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安徽马鞍山市第七中学等校2025-2026学年度第二学期九年级第一次教学质量监测数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数-3，0，，3中，最小的实数是（　　）
A. -3 B. 0 C. D. 3
2.大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志.全球唯一一座“双进双出“的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光.将12800用科学记数法表示为（　　）
A. 1.28×102 B. 1.28×103 C. 1.28×104 D. 1.28×105
3.某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）
A. B. C. D.
4.下列各式中，计算正确的是（）
A. B. C. D.
5.若A（-5，）， B（-3，）， C（0，）为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯=1000文）.已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格.设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（　　）
A. （x-3）（x+47）=2975 B. （x-3）（x-47）=2975
C. （x+3）（x-47）=2975 D. （x+3）（x+47）=2975
7.函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中：
①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等；
②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合；
③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长；
④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a．
所有正确说法的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
9.如图，已知在四边形 中，对角线 与 交于点O， 与 的面积相等． 平分 ， ，下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在边长为6的正方形中，点分别在边上，与交于点，，，，则长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，共15分。
11.不等式x+2＞3x-4的解集是 ．
12.对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13.如图，在四边形中，，，，过点D作，交于点E，且，．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长为 ．
14.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A．
(1) 该抛物线的对称轴为直线 ；
(2) 已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共9小题，共105分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算：.
16.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系中，点都在网格线的格点上，点的坐标分别为．
(1) 以原点O为位似中心，在O点同侧将放大为原来的2倍，得到，画出；（点A的对应点为D，点B的对应点为E）
(2) 若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ；
(3) 请仅用无刻度的直尺，在线段上找一点．
17.(本小题11分)
如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1) 试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2) 若的半径为3，，求的长．
18.(本小题11分)
甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．
(1) 求的长；
(2) 求塔的高度．（，结果保留整数）
19.(本小题12分)
观察下列图形与等式的关系：
第1个图
第2个图
第3个图
第4个图
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
(1) 第5个图中空白部分小正方形的个数是 ，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式： ；
(2) 用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律： ；
(3) 运用上述规律计算：．
20.(本小题12分)
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象直接写出不等式的解集
(3) 设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
21.(本小题12分)
坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下：
(1) 班级总人数为 人， °；
(2) 补全条形统计图；
(3) 若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？
(4) 坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
22.(本小题12分)
如图1，在和中，，，，连接并延长交边于．
(1) 求证：；
(2) 如图2，若，求证：四边形为正方形；
(3) 如图3，连接，若，，求的长．
23.(本小题12分)
某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1) 以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2) 张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3) 为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x＜3
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】【小题1】

【小题2】
或

15.【答案】解：原式=2+-1+2-2×
=2+-1+2-
=2+1．
16.【答案】【小题1】
解：如图所示，就是所求作的三角形；
【小题2】

【小题3】
解：如图所示，取，连接交于P，点P即为所求作．

17.【答案】【小题1】
解：与相切；
理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴与相切；
【小题2】
解：如（1）图，，
∵的半径为3，
∴
∵，，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴
解得：
∴．

18.【答案】【小题1】
解：由题意得，在中，，，
，
的长为．
【小题2】
解：由题意得，
在中，，，
∴，
在中，设，
，
，
，
如解图，过点作，垂足为，
由题意得，，
，
，
在中，
，
，
，
解得，
，
塔的高度约为．

19.【答案】【小题1】
11

【小题2】

【小题3】
解：由（2）问规律可计算得，

．

20.【答案】【小题1】
解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴
∵点在一次函数的图象上
∴，
解得
∴一次函数的解析式为；
【小题2】
解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，
∴不等式的解集为或；
【小题3】
解：把代入得，
∴，
设，则，
，
∵，
∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4．

21.【答案】【小题1】
50
144
【小题2】
解：喜欢话剧的人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小题3】
解：（人），
答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人．
【小题4】
解：列表如下：
小山小坪 五 六 日
五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，日）共3种，（没有列出情况不得分）
两人同一日期看音乐剧的概率为．

22.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴；
【小题2】
证明：∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形为正方形；
【小题3】
解：如图，过点作，交于，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
由（2）知，是直角三角形，
∴，
∴，
在等腰直角中，．

23.【答案】【小题1】
解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
【小题2】
解：根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
【小题3】
解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
∵，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．

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