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北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3第2课时完全平方公式第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.北师大版数学七年级下册1.3第2课时完全平方公式练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)和\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)设计，涵盖公式直接应用、变式运算、易错辨析、化简求值及简单实际应用，旨在巩固完全平方公式的理解与运用，区分与平方差公式的不同，体会转化思想，共10题，满分100分，字数约700字。一、基础计算题（每题10分，共40分）1.计算：\((x+3)^2\)（提示：直接套用完全平方和公式，其中\(a=x\)，\(b=3\)，注意中间项\(2ab\)）2.计算：\((x-4)^2\)（提示：套用完全平方差公式，注意中间项为\(-2ab\)，避免符号错误）3.计算：\((2a+5)^2\)（提示：找准公式中\(a\)、\(b\)对应项，注意系数的平方和中间项的系数运算）4.计算：\((3m-2n)^2\)（重点关注字母项的平方和中间项的符号，确保公式应用规范）二、易错辨析题（每题10分，共20分）5.判断下列计算是否正确，若错误，请改正。（1）\((x+2)^2=x^2+4\)（错误原因：漏算完全平方公式的中间项\(2ab\)，需补充\(4x\)）（2）\((x-3)^2=x^2-6x-9\)（判断对错，说明理由，注意常数项的平方符号为正）三、化简求值题（每题15分，共30分）6.先化简，再求值：\((x+5)^2-(x-2)(x+2)\)，其中\(x=-1\)。7.先化简，再求值：\((2x-3)^2+2(x+1)(x-1)\)，其中\(x=2\)。四、实际应用题（10分）8.一个正方形的边长为\((2x-1)\)厘米，求这个正方形的面积（用含x的多项式表示），并计算当\(x=3\)时，正方形的面积。附加题（10分，选做）9.计算：\((a+b+c)^2\)（提示：将\((a+b)\)看作一个整体，套用完全平方公式逐步计算）10.已知\((x+y)^2=25\)，\(xy=4\)，求\(x^2+y^2\)的值。温馨提示：1.应用完全平方公式时，务必牢记“首平方、尾平方，积的2倍在中央”；2.注意区分完全平方公式与平方差公式，避免混淆；3.计算时关注符号，\((a-b)^2\)的中间项为负，常数项恒为正；4.化简后再求值，可简化运算过程，提高准确率。1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简
便运算；(重点)
2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的
思想方法.(难点)
1.问：平方差公式是怎样的？
(a + b)(a b) = a2 b2.
2.利用平方差公式计算：
(1) (2x + 7b)(2x – 7b)；
(2) (－m + 3n)(m + 3n).
4x2－49b2
9n2－m2
完全平方公式
1
算一算：
(1) (1 - p)2
解：原式 = ( 1 - p )( 1 - p )
= 1 - p - p + p2
= 1 - 2p + p2.
(2) (m + 3)2
解：原式 = (m + 3)(m + 3)
= m2 + 3m + 3m + 9
= m2 + 2×3m + 9
= m2 + 6m + 9.
解：原式= (2 + 3x)(2 + 3x)
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
= 4 + 2×2×3x + 9x2
= 4 + 12x + 9x2.
(3) (2 + 3x)2
追问 1：上述式子的左边有什么共同特征 计算的结果都是几次几项式
左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式.
追问 2：计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系
结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的 2 倍.
(1) (1 - p)2 = 1 - 2p + p2.
(2) (m + 3)2= m2 + 6m + 9
(3) (2 + 3x)2 = 4 + 12x + 9x2.
比一比：
根据发现的特征，写出下面式子的答案：
(1) (a＋b)2 = ；
(2) (a－b)2 = .
a2＋2ab＋b2
a2－2ab + b2
观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项.
(1) (a＋b)2
= (a＋b)(a＋b)
= a2＋ab＋ab＋b2
= a2＋2ab＋b2
(2) (a－b)2
= [a＋(－b)]2
= a2＋a(－b)＋a(－b)＋(－b)2
= a2＋2a(－b)＋(－b)2
= a2－2ab＋b2
推导 过程验证：
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中间”
知识要点
完全平方公式
例1 利用完全平方公式计算：
解：(1) (2x－3)2 = (2x)2－ 2 (2x) 3 + 32
= 4x2－12x + 9；
(1) (2x－3)2；
典例精析
(2) (4x＋5y)2；
(2) (4x＋5y)2 = (4x)2＋2 (4x) 5y＋(5y)2
= 16x2＋40xy＋25y2；
(3) (mn－a)2.
(3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 mn a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
1.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
(3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2.
(2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
练一练
完全平方公式的几何验证
2
问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).
(1) 四块实验田面积分别为：
， ，
， .
a
a
b
b
a2
ab
b2
ab
(2)两种形式表示实验田的总面积：
a
a
b
b
①从整体看：
边长为 的大正方形，
S大正方形＝ ；
(a+b)
(a+b)2
②从部分看：
四块面积的和S＝ .
a +2ab+b
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
想一想
你能根据图中的面积解释完全平方公式吗
画一画
画一画：我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证(a－b)2 =a2－2ab + b2
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
解：原式 = (100 + 2)2
= 10 000 + 400 + 4
= 10 404.
解：原式 = (200－3)2
= 40 000－1200 + 9
= 38 809.
= 1002－2×100×2 + 22
= 2002－2×200×3 + 32
想一想
例2 计算：
(1) (x + 3)2 – x2；
解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2
= 6x + 9；
或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x)
= (2x + 3)×3
= 6x + 9.
还有其他的方法吗？
典例精析
(2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )；
解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3]
= (a + b)2 - 32
= a2 + 2ab + b2 - 9.
(3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3).
解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6)
= x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6
= 15x + 19.
(4) [( a + b) ( a - b)]2.
解： 原式 = ( a2 - b2 )2
= a4 - 2a2b2 + b4.
知识点1 利用图形验证平方差公式
1.如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形，再将
阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两个图
中的阴影部分的面积相等可以验证的数学公式为 ( )
B
①
②
A.B.
C.D.
2.如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为 的小正方形
后得到的图形。若将阴影部分通过分割、拼接，形成新的图形②，则能
够正确表示该图形面积关系的等式是________________________。
①
②
知识点2 利用平方差公式进行简便计算
3.运用平方差公式计算：
（________） （________）___ _______。
200
5
200
5
5
39975
4.（8分）计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） 。
解：原式
。
知识点3 平方差公式的运用
5.计算 的结果是____。
16
6. 西安发展旅游行业，政府美化环境，将边长大于 的
正方形花坛的南北方向增加，东西方向缩短 ，则美化后的长方
形花坛与原来正方形花坛的面积相比( )
C
A.保持不变 B.增加了
C.减少了 D.不能确定大小关系
7.（8分）计算：
（1） ；
解：原式 ；
（2） 。
解：原式
。
8.（4分）先化简，再求值： ，其中
， 。
解：原式
。
当，时，原式 。
9.有三个连续的整数，若设中间的数是 ，则这三个整数的积是( )
D
A. B.
C. D.
完全平方公式
文字描述
几何验证
两个数的和(差)的平方，
等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=b

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