资源简介

北京市陈经纶中学2025-2026学年下学期九年级4月月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（　　）
A. a＞-3 B. |a|＞3 C. b-a＞4 D. a+b＜0
2.数学中有许多精美的曲线．以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B.
C. D.
3.若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
4.如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
5.京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱.正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（　　）
A. B. C. D.
6.是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
7.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AD上的一点（不与点A，D重合），连接CE．求作：点F，使得点F在BC上，且AF// CE．甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下：
甲：以点C为圆心，AE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF；
乙：以点A为圆心，CE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF；
丙：以点B为圆心，DE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF．
上述三名同学的作法一定正确的是 （　　）
A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙
8.图1是半径为1cm的圆形硬币，点M是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为2：1的矩形、正方形和正六边形，周长均为6πcm，对称中心均记为点P．点N为轨道上一定点（除轨道①外，N均为AB的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点M与N重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点M第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为N′，则四个轨道中，∠NPN′最大的是（　　）
A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④
二、填空题：本题共8小题，共27分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式：ax2-9a= ．
11.方程的解为 .
12.某中学随机抽查了名学生，了解他们每天完成家庭作业的时间，结果如表所示：
时间（小时）
人数
根据相关规定，初中学生每天完成家庭作业的时间不得超过小时．如果该校共有学生人，估计该校学生完成家庭作业时间，符合要求的约有 人．
13.如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ．
14.如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ．
15.如图，等边中，于点D，点E在上，的垂直平分线交于点P，连接．若，，则四边形的周长为 ．
16.某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表：
车辆序号 A B C D E
快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60
慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170
车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题：
(1) 若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）；
(2) 这五辆车完成充电总用时最短为 分钟．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
17.计算：.
18.解不等式组：．
四、解答题：本题共10小题，共41分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
已知 ，求代数式 的值．
20.(本小题3分)
如图，在中，，点在上，．过点，分别作，的平行线交于点．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求的长．
21.(本小题3分)
每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下：
营养成分食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆
能量
蛋白质
脂肪
碳水化合物
钠
钙
某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．
(1) 小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？
(2) 初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由．
22.(本小题3分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围．
23.(本小题4分)
2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．某校组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，：
b．八年级成绩在这一组的是：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
七年级 77 81.5
八年级 79.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 写出表中的值；
(2) 两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予等级，判断在本次抽取的学生中 年级赋予等级的学生更多（填“七”或“八”）；
(3) 在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ；
(4) 估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分．
24.(本小题4分)
如图，是的外接圆，是的直径，点为的中点，的切线交的延长线于点.
(1) 求证：；
(2) 连接交于点，若，，求和的长.
25.(本小题6分)
某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1) 求桥拱所在抛物线的解析式及的长；
(2) 和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度；
(3) 按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为，线段的两个端点分别为，．
(1) 求抛物线顶点的坐标（用含有的代数式表示）；
(2) 若，且对于该抛物线上的两点，，，，当，时，均满足，求的取值范围；
(3) 若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
27.(本小题4分)
如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1) 连接，求的大小（用含的代数式表示）；
(2) 过点作交的延长线于点，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.(本小题4分)
对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“—关联点”．
在平面直角坐标系中．
(1) 已知点，的半径为2．
①在点，，，中，是点关于的“—关联点”的是 ；
②若直线上存在点关于的“—关联点”，则的取值范围是 ；
(2) 已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】x≥2
10.【答案】a（x+3）（x-3）
11.【答案】x=1
12.【答案】
13.【答案】1
14.【答案】8
15.【答案】/
16.【答案】【小题1】
/（答案不唯一）
【小题2】
200

17.【答案】．
18.【答案】解：，
由①得，
由②得，
∴不等式的解集为．

19.【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴原式 ．

20.【答案】【小题1】
证明：，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，，
∴，
，
∴四边形是菱形；
【小题2】
解：如图，过点作于点，
，，且，
∴，
∵，，
，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
在中，由勾股定理得．

21.【答案】【小题1】
解：设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意：
，
解得：，
答：小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆；
【小题2】
解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下：
由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，
则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为，
则这天小石这天共摄入脂肪，
，
∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标．

22.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
∴，
∴一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
【小题2】
解：如图，
当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数即的值，又大于函数的值，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：根据频数分布直方图和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，
所以八年级的中位数；
【小题2】
七
【小题3】
八
该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数
【小题4】
解：估计七年级名学生成绩的平均数为分，八年级名学生成绩的平均数为分，
所以估计校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为：（分）．

24.【答案】【小题1】证明：连接 OD, 与AC交于H, 如图.
DE是O的切线,
ODDE，
∠ODE=
D为的中点，
=，
AOD=COD，
AO=CO,
OHAC，
∠OHC==∠ODE，
DE∥AC.
【小题2】解:AB是O的直径,
ACB=.
AC=8,A=,
在RtABC中,AB==10.
OA=OB=OD=5.
OHAC,
AH=CH=AC=4.
OH==3.
DE∥AC,
OCH∽OED.
==.
DE=.
BCH=DHC=,APD=CPB,
BCP∽DHP.
=.
BC==6,DH=OD-OH=2,
CP=3HP.
CP+HP=CH=4,
CP=3.
BP==3.

25.【答案】【小题1】
解：设所在的抛物线的解析式，
由题意得，，代入抛物线解析式得，
，
解得，
所在的抛物线的解析式为，
，且，
（米），
（米）；
【小题2】
解：，，
，
（米），
所以，AB的宽是6米；
【小题3】
解：该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由如下：
在中，当时，，

∴该大型货车可以从桥下区域安全通过．

26.【答案】【小题1】
解：，
∴抛物线顶点C（m，3m），
【小题2】
当时，抛物线解析式为，对称轴为直线，开口向下，
时，随增大而减小，
，
当时，取最大值，
直线与直线关于直线对称，
时，，
，
解得．
【小题3】
抛物线顶点坐标为，
抛物线顶点在直线上运动，
如图，点在直线上，点与抛物线顶点重合时，，
时满足题意，
把代入得，
解得或，
当时，抛物线同时经过，，
满足题意．
当时，抛物线与有一个交点，
把代入得，
解得或，
满足题意．
综上所述，或．

27.【答案】【小题1】
解：过点作于点H，
由旋转的性质得：，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：①如图所示.
②，
证明：取中点P，连接，
∵，，
，
又，，
，
，
，
∴，
∴，
∴点中点，
．

28.【答案】【小题1】
、
【小题2】
解：已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，
以点为圆心，4为半径画圆，在上运动，
以点为圆心，2为半径画圆，如图所示：
点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，
，，，，
，，
和为等边三角形，
，，
四边形是菱形，
，，，
设与相交于点，
和为上或内存在一点，
，即，
当、、三点共线时，最大，
此时在圆上，，如图所示：
，
，
，
中，，，
，
不妨设，那么，
，
，
，，
，
，
，
此时在上，符合题意；
综上所述，可知，最大时，在上，在上，且，
设点的纵坐标为，
，
．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑