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第5章 分式 单元自测卷
建议用时：100分钟，满分：120分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果把分式中的，都变为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．变为原来的
4．分式方程的解是（ ）
A． B．= C．= D．
5．解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A． B．8 C．4 D．
7．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（　　）
A． B． C． 且 D．
9．关于的方程无解，则的值为（ ）
A．5或 B．1或5 C．或 D．或1
10．设，，，则值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．使分式有意义的x的取值范围是_________．
12．若的值为零，则的值为________．
13．已知：，则的值是___________．
14．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____．
15．若，则的值为___________．
16．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____．
三、解答题：本题共8小题，共72分．
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程：
(1)
(2)
19．先化简，再求值：，其中．
20．高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度．
21．大家约定：关于的代数式，，若不论为何值，都有（m为常数），则称代数式，互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，，因为，所以，互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．
(1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．
①与（______）；②与（______）．
(2)已知关于的整式，，若，互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值．
22．习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务．
(1)求原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
23．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴，即，∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，∴，
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
24．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，，，，这样的分式就是假分式；
再如：，，，这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：，，
解答下列问题：
(1)分式是______分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式______．
(3)当的值为整数时，求整数的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了分式的定义，分母中必须含有字母的代数式是分式．据此可得答案．
【详解】解：根据分式的定义可知，四个式子中，只有是分式，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，而，两者不相等，∴ A错误；
B、（当），变形正确，∴ B正确；
C、与不一定相等，例如当 时，左边，右边，不相等，∴ C错误；
D、，而不一定等于其平方，例如当时，左边，右边 ，不相等，∴ D错误；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查分式的性质．先将，都变为原来的2倍，然后根据分式的性质化简，即可求解．
【详解】解：中的，都变为原来的2倍，得：
，
这个分式的值不变，故A正确．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程．
通过两边同乘 消除分母，然后求解即可，注意验证是否为分式方程的解．
【详解】解：，
两边同乘，得，
去括号得，
移项得，
即，
解得．
经验证，是分式方程的解．
故选：．
5．B
【分析】本题考查解分式方程；先确定分式的最简公分母为，并注意，然后等式两边同时乘以去分母．
【详解】解：原方程化为：，
两边同乘：，
即．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了分式化简求值，先化简，再将代入进行计算，即可作答．
【详解】解：，
把代入，得原式，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键；
根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可．
【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两，
用20两买牛，牛的数量为头，
用15两买羊，羊的数量为只，
则，
故选A．
8．C
【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键．解分式方程得到x关于m的表达式，根据解为负数且分母不为零，列出不等式求解．
【详解】解：方程，
两边乘以得：，
解得，
∵关于x的分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：C．
9．A
【分析】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解确定出的值即可．
【详解】解：方程两边同乘 ，得，
整理得： ．
∵分式方程无解，
∴其增根为或．
当 时， ；
当 时， ．
故当 或 时，方程无解．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过取已知等式的倒数，得到关于 、、 的方程组，求和后得到它们的和，再求倒数即得所求．
【详解】解： ，
，
即 ，
，
，
即 ，
，
，
即 ，
，
即 ，
又 ，
．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零．
【详解】解：要使分式 有意义，需满足分母 ，
解得 ．
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练掌握分式的值为零的条件．
根据分式的值为零时，分子为零，且分母不等于零，直接解答即可．
【详解】解：∵的值为零，
∴，且，
即，且，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查求分式的值，根据比例关系设参数表示变量，再代入所求表达式计算．
【详解】解：由 ，设 ，（），
则 ．
故答案为 ．
14．米/分
【分析】本题考查列代数式，分式乘除混合运算，掌握知识点是解题的关键．
平均速度是总路程与总时间的比值，设从家到学校的距离为s米，则总路程为2s米，总时间为分钟，通过计算可得平均速度
【详解】解：设从家到学校的距离为s米，依题意，得
平均速度为
（米/分）．
故答案为：米/分．
15．
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，正确计算是解题的关键．由已知条件 可得 ，即 ．将所求分式的分子和分母分别用 和 表示，代入化简即可．
【详解】解：由 ，得 ，
所以 ，即 ．
所求分式的分子为 ，
分母为 ．
所以 ．
故答案为：.
16．或27
【分析】本题考查了代数式求值，求使分式值为整数时未知数的整数值,掌握知识点是解题的关键．
化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
均为非零整数，
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
故答案为：或．
17．(1)；
(2)．
【分析】此题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
（1）利用同分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
18．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解：，
去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解．
（2）解：，
去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解．
19．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值．
先计算括号里的减法，再计算除法，计算减法，最后将代入化简结果计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．高铁的平均速度为
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值即可解答．
【详解】解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：高铁的平均速度为．
21．(1)①√；②×
(2)或或或
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，分式的混合运算，利用平方根解方程，绝对值方程等知识点，正确理解“差值代数式”是解决此题的关键．
（1）根据定义解答即可得解；
（2）先由定义得出或，解方程即可得解．
【详解】（1）解：①，
∴当时，与互为“差值代数式”，“差值”为1，
故答案为：√；
②，
∴与不是“差值代数式”，
故答案为：×；
（2）解：∵关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，
∴，
∴或，
当时，即 ，
∴或；
当时，即，
∴或；
综上所述，或或或．
22．(1)原计划每天铺设路面80米
(2)完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元
【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
（1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可；
（2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可．
【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，
由题意可得，，
解得：，
经检验：是方程的解，
答：原计划每天铺设路面80米；
（2）由（1）得，
（天），（天），
∴总费用为：，
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．
23．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了分式的化简求值，参数法和倒数法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设（），则 ，，，然后代入即可求解；
（）利用倒数法将分式方程变形，再通过完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：设（），则，，，
∴
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)真
(2)
(3)
【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键．
（1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案；
（2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案；
（3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式，
故答案为：真；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：由（2）知，
当的值为整数时，是整数，
的取值是的因数，
即取值为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，整数的值为．

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