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2025~2026 学年度下学期第一次月考试题 高一数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第六章, 第九章第 1 节。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 下列调查中, 适合用普查的是
A. 调查全国居民的食品消费结构
B. 调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标
C. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命
D. 检查某载人飞船零部件的质量情况
2.
A. B. C. D. 0
3. 已知 是平面内的一个基底,则可以与向量 构成平面另一个基底的向量是
A. 0 B. C. D.
4. 某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学生进行调查. 若得到的样本中初中的学生人数比小学少 80 人，比高中多 40 人，该地区小学、高中的学生人数之比为 ，则样本容量为
A. 460 B. 690 C. 880 D. 980
5. 已知 是 的内角，则“ ”是 “sin ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知平面向量 满足 ,则 在 上的投影向量的坐标为
A. B. C. D.
7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 在同一平面内的两个观测点 与 ,现测得 米,在点 处测得塔顶 的仰角为 ,在点 处测得塔顶 的仰角为 ，则铁塔的高度为
A. 80 米
B. 100 米
C. 112 米
D. 120 米
8. 已知点 是菱形 所在平面内的一点,若菱形的边长为定值,且 的最小值为 -9,则该菱形的边长为
A. B. C. 2 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 ,若 有且只有一个,则 的值可以是
A. 1 B. C. D.
11. 已知 是边长为 1 的正六边形 内一点(含边界),且 ,则
A. 的面积恒为 B. 存在 ，使得
C. D. 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若从同一发射源射出的两个粒子 在某一时刻的位移分别为 ,则该时刻 相对于 的位移的坐标为_____.
13. 已知 为 的外心， 为 所在平面内一点，且 ,则点 为 的_____心.(填“重”“垂”“内”或“外”)
14. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 面积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知点 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
16. (本小题满分 15 分)
已知 为单位向量,向量 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 与 的夹角.
17. (本小题满分 15 分)
已知 的内角 的对边分别为 的周长为 .
(1)求 ；
(2)若 是 的平分线，且交 于点 ，求 .
18. (本小题满分 17 分)
如图，在等腰梯形 中， ， 为线段 的中点， 与 交于点 为线段 上的一个动点.
(1)用基底 表示 ；
(2)求 的值；
(3)设 ，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知 是锐角三角形,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求边 上的中线 的取值范围.
2025~2026 学年度下学期第一次月考试题 · 高一数学 参考答案、提示及评分细则
1.D 全国居民数量庞大，全面调查难度大、成本高，适合抽样调查，A 错误；调查一批袋装牛奶的细菌数具有毁损性,适合抽样调查, B 错误; 测试电池使用寿命会对电池造成损坏,适合抽样调查, C 错误; 载人飞船零部件的质量关乎飞行安全, 必须确保每个零部件都合格, 适合用普查, D 正确. 故选 D.
2. A . 故选 A.
3. 向量 与向量 平行,不能构成空间的一个基底, 与 不共线,所以 与 可以构成平面的一个基底. 故选 B.
4.C 设样本中小学学生人数为 ,则高中学生人数为 ,所以 ,解得 ,即高中学生数为 ,初中学生人数为 ,小学学生人数为 ,样本容量为 . 故选 C.
5. C 在 中,若 ,由正弦定理得 ,所以 ; 若 ,则 ,由正弦定理得 ，所以 “ ” 是 “ ” 的充要条件. 故选 C.
6. B 因为 ，则 ，又 ，所以 ,可得 ,设 与 的夹角为 ,所以 在 上的投影向量为 . ,所以坐标为 . 故选 B.
7. B 设 ,由 ,知 . 在 中, 米,由余弦定理,得 ，解得 米. 故选 B.
8. 由 ,可建立如图所示平面直角坐标系,设 , ,则 ,所以 ,则 ,故 ,所以 . 故选 D.
9.BD 向量不能比较大小, A 错误; 表示向量大小相等,方向相同,所以 正确; 若 ,则不能推出 错误; 根据平面向量相等的定义, 正确. 故选 BD.
10. 由正弦定理，得 ，所以 ，当 时， ，又 ，所以 ，或 ,当 时, ,不合题意,此时 有且只有一个, 正确; 当 时, ,又 ,所以 ,或 ,当 时, ,不合题意,此时 有且只有一个, B正确; 当 时, ,又 ,所以 ,或 ,此时 有两个, 错误; 当
1,此时 不存在, D 错误. 故选 AB.
11. AC 由 ,可得 ,即 ,所以 在正六边形 的对角线 上运动,所以 ,所以 的面积为定值,且 , A 正确; 因为正六边形 关于直线 对称,所以不论 在何处,总有 , B 错误; 根据图形的对称性,当 为 的中点时, 取到最大值 ，当 与 或 重合时， 取到最小值 ，故 的取值范围是 ，C正确; 的取值范围是 错误. 故选 AC.
12. 相对于 的位移为 .
13. 垂 因为 ,所以 , 所以 ,同理 ,则点 为 的垂心.
14. 由余弦定理得 ,即 , 当且仅当 时,等号成立,故 . 因此, 面积的最大值为 .
15. 解: 由题知, . 3 分
(1)若 ，则 ， 6 分
解得 ,故实数 的值为 . 8 分
(2)若 ,则 ,整理得 , 11 分解得 或 . 13 分
16. 解:(1)因为 ，所以 ，解得 ，
3 分
所以 . 6 分
(2)因为 ，
所以 ,
所以 , 9 分
又 ,所以 ,
又 ,所以 , 11 分设 与 的夹角为 ,则 , 13 分
因为 ,所以 ,即 与 的夹角为 . 15 分
17. 解: (1) 由题意可知 , 1 分
由正弦定理可知 ,即 ,
整理,得 . 4 分
由余弦定理可知 .
又 ,故 . 7 分
(2)在 中，由余弦定理可得 ，
即 ,解得 或 (舍去), 10 分
又 ， 12 分
所以 ,
解得 . 15 分
18. 解:(1)因为 ， 1 分
3 分
所以 . 4 分
(2)设 ，① 5 分
设 ,可得 ,即 ,② 7 分
由①②得 解得 9 分
所以 ,所以 . 10 分
(3)由题意，可设 ，
代入 中，可得 .
又 ,故 可得 . 13 分
因为 ,且函数 在 上单调递减,所以 ,
15 分
因为函数 在 上单调递减,
所以 ,
所以 的取值范围为 . 17 分
19. 解:(1)由 及正弦定理得， ， 1 分
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,即 , 3 分
因为 ,所以 ,因为 ,所以 . 5 分
(2)
. 7 分
因为 是锐角三角形,且 ,所以 所以 , 8 分
所以 ,
所以 的取值范围为 . 10 分
(3)由余弦定理得， ,即 .
由 ,两边平方得 . 12 分由正弦定理可知, ,所以 ,
所以
, 15 分
由 ( 2 )知 ，所以 ， ， ,9]，
即 ,则 . 17 分

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