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数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 样本数据2,4,6,8,10,12,14的中位数为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3. 已知向量 ，若 ，则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 下列函数中,既满足 ,又满足 的为
A. B. C. D.
5. 设 ,则
A. B. C. D.
6. 已知球 的半径为1,圆柱 的上、下底面圆周都在球 的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在 上,且满足 ,则 的离心率为
A. B.
C. D.
8. 在 中, ,则 的面积的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知复数 为纯虚数，则
A. B. C. D.
10. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 2
C. 在区间 上单调递增 D. 当 时，
11. 正方体 棱长为 ，下列说法中正确的有 A. 若点 在底面 (含边界)内,且 ，则 的轨迹的长度为 B. 空间中,点 满足 ,则 的轨迹与正方体表面的交线长度为
C. 平面 截正方体所得截面多边形是直角梯形
D. 平面 将正方体分成两个几何体的体积分别为 ,且 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知 为坐标原点,过点 的直线与抛物线 交于 两点, 若 ,则 _____.
14. 已知数列 共有 6 项， ， . 若 ，且 ，则这样的数列 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
如图， 是 的直径， 垂直于 所在的平面， 为圆周上不同于 ， 的点， .
(1)若 为 的中点，证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
16. (15 分)
已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，渐近线方程为 ,点 在直线 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 相切于点 (异于点 ，证明: .
17. (15 分)
已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)证明: ( 为自然对数的底数).
18. (17 分)
某学校围棋社团举行选拔赛，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军，有以下2种方案:
方案 1 甲、乙、丙、丁四人由抽签决定两两对阵, 失败者被淘汰, 获胜者进入决赛，决出冠军.
方案2 甲、乙、丙、丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军.
第一轮:抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组；
第二轮:胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰；
第三轮:胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰；
第四轮:第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军.
设甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ,任意两人对阵无平局,且不同对阵的结果相互独立.
(1)如果采用方案 1，当 时，求甲获得冠军的概率；
(2)如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁. 当 时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望;
(3)采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明.
19. (17 分)
已知 为坐标原点,点 的坐标为 ,以 为圆心的单位圆的上半部分 (含端点) 记为曲线 是 上异于 的任意一点. 设 ,弦 的长与 的长的比值记为 .
(1)求 的最小值;
(2)令 ，讨论 的零点个数；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
1. A 2. B 3. D 4. D
5. C 6. C 7. A 8. B
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. AB 10. ACD 11. ABD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 13. 14. 50
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。
15. (13 分)
(1)证明:因为 是 的直径，所以 为 的中点.
又 为 的中点，所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:因为 在圆周上， ，所以 ， .
在平面 内,过点 作 的垂线 .
因为 平面 ,所以 .
所以 两两垂直.
以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.
.
设 ,则 是平面 的一个法向量. 8 分
因为 ,
设 是平面 的法向量,则
可取 . 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 .
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 13 分
16.(15 分)
(1)解: 因为点 在直线 上,所以 .
因为 的渐近线方程为 ,所以 ,故 .
所以 的方程为 . 6 分
(2)证明:设 ，由 ，得 ，则 . 易知直线 的斜率存在 (另一条过点 的切线为 ),
设其方程为 ,即 .
由 消去 ,得 .
因为直线 与 相切,所以 ,且 .
解得 . 11 分
所以直线 的方程为 .
联立 解得 所以 .
所以直线 的方程为 .
又因为点 到直线 的距离 ,易知 ,所以 .
又点 在 内部,所以 . 15 分
17. (15 分)
(1)解:因为 ，所以 .
因此 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ,即 . 4 分
(2)解:
记 ,①
则 .②
①-②得 ，
所以 .
所以 . 10 分
(3)证明:设 ，则 ，
当 时, ,所以 在 上单调递减.
又 ,所以当 时, ,即 .
因为 ,所以 .
所以 .
即 ,故 . 15 分
18.(17分)
解:(1)设 “采用方案 1 甲获得冠军”.
因为甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ,且 ,
所以 .
即采用方案 1 甲获得冠军的概率为 . 4 分
(2)设甲参与对阵的比赛场数为随机变量 ，则 的所有可能取值为2,3,4.
故 的数学期望 . 10 分
(3)因为甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ，
所以采用方案 1 甲获得冠军的概率为 ;
采用方案 2 甲获得冠军的概率为 .
14 分
因为 ,所以当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 故当 时,采用方案 1 对甲获得冠军更有利;
当 时,采用两种方案中任一种皆可;
当 时,采用方案 2 对甲获得冠军更有利. 17 分
19.(17 分)
解: (1) 由题意可得 .
令 ,则当 时, ,从而 在 上单调递减. 于是 ,进而可得 在 上单调递减.
因此 在区间 的最小值为 . 4 分
(2) ，
函数 的零点个数等于直线 与函数 的图象的交点个数.
设 .
当 时, ; 当 时, .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
又当 时, ,
所以当 时,直线 与函数 的图象无交点,函数 无零点;
同理,当 ,或 时,函数 有 1 个零点;
当 时,函数 有 2 个零点. 10 分
(3)不等式可化为 .
令 .
又设 ,当 时, .
设 ,则当 时, .
所以 在 上单调递增, .
所以当 时, 在 上单调递增. 13 分
① 当 时，对于 ，有 ，即 ，所以 在 上单调递增. 因此, 时, 恒成立,符合题意.
② 当 时，对于 ，有 ，即 ，所以 在 上单调递减. 因此, 时, ,不符合题意.
③ 当 时，因为 ， ，所以存在 ，使得 . 当 时, ,即 ,所以 在 上单调递减. 因此,当 时, ,不符合题意.
综上,实数 的取值范围是 . 17 分

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