立方程组，
解得，
将，代入，
得，
解得，
解法二：
，得
，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：5．
16．11
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据题意得出是13的因数，且为正整数，从而确定是解此题的关键．①②得出，求出，根据方程组的解是整数和为正整数得出或，求出，再得出答案即可．
【详解】解：，
①②，得，
，
关于，的方程组的解是整数，是正整数，
或，
解得：或不是正整数，舍去），
即．
故答案为：11．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组．
（1）利用代入消元法解方程即可；
（2）整理方程①得方程，然后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
将①代入②可得，解得：，
将代入①可得，
故方程组的解为：．
（2）解：，
整理①得：③，
得：，解得：，
把代入②得，，
∴方程组的解为．
18．
【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
，得，
，得，解得；
把代入，得，解得；
把代入，得，解得；
∴方程组的解为．
19．，
【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键．
利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、．
【详解】解：∵甲看错了方程①中的，
∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得
，解得；
∵乙看错了方程②中的，
∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得
，解得；
∴，．
20．购买“延丹1号”山丹丹150盆，购买“太空玫瑰”50盆
【分析】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，找到题目中的等量关系是解题的关键；
根据“购买这两种太空育种鲜花共200盆，购买这两种鲜花的总价为9300元”列方程即可．
【详解】解：设购买“延丹1号”山丹丹x盆,购买“太空玫瑰”y盆．
根据题意得：
解得
答：购买“延丹1号”山丹丹150盆，购买“太空玫瑰”50盆．
21．(1)
(2)，，，方程的正整数解是
【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键．
（1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可；
（2）由题意得到，求得，进而可求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
，，
，
，
，
；
（2）解：关于x，y的二元一次方程，，，
，
，
，y均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，将代入得，
，，
，，
方程的正整数解是．
22．(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台
【分析】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程（组），结合正整数条件求解．
（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据两种购买方案列二元一次方程组求单价；
（2）根据预算列二元一次方程，结合正整数条件找购买方案．
【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，
得：
解得：
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）设购买型机器人台，型机器人台，得：，
为正整数，
此方程的解为：，
答：共有三种采购方案：
①A型机器人9台，B型机器人4台；
②A型机器人6台，B型机器人8台；
③A型机器人3台，B型机器人12台．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键．
（1）利用整体代入法解方程组即可；
（2）利用整体代入法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
由得，
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
原方程组的解为；
（2）解：，
得，
即，
将变形为
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
原方程组的解为．
24．(1)C；
(2)的平方根是
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ．
（1）由定义直接可求；
（2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可
【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是，
故答案为：C．
（2）解：由题意可得整理得，
②－①，得，即．
的平方根是，
的平方根是．

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