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2025-2026学年高三下学期第一阶段考试数学试题 A．2 B．3 C． D．
注意事项： 7．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 A．f（x）＝3x B． C． D．f（x）＝|x|
题卡上填写清楚.
8．已知点 P是直线 l1：mx﹣y﹣5m+1＝0和 l2：x+my﹣5m﹣1＝0的交点，点 Q是圆 C：（x+1）
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 2+y2＝1上的动点，则|PQ|的最大值是（ ）
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
A． B． C． D．
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
8 5 40 . 二、多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的四个选
个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分
项中，只有一项是符合题目要求的）
分，有选错的得 0分）
1．复数 z满足 （i为虚数单位），则复数 z的共轭复数为（ ）
9．已知 A，B，C，D是空间直角坐标系 O﹣xyz中的四点，P是空间中任意一点，则（ ）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
A．若 A（﹣4，﹣3，2）与 B（a，b，c）关于平面 yOz对称，则 a+b+c＝﹣3
2．已知集合 A＝{x|0≤x＜2}，集合 B＝{x|x＞m}．若集合 A B，则实数 m的取值范围是（ ）
B．若 ，则 A，B，C，D共面
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．[0，2） D．[2，+∞）
C．若 ，则 A，B，C，D共面
3．已知向量 ，若 ，则 x＝（ ）
D．若 A（0，0，2），B（1，2，0），C（2，m，n）三点共线，则 m+n＝2
A．100 B． C． D．1000
10．已知 F是抛物线 C：y2＝4x的焦点，不过原点的直线 l与抛物线相交于 A、B两点，则下列
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与 x轴非负半轴重合，终边经过点（﹣4，3），则 sinθ＝（ ）
说法正确的是（ ）
A． B． C． D． A．若直线 l过点 F，则|AB|的最小值为 2
5．已知 lga，lgb是方程 2x2﹣4x+1＝0的两个实根，则 （ ） B．若直线 l过点 F，点 A在一象限，|AF|＝4，则直线 AB的倾斜角为
A．2 B．4 C．6 D．8 C．若|AB|＝6，线段 AB的中点为 M，则 M到 y轴的距离最小值是 2
6 C a 0 b 0 D．若直线 l过点 F，则原点在以线段 AB为直径的圆内．已知双曲线 ： （ ＞ ， ＞ ）的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l与 C的
左、右两支分别交于点 P，Q，若 ，且 ，则 C的离心率为（ ） 11．已知△ABC的三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，面积为 ，则
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下列说法正确的是（ ）
参考数据： ， 127.5， 7.14．
A．cosAcosC的取值范围是
参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其相关系数 r
B．若 D为边 AC的中点，且 BD＝1，则△ABC的面积的最大值为
C ABC ，其经验回归直线 y x+a中， ．．若△ 是锐角三角形，则 的取值范围是
D．若角 B的平分线 BE与边 AC相交于点 E，且 ，则 a+4c的最小值为 10
16．（15分）已知数列{an}的前 n项和 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．曲线 y＝x3+2x在点（﹣1，a）处的切线方程为 ． （2）求数列 的前 n项和 Tn．
13．“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派 6名警力去 A、
B两个景区执勤．要求 A景区至少增派 3名警力，B景区至少增派 2名警力，则不同的分配 17．（15分）如图所示，五面体 ABCDE中，AB⊥BC，四边形 ABDE为平行四边形，点 E在面
方法的种数为 ． ABC内的投影恰为线段 AC的中点，AE＝AC＝2AB＝2．
14．已知数列{an}的通项公式为 an＝[log2n]，其中[x]表示不超过 x的最大整数，例如[1.2]＝1， （1）求五面体 ABCDE体积；
[﹣2.3]＝﹣3，则 a1+a2+a3+ +a2025＝ ． （2）求平面 AEC与平面 DBC夹角的余弦值．
四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物 2025
年 1月至 5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如表：
月份 x 1 2 3 4 5
繁殖量 y/千个 1.5 2 3.5 8 15
（1）据上表数据，计算 y与 x的相关系数 r（精确到 0.01），并说明 y与 x的线性相关性的强
弱； 18．（17分）已知椭圆 四点 、P2（0，1）、 、
（若|r|＞0.75，则认为 y与 x线性相关性很强，否则认为 y与 x线性相关性较弱）
中恰有三点在椭圆 C上．
（2）利用最小二乘法建立 y关于 x的线性回归方程，并估计 10月份该生物繁殖量．
（1）求 C的方程；
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（2）设直线 l不经过点 P4且与 C相交于 A，B两点，若直线 P4A与直线 P4B的斜率的和为
0，求证：l的斜率为定值．
19．（17分）设函数 ．
（1）当 a＝1时，求曲线 f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）证明：存在 x0∈（0，+∞），使得当 1＜a＜2时， ．
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参考答案 （2）因为 ，
一．单项选择题
所以 ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B B C A D ，
所以 y关于 x的线性回归方程为 y＝3.3x﹣3.9，
二．多项选择题 当 x＝10时， ，
题号 9 10 11
则 10月份该生物繁殖量为 29.1千个．
答案 BD BCD ABC
16．解：（1）因为 ，
所以当 n＝1时， ，
三．填空题
*
12．5x 当 n≥2，n∈N 时，﹣y+2＝0．
13．35． ，
14．18214． 显然 a1＝1也适合上式，
所以 an＝3n﹣2．
四．解答题
（2）由（1）知，an＝3n﹣2，所以 ，
15．解：（1）由已知得， ，
所以 ，①
，
，②
， ① ﹣ ② 得 ：
故
，
所以 y与 x的线性相关性很强；
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， 则 A（0，﹣1，0），C（0，1，0）， ， ，
所以 ． 又 ，所以 ，
17．解：（1）因为点 E在面 ABC内的投影恰为线段 AC的中点，作 EO⊥AC垂足为 O，则 EO
所以 ， ，
⊥平面 ABC，
又平面 AEC的法向量可以为 ，
设平面 DBC的法向量为 ，则 ， ，
则 ，取 ，
因为 AE＝AC＝2AB＝2，所以△EAC为等边三角形，所以 ，
又 AB⊥BC，所以 ， 设平面 AEC与平面 DBC夹角为θ，则 ．
过点 E作 AC的平行线 EF，过点 D作 BC的平行线交 EF于点 F， 18．解：（1）由对称性可知 P3和 P4在椭圆 C上，∴ ，
又四边形 ABDE为平行四边形，所以 ABC﹣EDF为三棱柱，
∵ ，∴P1不在 C上，进而 P2在 C上，∴ ，
则 ，
∴b＝1，a＝2，即 C的方程为 ．
又三棱锥 C﹣DEF的体积是三棱柱 ABC﹣EDF的体积的 ，
（2）证明：如果 l与 x轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 ，且|t|＜2，
所以五面体 ABCDE的体积是三棱柱 ABC﹣EDF的体积的 ，
可得 A，B的坐标分别为 ，
所以五面体 ABCDE的体积 ．
（2）由（1）知 EO⊥平面 ABC，在平面 ABC内过点 O作 OM⊥AC交 BC于点 M， 则 ，
如图建立空间直角坐标系，
∴ ，不符合题意．
从而可设 l的方程为 y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，
∴ ，
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只需证： ，
则 ，
设 （1＜x＜2），
∴ ，
则 ，
∴ ，
设 （1＜x＜2），
∴ ， 则 ，
∴ ， 当 1＜x＜2时，h'（x）＜0，所以 h（x）在（1，2）上单调递减，
而 h（1）＝1＞0，h（2）＝﹣1＜0，故必存在唯一 x0∈（1，2），使得 h（x0）＝0，
∴ ，
所以当 x∈（1，x0）时，h（x）＞0，即 g'（x）＞0；当 x∈（x0，2）时，h（x）＜0，即 g'（x）
∵直线 l不经过点 P4，∴ ， ＜0，
∴2k﹣1＝0，解得 ． 所以 g（ x）在（ 1， x0）上单调递增，在（ x0， 2）上单调递减，而 g（ 1）＝ 0，
，
19．解：（1）当 a＝1时， ，
所以 g（x）＞0在（1，2）上恒成立，即 成立，原命题得证．
所以 f′（x）＝（x+1）lnx，则 ，f′（e）＝e+1，
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则曲线 f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为 ，
即 ．
（2）因为 f′（x）＝（x+a）（lnx﹣lna），1＜a＜2，
由 f'（x）＞0，得 x＞a，由 f'（x）＜0，得 0＜x＜a，
所以 f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以 f（x）的最小值为 ，
要证： ，
即证： ，
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