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2025-2026学年高三下学期四月质量检测数学试题 5．已知 ，且 ， ，则下面正确的为（ ）
A． B．
注意事项：
C． D．
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
6．已知某大厂的甲、乙车间生产的圆钢数之比为 2：3，现在要对甲、乙两个车间生产这种圆钢
题卡上填写清楚.
的直径进行误差抽检，具体要求为按比例分层抽检 50根，若抽检的甲、乙车间圆钢的直径
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
. . 误差的平均值分别为 1.1mm，1.05mm，误差的方差分别为 0.5mm
2，0.45mm2，则可以估计甲、
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效
乙车间的总体误差的方差约为（ ）
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
A．0.686mm2 B．1.07mm2 C．0.4706mm2 D．0.475mm2
一．选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 7．若等差数列{an}满足 a1013＝0，则 （ ）
符合题目要求的。 A．2025 B． C． D．
1．已知复数 z＝﹣1+i，则 z（ 1）＝（ ）
8．已知函数 在R上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）
A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i
2．已知集合 A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，则 A∩B＝（ ） A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C． D．
A．{1，2，4} B．{1，2} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}
3．已知△ABC的角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a＝1，b+c＝2， ，则 sinB 二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
+sinC＝（ ） 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
A B C 1 D （多选）9．已知公差为 d的等差数列{an}中，前 n项和为 Sn，且 a3+a7＝22，a4a5＝99，则（ ）． ． ． ．
A．d＝2 B．a4＝9 C．S6＞63 D．S8＞63
4．设 和 是两个非零向量，向量 ，则 是 的（ ）
（多选）10．已知定义域为 R的函数 f（x）满足 f（x）不恒为零，且 f（x+6）＝f（x），f（3+x）
A．充分不必要条件
+f（3﹣x）＝0，f（2）＝0，则下列结论正确的是（ ）
B．必要不充分条件
A．f（0）＝0
C．充要条件
B．f（x）是奇函数
D．既不充分也不必要条件
C．f（x）的图象关于直线 x＝13对称
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D．f（x）在[0，10]上有 6个零点
（多选）11．已知双曲线 的左，右焦点分别为 F ，F ，则下列选 四．解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 2
项正确的是（ ） 15．（13分）已知函数 ．
A．若 a＝2， ，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 （1）若 tan（α+2025π）＝2，求 f（α）的值；
（2）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间．
B．若点 P在双曲线 C上，则直线 PF1与 PF2的斜率之积为
C．以线段 F1F2为直径的圆与双曲线 C在第一象限交于点 P，且|PO|＝|PF2|，则双曲线 C的
16．（15分）已知椭圆M： 的左、右焦点为 F1，F2，|F1F2|＝2，离心
离心率
率为 ．
D．若过 F2的直线 l与 x轴垂直且与渐近线交于 A，B两点， ，则双曲线 C的
（1）求椭圆 M的标准方程；
渐近线方程为
（2）设点 P（x0，y0）在椭圆上，点 Q在射线 F2P上，且满足|PQ|＝|PF1|．
（i）求点 Q的横坐标（用 x0表示）；
（ⅱ）判断并证明线段 QF1的垂直平分线与椭圆 M的位置关系．
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．设 a∈Z，且 0≤a≤13，若 512026+a能被 13整除，则 a等于 ．
17．（15分）如图，在四棱锥 E﹣ABCD中，AD⊥平面 ABE，BC∥AD，△CAE是以 CE为斜边
13．若曲线 y＝ ln（2x+2）在点 处的切线也是曲线 y＝ex﹣ax的切线，则实数 a＝ 的等腰直角三角形．
． （1）证明：平面 ACE⊥平面 ABCD．
14．建筑学上，建筑师利用各种弯曲空间可以建造出很多外形美观的建筑物．刻画空间的弯曲 （2）若 AE＝5，AB＝4，且直线 DE与平面 ABE所成的角为 45°，求直线 BD与平面 CDE
性是几何研究的重要内容．在几何学中可用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率 所成角的正弦值．
等于 2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，大小用弧度
制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有 3
个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 4π
．则正方体的总曲率为 ；正四棱锥的总曲率为 ．
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18．（17分）已知函数 f（x）＝kx2﹣cosx，g（x）＝mex+2x， 参考答案
（1）求函数 g（x）的极值；
一．选择题
（2）若 m＝1，当 x≥0时，g（x）≥f′（x）+1恒成立，求实数 k的取值范围；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
（3）若 m＝0，函数 h（x）＝g（x）﹣f（x），若存在 x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），使得 h（x1）
答案 A B D B D C B D
＝h（x2），求证： ．
二．多选题
题号 9 10 11
答案 ABD AB ACD
19．某科研团队研发的两款 AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共
进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜
三．填空题
的概率都是 p（0＜p＜1），各局比赛的结果相互独立，且无平局．
12．12．
（1）当 时，两款机器人共进行 5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为 X，
13．﹣1．
求 X的分布列和数学期望； 14．4π；4π．
（2）当 时，若两款机器人共进行 2n+1（n∈N*且 n≥2）局比赛，记事件 Ak表示“在
前 2n﹣1局比赛中 Alpha星赢了 k（k＝0，1，2， ，2n﹣1）局”．事件 B表示“Alpha星最 四．解答题
15．解：（1）由已知，tan（α+2025π）＝2，得 tanα＝2，
终获胜”．求 值；
（3）若两款机器人共进行了 2n﹣1（n∈N* 所以）局比赛，Alpha星获胜的概率记为 Pn；若两款机
器人共进行了 2n+1局比赛，Alpha星获胜的概率记为 Pn+1；若两款机器人共进行了 2n+3局
比赛，Alpha星获胜的概率记为 Pn+2．证明：当 时，Pn+Pn+2＜2Pn+1．
；
（2）因为
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，
所以 f（x）的最小正周期为 ，
因为|PF1|＝|PQ|，设线段 PF1中点为 N，则线段 PF1的垂直平分线为 PN．
令 ，k∈Z，得 ，k∈Z，
因为 ，所以 ，
所以 f（x）的单调递增区间为 ，k∈Z．
所以 ，
所以当直线 QF1的斜率存在且不为 0时，
16．解：（1）设椭圆 M的半焦距为 c，则依题意有 ，解得 ，
，
所以椭圆 M的标准方程为 ；
所以直线 PN的方程为 ，即 ，
（2）（ⅰ）因为 P（x0，y0）在椭圆上．所以 ，所以 ，
所以 ， 联立 ，消去 y得 ，
， 化简得 ，则 ，
所以当直线 QF1的斜率存在且不为 0时，直线 PN与椭圆 M有且仅有一个公共点 P，
设 Q（x，y），则 ，
即直线 PN与椭圆 M相切；
所以 ， 当直线 QF1的斜率为 0时，点 P（﹣2，0）或 P（2，0），
则直线 PN的方程为 x＝﹣2或 x＝2，所以直线 PN与椭圆 M相切；
所以 ，
当直线 QF1的斜率不存在时，点 或 ，
所以点 Q的横坐标为 ；
（ⅱ）直线 PN与椭圆 M相切，证明如下： 则直线 PN的方程为 ，或 ，所以直线 PN与椭圆 M相切．
综上所述，直线 PN与椭圆 M相切．
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17．解：（1）证明：由△CAE是以 CE为斜边的等腰直角三角形，
则 ，
得 AE⊥AC，由 AD⊥平面 ABE，
所以直线 BD与平面 CDE所成角的正弦值为 ．
AE 平面 ABE，得 AD⊥AE，而 AD∩AC＝A，AD，AC 平面 ABCD，
则 AE⊥平面 ABCD，又 AE 平面 ACE，
所以平面 ACE⊥平面 ABCD；
（2）由（1）得 AE⊥AB，而 AD⊥平面 ABE，则直线 AE，AB，AD两两垂直，
18．解：（1）g（x）＝mex+2x，定义域为 R，g'（x）＝mex+2，
以点 A为原点，直线 AE，AB，AD分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，
当 m≥0时，g'（x）＞0恒成立，故函数 g（x）在 R单调递增，无极值；
当 m＜0时，令 g'（x）＝mex+2＝0，得 ，
故当 时，g′（x）＞0，函数 g（x）单调递增，
当 时，g'（x）＜0，函数 g（x）单调递减，
，
所以当 时，函数 g（x）取得极大值 ，无极小值．
由 AD⊥平面 ABE，得直线 DE与平面 ABE所成的角为∠DEA，且∠DEA＝45°，则 AD＝AE
综上，当 m≥0时，函数无极值；当 m＜0时，函数 g（x）的极大值为 ，无极
＝5，
小值．
而 BC∥AD，则 BC⊥AB， ，
（2）f'（x）＝2kx+sinx，
E（ 5， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， D（ 0， 0， 5）， C（ 0， 4， 3），
因为 m＝1，当 x≥0时，g（x）≥f′（x）+1恒成立，
， 所以当 x≥0时，ex+2x﹣2kx﹣sinx﹣1≥0恒成立，
x
设平面 CDE的法向量为 ， 令 F（x）＝e +2x﹣2kx﹣sinx﹣1，x≥0，F（0）＝0，
F′（x）＝ex+2﹣2k﹣cosx，x≥0，F′（0）＝2﹣2k，
则 ，则 ， 令φ（x）＝F'（x）＝ex+2﹣2k﹣cosx，x≥0，
则φ'（x）＝ex+sinx≥0在[0，+∞）恒成立，即 F′（x）在[0，+∞）单调递增，
令 z＝2，得 ，
故当 F'（0）＝2﹣2k≥0，即 k≤1时，F′（x）≥F′（0）＝0，F（x）在[0，+∞）单调递
设直线 BD与平面 CDE所成的角为θ，
增，
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F（x）≥F（0）＝0在[0，+∞）恒成立； 所以 成立．
当 F′（0）＝2﹣2k＜0，即 k＞1时，当 x→+∞时，F′（x）→+∞，
所以，存在 x0＞0，使得 x∈（0，x0）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，
F'（x）＞0，F（x）单调递增，
故由 F（0）＝0可知，x∈（0，x0）时，F（x）＜0，与 F（x）≥0在[0，+∞）恒成立矛盾． 19．解：（1）两款机器人共进行 5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值 X可能的取值有
综上，当 k≤1时，ex+2x﹣2kx﹣sinx﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，即 g（x）≥f′（x）+1恒
1，3，5，
成立．
则 ，
（3）证明：m＝0，函数 h（x）＝g（x）﹣f（x）＝2x﹣kx2+cosx，h'（x）＝2﹣2kx﹣sinx，
因为存在 ，使得 h（x1）＝h（x
，
2），
所以 ，整理得（ x1﹣ x2） [2﹣ k（ x1+x2） ]＝ ，
cosx2﹣cosx1， ∴X的分布列为：
所以 ， X 1 3 5
P
所 以 ， 因 为
， 数学期望 ．
所以 h′（ ） sin sin sin （2）在前 2n﹣1局比赛中 Alpha星赢的局数 k≤n﹣2时，第 2n，2n+1局全胜，最终也无法
获胜，
（ 1），
∴ ，
因为 ，则 ， ，
当 k＝n﹣1时，仅当第 2n，2n+1局全胜，最终才能赢得比赛，即 ，
故要证 ，只需证 ，
当 k＝n时，第 2n，2n+1局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即
不妨设 x1＞x2，令 ，故只需证 ，只需证 sint﹣t＜0，
，
令 m（t）＝sint﹣t，t＞0，则 m′（t）＝cost﹣1＜0在（0，π）上恒成立，
当 k＝n+1时，无论第 2n，2n+1局什么结果，都能最终赢得比赛，即 ，
所以 m（t）＝sint﹣t，t＞0在（0，π）上单调递减，
所以 m（t）＜m（0）＝0，即 sint﹣t＜0成立， 综上， ．
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（3）证明：两款机器人共进行了 2n﹣1（n∈N*）局比赛，Alpha星获胜的概率记为 Pn，
若两款机器人共进行了 2n+1局比赛，Alpha星获胜的概率记为 Pn+1，
若两款机器人共进行了 2n+3局比赛，Alpha星获胜的概率记为 Pn+2，
由全概率公式可知：
∴ ，
当 时，Pn+1﹣Pn＞0，
∵
，
Pn+1﹣Pn＞0，
∴Pn+2﹣Pn+1＜Pn+1﹣Pn，即 Pn+Pn+2＜2Pn+1．
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