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北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3第1课时平方差公式第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.北师大版数学七年级下册1.3第1课时平方差公式练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)设计，涵盖公式直接应用、变式运算、易错辨析、化简求值及简单实际应用，旨在巩固平方差公式的理解与运用，体会转化思想，共10题，满分100分，字数约700字。一、基础计算题（每题10分，共40分）1.计算：\((x+2)(x-2)\)（提示：直接套用平方差公式，其中\(a=x\)，\(b=2\)）2.计算：\((3a+1)(3a-1)\)（提示：找准公式中\(a\)、\(b\)对应项，注意系数的平方运算）3.计算：\((-2x+y)(-2x-y)\)（注意符号特点，准确识别\(a\)、\(b\)，避免符号错误）4.计算：\((5m-3n)(5m+3n)\)（重点关注字母项的平方，确保公式应用规范）二、易错辨析题（每题10分，共20分）5.判断下列计算是否正确，若错误，请改正。（1）\((x+3)(x-3)=x^2-3\)（错误原因：漏算\(b^2\)，公式中\(b=3\)，需计算\(3^2\)）（2）\((2x+1)(2x-1)=2x^2-1\)（判断对错，说明理由，注意\(a\)的系数平方）三、化简求值题（每题15分，共30分）6.先化简，再求值：\((x+4)(x-4)-x(x-2)\)，其中\(x=-2\)。7.先化简，再求值：\((3x+2)(3x-2)-(2x+1)^2+4x\)，其中\(x=1\)。四、实际应用题（10分）8.一个正方形花坛的边长为\((x+5)\)米，现要在花坛周围修一条宽1米的小路，求小路的面积（用含x的多项式表示），并计算当\(x=4\)时，小路的面积。附加题（10分，选做）9.计算：\((a-b)(a+b)(a^2+b^2)\)（提示：先套用平方差公式计算前两项，再与第三项相乘）10.已知\((x+2)(x-2)+x^2=20\)，求\(x^2\)的值。温馨提示：1.应用平方差公式的前提是两个多项式为“两数和与两数差”的形式；2.注意区分平方差公式与完全平方公式，避免混淆；3.运算时先判断是否符合公式特征，再计算，提高准确率。1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点）
2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简
单的运算.（难点）
2. 计算：
(x＋1)(y－5)＝ ；
(x＋1)(x－5)＝ ；
(x＋1)(x－1)＝ .
1. 多项式乘以多项式的计算法则是什么
xy－5x＋y－5
x －5x＋x－5＝x2－4x－5
x －x＋x－1＝x2－1
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a + 4)(a 4)
绘画课上，老师拿来了两张彩纸，一张是边长 a cm 的正方形彩纸.另一张是长为 (a + 4) cm ，宽为
(a - 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？
(a + 4)
(a - 4)
= a2 4a + 4a 42
= a2 42
答： 两张彩纸面积不相等.
4
解：正方形彩纸面积为 a2
＜a2
平方差公式的认识
1
① (x ＋ 1)( x－1)；
② (m ＋ 2)( m－2)；
③ (2m＋ 1)(2m－1)；
④ (5y ＋ z)(5y－z) .
算一算：看谁算得又快又准.
② (m＋ 2)( m－2) = m2 －4
③ (2m＋1)( 2m－1) = 4m2－1
④ (5y＋z)(5y－z) = 25y2 －z2
① (x ＋1)( x－ 1) = x2－1
想一想：这些计算结果有什么特点？ 你发现了什么规律？
= x2－12
= m2－22
= (2m)2－12
= (5y)2－z2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
文字语言：
两个数的和×两个数的差＝这两个数的平方差.
符号语言： (a＋b)( a－b)＝a －b .
平方差公式：
证一证：代数验证
(a + b)(a b)＝ ＝ .
a2 b2
a2 ab + ab b2
知识要点
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) (5＋6x)(5－6x)
典例精析
＝52－(6x)2
＝25－36x2.
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2.
(3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
归纳总结
(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
应用平方差公式计算时，应注意：
(2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式.
中的各项，除符号外是否完全相同)；
(1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式
例2 利用平方差公式计算：
(1) ； (2) (ab + 8)(ab－8).
解：(1) 原式 =
(2) 原式 = (ab)2－82 = a2b2－64.
典例精析
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
利用平方差公式计算：
练一练
将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a + b)(a b) = a2 b2
平方差公式的几何验证
2
a
a
b
b
a + b
a - b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2 - b2
a
b
b
b
(a + b)(a - b)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
a - b
a - b
还有其他的几何方法解释吗？
a
b
a+b
a-b
a
a-b
b
a
a
b
b
a-b
算一算！
合作探究
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
典例精析
例2 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
= a4－ a2b2 + a2b2
= a4.
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2+6x
= 6x－25.
典例精析
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a + 1)(a 1) = a2 1
想一想：
(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
7×9 = 11×13 = 79×81 = ______ 8×8 = 12×12 = 80×80 = ______
自主探究
63
143
6399
64
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6400
知识点 认识平方差公式
1.式子中，与平方差公式中
和 对应的项分别是( )
B
A.， B.，
C.， D.，
2.下列式子能用平方差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
3.下列利用平方差公式计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
4.（12分）计算：
（1） ;
解：原式 ；
（2） ；
解：原式 ；
（3） 。
解：原式 。
5.计算： 等于( )
B
A. B.
C. D.
6. 若，则 ____。
7.计算：
（1） ________________；
（2） ________；
（3） ___________。
平方差公式
文字描述
几何验证
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
(a + b)(a－b) = a2－b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=-b

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