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佛山一中 2025 学年下学期第一次教学质量检测
高二数学
满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考试范围主 选择性必修二
考试时间:2026 年 4 月 2 日
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。
1. 在等差数列 中, ,则公差等于 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 函数 的单调递减区间是 ( )
A. B. C. D.
3. 在一个有穷数列中，每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作称为该数 列的一次 “ 扩展”. 已知数列1,2,第一次 “ 扩展” 后得到 1,3,2,第二次 “ 扩展” 后得到 1，4，3，5，2，那么第五次 “ 扩展” 后得到的数列的项数为 ( )
A. 17 B. 33 C. 32 D. 65
4. 下列不等式中,在 上恒成立的是 ( )
A. B. C. D.
5. 设 ,则 大小关系是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 的图象与 轴恰有两个公共点,则 ( )
A. 0 或 4 B. 3 或 4 C. 0 或 2 D. 2 或 3
7. 设 是函数 的导函数,将 和 的图象画在同一直角坐标系中,其中不可能的是 ( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知 ,若 ,则当 取得最小值时, 所在区间是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 小明从家里到学校行走的路程 与时间 的函数关系如图所示,记 时刻的瞬时速度为 , 区间 上的平均速度分别为 ,则下列判断正确的有 ( )
A. 对于 ,存在 ,使得
B. 整个过程小明行走的速度一直在加快
C.
D.
10. 已知定义在 上的函数 ,函数 的导函数为 ,且 ,则 ( )
A. 当 时, . B. 当 时, .
C. 当 时, D. 当 时, 在 上单调递增
11. 对于在定义域处处可导的函数 ,如果它的导函数 也是处处可导,那么将 的导函数记为 . 如果 有零点,则称其为 的 “驻点”; 如果 有零点 ,且 在 两侧异号,则称点 为 的 “拐点” 。某同学对三次函数 和 进行探究,得到如下命题,其中真命题为 ( )
A. 在 “驻点” 处取得最值
B. 一定有 “拐点” ，不一定有 “驻点”
C. 若 有 3 个零点,则
D. 总存在实数 ,使得 对于任意不相等的两实数 都有
三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共15分。
12. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 _____.
13. 过 作函数 的图象的切线,切线方程为_____.
14. 若函数 在 上存在单调递增区间，则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式；
(2) 设 ,求数列 的前 项和 .
16. (本小题 15 分)
已知函数
(1)求 在 处的切线，并计算切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；
( 2 )求 在区间 上的最值.
17. (本小题 15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ,数列 是等比数列, .
(1)求数列 和 的通项公式:
(2)若 设数列 的前 项和为 ，求 ；
(3) 求 .
18. (本小题 17 分)
已知函数 .
(1) 当 时,证明 ;
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
19. (本小题 17 分)
已知函数 .
(1) 当 时,判断 有无极值点,并说明理由;
(2) 当 时,判断函数 在 上的零点个数并给出证明.
佛山一中 2025 学年下学期第一次教学质量检测
高二数学答案及说明
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
题号 9 10 11
答案
12.39 13. (一般式也给分). .
1.
设等差数列的首项为 ,公差为 ,因为 ,
所以 ,解得 ,故选:
2.
函数的定义域是 ,
令 ,解得: ,
故函数在 递减,故选: .
3.
设第 次 “ 扩展” 后得到的数列的项数为 ,
则第 次 “ 扩展” 后得到的数列的项数为 ,
即 ,
,
又 ,
是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,
,
,
. 故选 .
4.
当 时, ,不恒成立,故 不合题意;
令 ,
则 ,则 在 上单调递增,
故 ,则 . 故 不合题意;
令 ,则 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
故 ,则存在 ,使得 . 故 不合题意.
令 ,
则 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
故 ,则 恒成立故 符合题意;
5.
构造函数 ,
则 ,
当 时, ,
则 在 上单调递增.
又 ,
即 ,故 .
6.
,
所以当 时, 或 2 . 则 的变化情况如下表:
0 (0,2) 2 (2, +oo)
+ 0 - 0 +
↗ ↘ ↗
因此,当函数图象与 轴恰有两个公共点时,必有 或 ,
所以 或 . 故选 .
7.
对于选项 ,有可能曲线对应的函数为原函数,直线对应的函数为导函数,原函数先减后增, 导函数先负后正,符合要求,故 正确;
对于选项 ,有可能在 轴上方的曲线对应的函数为导函数,另一支曲线对应的函数为原函数,原函数始终单调递增,导函数始终为正,符合要求,故 正确;
对于选项 ,有可能在 轴上方的曲线对应的函数为导函数,另一支曲线对应的函数为原函数,原函数始终单调递增,导函数始终为正,符合要求,故 正确;
对于选项 ,无论谁作为导函数,谁作为原函数,都无法相对应,故 错误. 故选 .
8.
令 ,
即 ,
所以 ,
所以 ,
令 ,
则 ,
因为 递增, 单调递减,
所以存在唯一 使得 ,
当 时, ,
当 时, ,
所以 ,
即 取得最小值时, ,
由零点的存在定理验证 的根的范围,
当 时, ,
当 时， ，
故 ,故选: .
9.
对于 ,由图根据导数的几何意义可得对于 ,存在 ,使得 ,故 正确;
对于 ,由图结合导数的几何意义可知,小明行走的速度开始在 段逐步加快,在 段又逐步减慢,故 错误.
对于 ,由图可知, 处的切线斜率大于 ,故 正确
对于 ,设 ,由图可知 ,
,
,故 正确; 故选 .
10.
. 令
故 单调递增, 故 符合题意.
B. 令
故 单调递增, 故 符合题意.
C. 令
故 单调递增,
故 不符合题意.
D. ,
当 时, ,故
故 在 上单调递增,故 符合题意.
11.
对于 ,由 ,得 ,
由 ,得 或 ,所以 和 是 的 “驻点”,
当 或 时, ,当 时, ,
所以 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
所以 在 “驻点” 处没有取得最值,所以 错误;
对于 ,由 ,得 ,
令 ,方程不一定有根,所以 不一定有 “驻点”,
由 ,得 ,所以 一定有 “拐点”,所以 正确;
对于 ,由 ,得 ,由选项 可知 在 和 上单调递增, 在 上单调递减,
所以 的极大值为 ,极小值为 ,
所以 的大致图象如图,
由图可知当 时, 与 的图象有 3 个不同的交点,
所以 有 3 个零点,则 ,所以 正确;
对于 ,若 ,则 在 上单调递增,
所以不存在实数 ,使得 对于任意不相等的两实数 都有 ,所以 错误.
故选:
12. 39
由等比数列 满足 ,
可得等比数列的公比 ,
根据等比数列的性质,可得 也成等比数列,
即 ,
得 ,
解得 .
故答案为: 39 .
13. (一般式也给分)
,
,
设切点为
切线方程为 ,且 在切线上
解得
所求切线方程为: .
故答案为: .
14.
,即
函数 在区间 上存在单调递增区间,只需 在区间 上有解,
即 在区间 上有解,
方法一: 等价于 在区间 上有解,所以
令 ,则
令 ,则 在 上单调递增,所以 ,
即 ,所以 ,所以实数 的取值范围是
故答案为 .
方法二: 可先讨论 在区间 上恒成立,再取补集
令 ,
当 时,在 上 恒成立
当 时,只需 ,即可解得 且 ,故 时 恒成立故若 在区间 上有解,实数 的取值范围是
15. (本小题 13 分)
【答案】 (1) 当 时, ,即 , -1 分
当 时, ①, ②, -2 分
①-②得 ，即 ， -3 分
所以数列 是首项 ,公比为 4 的等比数列, -4 分
故数列 的通项公式为 . -5 分
(2)由题设 , -6 分
则 ③, -7 分
所以 ④, -8 分
③ - ④ 得 -9 分
, -10 分
, -11 分
-12 分
所以 . -13 分
16.(本小题 15 分)
【答案】 (1) 由 ,
得 . -1 分
分当 时， ， -3 分
故切线方程为 -4 分
直线与坐标轴交点分别为 -5 分
故切线与坐标轴围成的三角形面积 -6 分
(2)由(1)得
,当 或 2 时, -7 分
单调递增 -8 分
单调递减 -9 分
单调递增 -10 分
,函数取极大值 4 -11 分
,函数取极小值 0 -12 分
-14 分
故 在 上的最大值为 ,最小值为 0 -15 分
17. (本小题 15 分)
【答案】(1) 设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,
-1 分
解得 -3 分
, -4 分
-5 分
(2)
-6 分
-10 分
(两个求和一个2 分)
(3) 由 (2) 可知
若 为偶数,则 -11 分
若 为奇数,若
若 则 -12 分
-14 分
综上, -15 分
18. (本小题 17 分)
【答案】 (1) 当 时, ,
令
时, -1 分
单调递增
单调递减
,函数取到极大值 -2 分
由于极大值唯一,所以 0 为 在 的最大值 -3 分
故
因为 ,故
故 -4 分
( 2 )因为
-5 分
① 当 时，因为 ，所以 ，
的单调增区间是 ,无单调减区间; -6 分
(没注明“无单调减区间” 扣 1 分)
②当 时,令 ,解得 ,
当 时, ; 当 ,
所以函数 的单调减区间是 ,单调增区间是 , -8 分综上,
当 时,函数 的单调增区间是 ,无单调减区间; -9 分
当 时,函数 的单调减区间是 ,单调增区间是 . -10 分
(3)因为对于任意 ，都有 成立，所以 ，
即问题转化为 对于 恒成立， -11 分
即 对于 恒成立, -12 分
令 ,则 , -13 分
令 ,则 ,
所以 在区间 上单调递增, -14 分
故 ,进而 ,
所以 在区间 上单调递增, -15 分
函数 , -16 分
要使 对于 恒成立,只要 ,
所以 ,即实数 的取值范围是 -17 分
19. (本小题 17 分)
【答案】 (1) 当 时,定义域为 , -1 分
-2 分
令 ,当 时,可得 , -3 分
且 时, ,当 时, ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增, -4 分
, -5 分
即 在 上单调递增,无极值点; -6 分
(2) 在 上的零点个数为2; -7 分
证明: ,
设 ,则 时 , -8 分
当 时, 单调递减, 时, 单调递增,
即 在 上单调递增, -9 分
, -11 分
,
唯一的 , -12 分
在 上单调递减, 上单调递增, -13 分
-14 分
-15 分
,故 在 上有且只有一个零点
当 时, 故 -16 分
故 在 上有且有一个零点
函数 在 和 上各有一个零点,共 2 个零点. -17 分

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