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第4章 因式分解 单元自测卷
建议用时：100分钟，满分：120分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则代数式的值为（ ）
A．2037 B．2019 C．2013 D．2025
4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列多项式属于完全平方式的是（ ）
A． B．
C． D．
6．将代数式添括号后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则m的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
8．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：吉，爱，我，西，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．我爱美丽 C．西吉美 D．我爱西吉
10．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：__________________.
12．分解因式：___________
13．已知，则的值是______．
14．若，则的值是______．
15．已知，，则______．
16．若x、y满足的，则m的最小值______．
三、解答题：本题共8小题，共72分．
17．分解因式：
(1)
(2)
18．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
19．甲、乙两位同学将一个多项式分解因式，甲同学因看错了二次项系数而分解成，乙同学因看错了一次项系数而分解成．
(1)求原来正确的多项式；
(2)将原来的多项式分解因式．
20．【提出问题】我们都知道，对于形如、以及形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？
【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如的多项式若改写成具有平方差或完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解．
例如；即先加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，再写成整式乘积的形式．
【解决问题】分解因式：①；②．
21．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了．
例如：分解因式．
解：将看成一个整体，令，
则原式=________________=________________，将还原得，原式．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)请补全横线上的步骤；
(2)因式分解：．
22．【尝试计算】
（1）计算：
①；
②；
【阅读思考】
（2）我们知道，利用整式的乖运算，有时可以将几个整式的乘积转化为一个多项式的形式，而因式分解则是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，所以因式分解与整式乘法是方向相反的两个变形．利用这一关系，请结合（1）中的计算过程，尝试写出因式分解的两个公式；
【启发应用】
（3）利用（2）中的两个公式把下列各式分解因式：
①；
②．
23．阅读材料，完成下列问题．
材料一：已知多项式有一个因式是，求的值．
解：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．
材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值．
解：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．
(1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ；
(2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值；
(3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值．
24．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例1：分解因式．
原式．
例2：求的最大值．
，
故当时，的最大值为10．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
(1)利用配方法分解因式：；
(2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值；
(3)已知正数满足，求．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，是因式分解，符合题意；
D、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
通过观察表达式，发现与相等，因此两项均含有公因式．
【详解】解：，
∴ 原式．
∵ 两项都含有因式，
∴ 公因式是．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号，将代数式化为，然后利用已知条件代入计算.
【详解】解：∵ ，
∴.
故选：C
4．D
【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，平方差公式适用于形如的表达式，需检查各选项是否可化为该形式．
【详解】解：∵平方差公式为；
选项A：为平方和，不符合公式；
选项B：有三项，非平方差形式；
选项C：，为平方和，不符合公式；
选项D：，符合平方差公式，可分解为．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合的形式．
【详解】解：完全平方式必须满足的形式，
A、，不符合完全平方式，故A不符合题意；
B、，符合完全平方式，故B符合题意；
C、，不符合完全平方式，故C不符合题意；
D、，不符合完全平方式，故D不符合题意．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查添括号法则．解题的关键是准确应用添括号的符号法则．检查每个选项，去掉括号后，看结果是否等于原式，进而求解即可．
【详解】解：∵，
A．，与原式不符；
B．，与原式一致；
C．，与原式不符；
D．，与原式不符．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值．
【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为，
，，
，
，
．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查因式分解．将多项式因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，，
∴原式 = ，
根据密码手册：→爱，→我，→吉，→西，
∴因式分解结果对应密码信息“我爱西吉”．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案．
【详解】解：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2026不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故选：B．
11．
【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【详解】解：x2－xy= x(x－y).
故答案：
【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键.
12．
【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
先提取公因式，再运用完全平方公式分解．
【详解】解：原式= = ，
故答案为：．
13．25
【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．利用平方差公式分解，结合已知，推出，再将式子变形为，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：25．
14．
【分析】本题考查了二元一次方程组，平方差公式因式分解；通过观察代数式的结构，发现其符合平方差公式，可转化为，再利用方程组中的条件直接求解．
【详解】由方程组
由②得
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键；
利用已知条件求出和的值，代入原式计算即可．
【详解】解：由，，得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．66
【分析】依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解．
本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键．
【详解】解：由题意得，
，，
的最小值为66；
故答案为：66．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解．
（1）先提取公因式a，再利用平方差公式继续分解；
（2）先提取公因式y，再利用完全平方公式进行分解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查利用提公因式进行因式分解，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键．
（1）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可；
（2）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解、整式的乘法．
(1)根据整式的乘法法则计算可得：甲看到的多项式是，乙看到的多项式是，因为甲看错了二次项系数，但是其他项没有看错，乙看错了一次项系数，其他项没有看错，可知原来的多项式的三次项是，二次项是，一次项是；
(2)把(1)得到的正确的多项式分解因式即可．
【详解】（1）解： ，
，
原来的多项式为；
（2）解：
．
20．
①
②
【分析】本题考查因式分解，熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．①根据题干中所给例子分解即可；②先将原式提取公因式，再根据题干中所给例子分解即可．
【详解】解：①
；
②
．
21．(1)；
(2)
【分析】本题考查了因式分解、整体代换的思想，灵活运用整体思想是解题的关键．
（1）用x替换可得，再套用完全平方公式进行分解，最后将x换元即可解答；
（2）令，原式就变成，化简后再进行因式分解，最后将y还原成即可解答．
【详解】（1）解：将看成一个整体，令，
则原式，将还原得，原式．
（2）解：将看成一个整体，令，
则原式
；
将代入原式，原式．
22．（1）①；②；（2）①，②；（3）①；②．
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的计算，因式分解以及规律性问题．
（1）①根据多项式乘以多项式的方法进行计算；
②根据多项式乘以多项式的方法进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果求解即可；
（3）根据（2）中得到的公式求解即可．
【详解】（1）①
；
②
；
（2）①，
②；
（3）①；
②．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则．
（1）根据题干提供的方法，求解即可；
（2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可；
（3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算取，，
解得：．
（2）解：设，
令，则，
令，则，
即，
解得：；
（3）解：令，
，
令，则；
令，则；
∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，
，
，
，
，
．
24．(1)
(2)当时，多项式有最大值，最大值为；
(3)12
【分析】本题考查了配方法，因式分解，偶次幂的非负性．解题的关键在于对理解题意并正确的求解．
（1）根据题意配方后因式分解即可；
（2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可；
（3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∴当，即时，多项式有最大值，最大值为；
（3）解：∵，
∴，
即，
∴，，，
解得，，，
∴．

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