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位育中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1.用符号表示“直线在平面上”：______．
2.如图，给定棱长为1的正方体，则______．
3.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的第60百分位数为______cm．
4.设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______．
5.在的二项展开式中，项的系数是______．
6.若异面直线、所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______．
7.相互独立事件、满足，，则______．
8.若，则______．
9.将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种．
10.马老师从课本上抄录一个随机变量的分布如下：
请小牛同学计算的期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案______．
11.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______．
12.给定正方体，用、、、、、、、这8个组合数标记顶点，共有种标记方法，其中一种标记方法如图所示．对于第种标记方法，有一质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点后立即停止，它经过的组合数之和（含标记点、的组合数）的最小值为，则集合的最大元素为______．
二、选择题（本大题共有4题，13、14题每题3分，15、16题每题4分，满分14分）
13.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A.恰好有一个白球与都是红球 B.至多有一个白球与都是红球
C.至多有一个白球与都是白球 D.至多有一个白球与至多一个红球
14.在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ）．
A. B. C. D.
15.某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务
应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280
行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏
招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436
若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A.人工智能行业好于游戏行业 B.养老护理行业好于汽车制造行业
C.生物医药行业最紧张 D.集成电路行业比IT服务行业紧张
16.已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（ ）条件．
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要
三、解答题（本大题共有5题，满分44分）.
17.（本题满分7分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分．
“人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，绘制出如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率．
18.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为．
（1）求这种“笼具”的体积；
（2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）
19.（本题满分8分）本题共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同．
（1）若，求在第一次抽取黑球的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率；
（2）设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）．
20.（本题满分10分）本题共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体．
（1）证明：平面；
（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小．
21.（本题满分11分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分．
规定，其中，是正整数，且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广．
（1）求的值，并判断组合数性质是否能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由．
（2）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.
11.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______．
【答案】
【解析】由已知得，∴存在实数，
使得不等式有解，则有，解得．
又∵且在方向上的数量投影是2
∴符合条件的所有构成的空间几何体是以原点为顶点、高为2、母线长为的圆锥，故由构成的空间几何体的体积为．
二、选择题
13.A 14.C 15.B 16.A
15.某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务
应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280
行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏
招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436
若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A.人工智能行业好于游戏行业 B.养老护理行业好于汽车制造行业
C.生物医药行业最紧张 D.集成电路行业比IT服务行业紧张
【答案】B
【解析】依题意得
A．人工智能的应聘人数大于招聘人数，但是游戏行业的应聘人数小于招聘人数，故错误
B．养老护理的应聘人数小于招聘人数，汽车制造的应聘人数大于招聘人数，故正确
C．生物医药的应聘人数小于招聘人数，就业形势不是最紧张，故错误
D．集成电路应聘人数大于招聘人数，IT服务行业招聘人数不确定，无法比较，故错误，
故选：B
16.已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（ ）条件．
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要
【答案】A
【解析】充分性：设的平均数为的平均数为，，
因为，所以，其中，故，
由绝对值不等式得，当且仅当同号，
即，全为正数，或全为负数，等号成立，故充分性成立，
必要性：若全为正数，则，显然，
若全为负数，则，
设的平均数为，则，的平均数为，
，，必要性成立，
综上，甲是乙的充分必要条件．故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）元
19.（1） （2）
20.（本题满分10分）本题共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体．
（1）证明：平面；
（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析 （2）在，
【解析】（1）证明：∵分别是正方形的边的中点，
∴且，则四边形为平行四边形，
又平面，而平面，∴平面；
（2）点在平面内的射影在直线上，
过点作平面，垂足为，连接．
∵为正三角形，∴，则，∴在的垂直平分线上，
又∵是的垂直平分线，∴点在平面内的射影在直线上，
如图，连接，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，
过点作平行于的向量为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方形的边长为，连接，则．
，
平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
则，取,得，
，所以二面角的大小为
21.（本题满分11分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分．
规定，其中，是正整数，且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广．
（1）求的值，并判断组合数性质是否能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由．
（2）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，．
【答案】（1），能，推广形式为. （2）证明见解析
【解析】（1）
当时，，等式成立.
当时，
通分可得：
所以组合数性质能推广到（是正整数）的情形，推广形式为.
（2）当时，因为是正整数，所以是个连续整数的乘积，而！是个连续正整数的乘积，所以
当时，此时，那么，
所以.
当时，因为，
所以
又因为组合数是正整数，所以，则
综上，当是正整数时，.

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