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市二中2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1、半径为3的球的表面积为 .
2、已知事件A与事件B相互独立，如果，那么 .
3、直线与直线的夹角大小为 .
4、现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 .（以下随机数表第7行）.
39832276 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263
5、用＂市＂、＂二＂、＂中＂、＂学＂、＂顶＂、＂四＂、＂呱＂、这七个字可以组成种不同的七字短语 .（不考虑短语的含义）
6、某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有 人.
7、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 .（结果用数值表示）.
8、已知、B两点关于直线对称，则点B的坐标为 .
9、当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 .
10．一盒子里有编号的红球和编号的白球各一个，随机取出4个球排成一列，则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有 种．
11、如图，有一边长为2的正方形分别为的中点.按图中的虚线翻折，使得三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：
①三棱锥的表面积为4；
②三棱锥的体积为；
③三棱锥的外接球表面积为；
④三棱锥的内切球半径为1；则以上结论中，正确结论是 .（请填写序号）
12、已知直线，，三条直线围成，则当面积取得最大时m的值为 ．
二、选择题（本大题共4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）13、在以下调查中，适合用普查的是（ ）.
A．调查某批次汽车的抗播击能力 B．调查一批LED灯的寿命
C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况
14、已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，，则＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
15、为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2．5的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（ ）.
①前4天的极差大于后4天的极差； ②前4天的方差小于后4天的方差；
③这组数据的中位数为31或33； ④这组数据的第60百分位数与众数相同；
A.4 B．1 C．2 D．3
16．对于一个四棱锥P－ABCD，已知二面角A－PB－C、B－PC－D、C－PD－A、
D－PA－B大小都相等，有下列两个命题：①底面ABCD可以是等腰梯形；
②若底面ABCD是平行四边形，则ABCD是矩形.下列说法正确的是（ ）.
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分44分）.
17、（本题满分6分，第1小题满分3分，第2小题满分3分）
已知.
（1）求的值．
（2）求的值；
18、（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分）
已知直线，直线．
（1）当时，求的值．
（2）当时，求的值；
19、（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分）
为了了解某校高二年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66．4，方差是9．2，求落在［50，70）的学生的成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1）
20、（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为
（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号：
②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．
21、（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点分别是边的中点，．沿MN将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥P－ABMND．
（1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论：
（2）当四棱锥体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.①②③ 12.
11、如图，有一边长为2的正方形分别为的中点.按图中的虚线翻折，使得三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：
①三棱锥的表面积为4；
②三棱锥的体积为；
③三棱锥的外接球表面积为；
④三棱锥的内切球半径为1；则以上结论中，正确结论是 .（请填写序号）
【答案】①②③
【解析】根据题意可知三棱锥的表面积与正方形的面积相等为4，即①正确；
设三点重合于点，则制成三棱锥如下图所示：
易知，且平面
所以三棱楼的体积，即②正确；
根据题意可知三棱锥的外接球即为以为棱的长方体的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，则满,
所以其表面积为，故③正确；
设三棱锥的内切球半径为，由①知三棱锥的表面积为，
利用等体积法可知，得，
所以三棱锥的内切球半径为，即④错误．故答案为：①②③．
12、已知直线，，三条直线围成，则当面积取得最大时m的值为 ．
【答案】
【解析】直线：，即，恒过定点，
直线：即
也恒过定点，所以直线与直线相交于定点，
由解得，可知直线与直线相交于点，
又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形，
因为点到的距离
点到的距离
所以的面积
时，的面积不可能取到最大值；
时，，当且仅当1时，等号成立．
因此，当时，的面积有最大值，故答案为：．
二、选择题
13.D 14.D 15.C 16.A
15、为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2．5的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（ ）.
①前4天的极差大于后4天的极差； ②前4天的方差小于后4天的方差；
③这组数据的中位数为31或33； ④这组数据的第60百分位数与众数相同；
A.4 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】前4天的极差，后4天的极差，①正确；
前4天的平均数25.5，方差
后4天的平均数34，方差，
前4天的方差大于后4天的方差，②选项错误；
数据从小大排列，
这组数据的中位数为③错误；
这组数据的第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数与众数33相同，④选项正确.故选：C．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20、（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为
（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号：
②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．
【答案】（1） （2）事件与事件不相互独立.
【解析】（1）重复发送信号1三次，
＂至少收到两次1＂的可能情况为，因为信号的传输相互独立，
故＂至少收到两次1＂的概率为．
（2）事件与事件不相互独立，证明如下：
若依次发送，则三次都没收到正确信号的概率为
故至少收到一个正确信号的概率为；
若依次发送,＂至少收到两个0＂的可能情况为，，
根据事件的相互独立性，故
若依次发送,＂至少收到两个0且至少收到一个正确信号＂的可能情况为，根据事件的相互独立性，
故，
因为，所以事件与事件不相互独立.
21、（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点分别是边的中点，．沿MN将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥P－ABMND．
（1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论：
（2）当四棱锥体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，为线段的中点．
【解析】（1）在翻折过程中总有平面平面，证明如下：
∵点分别是边的中点，∴，
∵在菱形中，，∴是等边三角形，
∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，
∵平面平面，
∴平面平面平面平面平面．
（2）由题意知，四边形为等腰梯形，且,
所以等腰梯形的面积，要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，
此时四棱锥体积的最大值为，
连接，则直线和平面所成的角为，
在Rt中，，由勾股定理得，
（3）假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，
∵平面，故平面的一个法向量为，
设，
故，
设平面的一个法向量为，
则即
令，所以，即，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，所以，
解得，故符合题意的点存在，且为线段的中点．

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