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2026年中考模拟考试数学试卷
一、选择题（每题3分，30分）
1.在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作( )
A.+3个 B.-3个
C.+4个 D.-4个
2.如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　）
A．扇形 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
3.2023年4月7日，记者从中国石化新闻办获悉，中国石化“深地工程·川渝天然气基地”又获重大突破．中国石化表示该公司部署在四川省达州市的页岩气专探井雷页1井，试获日产气426600立方米页岩气流，该井埋深超4000米．数据426600用科学记数法表示为4.266×10n，则n的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（ ）
A．40° B．60° C．120° D．140°
5.若ab＜0，则方程ax2＋2x＋b＝0根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
6.如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝（　　）
A．60° B．75° C．90° D．105°
7.计算 ＋ 的结果为(　　)
A. B.
C. D.
8.2021年“绿城·春风江南”杯洛阳元旦长跑暨半程马拉松赛于2021年1月1日盛大开赛， 小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是(　　)
A. B.
C. D.
9.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的大致图象是(　　)
10.很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器.其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（如图①中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图②），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图③.下列说法不正确的是（　　）
图① 图② 图③
A.空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小
B.当c＝0 g/m3时，R1的阻值小于50 Ω
C.当空气中一氧化碳体积浓度是480 ppm时，燃气报警器为报警状态
D.当R1＝20 Ω时，燃气报警器为报警状态
二、填空题（每题3分，15分）
11.若二次根式 在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______．
12.2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024－2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表：
时间/h 12 13 14 15 16
人数 12 20 10 5 3
则这些学生的综合体育活动时间的众数是______h.
13.按一定规律排列的代数式：5x，10x2，15x3，20x4，25x5，…，则第n个代数式是______．
14.黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的 倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形ABCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE，得到黄金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黄金矩形CFGH…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知 ，则阴影部分的面积为 ．
15.在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长______．
三、解答题（8题，75分）
16.（10分）（1）计算： ．
（2）解方程： ．
17.（9分）在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭起了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人(甲型和乙型)，给这两款机器人制定了以下任务：
（1）搬运重物．以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间(单位：秒)：
甲型机器人：38，39，41，43，39
乙型机器人：50，48，32，33，34
请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人．
（2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分(满分10分，得分越高则表现越好)
功能性 交互性 安全性 采购价格
甲型机器人 10 8 9 8
乙型机器人 8 8 8 10
如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准，采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．(要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格)
18.（9分）在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1，0)，顶点A的坐标为(0，2)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上．
(1)确定反比例函数的关系式；
(2)现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点C的对应点C'的坐标．
19.（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线．
(1)在BC上求作一点D，在AG上求作一点E，使四边形ADCE是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：四边形ADCE是矩形．
20.（9分）某网店对“老干妈”品牌的甲、乙两种辣椒产品进行网络直播销售.根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种辣椒产品.
“老干妈产品信息”
①2箱甲种产品和2箱乙种产品共需240元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多40元 ③3箱甲种产品和4箱乙种产品共需400元.
（1）从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格；
（2）在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以100元/箱，80元/箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，则购买甲种产品多少箱时，该店获得的利润最大，并求出最大利润.
21.（9分）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和 测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点 F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点 B 在观测者的水平视线上.
测量数据 DE=2.1 m,DF=2.1 m,DM=1 m,MN=1.2 m.
备注 点F,M,D,C 在同一水平线上.
根据以上信息，解决下列问题.
(1)由标杆的影子 DF的长和标杆DE 的长相等，可得 CD =CA，请说明理由.
(2)求纪念碑AB的高度.
(3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大 并分析误差较大的可能原因(写出一条即可).
22.（10分）已知二次函数y＝x2－2bx＋b2－2（b＞0），其图象抛物线与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）求当b＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若将抛物线向上平移1个单位后，与x轴的交点坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断x1＋x2与x3＋x4的大小，并说明理由；
（3）当0≤x≤2时，y＝x2－2bx＋b2－2（b＞0）的最大值与最小值之差为 ，求b的值．
23.（10分）综合与实践．
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，A′为斜边AC的中点，将与△ABC全等的△A′B′C′绕点A′旋转得到△A′OD.
操作发现：
(1)如图①，顺时针旋转一定角度，记A′D和A′O分别与BC交于点E，F，当A′D⊥AC时，猜想EF和A′F的数量关系为______，并证明你的猜想；
(2)如图②，继续旋转一定角度，当线段A′D经过点B时，连接BO，试判断四边形AA′OB的形状，并证明你的结论；
实践探究：
(3)在整个旋转过程中，当△A′OD在AC下方，且△A′OD的直角边恰好与AC垂直时，设线段A′O与直线BC交于点G，直线BC交射线DO于点H，连接A′H，请直接写出A′H的长．
答案
一、选择题
1.B
【详解】如果某班足球队进4个球记作＋4个，那么该队失3个球记作－3个.
2.C
【详解】因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
3.C　
4.A
5.A　
【详解】∵Δ＝4－4ab，且ab＜0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
6.C
【详解】如答案图，平移CD至GF处，则F，G均在正方形格点上，连接GB，设小正方形的边长为1，由勾股定理得BF2＝5，GF2＝5，BG2＝10，∴BF2＋GF2＝BG2，∴∠BFG＝90°，由条件可知CD∥GF，∴∠BEC＝∠BFG＝90°，∴∠BED＝90°．
答案图
7.C
【详解】 + ＝ ＝ ．
8.A
9.C
【详解】由折叠可得∠CPD＝∠FPD，∵PE平分∠BPF，∴∠BPE＝∠FPE，∴∠EPD＝∠FPE＋∠DPF＝90°，∴∠BPE＋∠CPD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEP＋∠EPB＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∴△EBP∽△PCD，∴ ，∵AB＝3，BC＝5，BP＝x，BE＝y，∴CD＝3，PC＝5－x，∴ ，化简得，y x2 x(0＜x＜5)，∴函数图象应该是开口向下的抛物线，选项C符合题意．
10.D
【详解】A.由图②可知，R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的增大而减小，所以空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；B.由图②可知，当c＝0 g/m3时，R1的阻值小于50Ω，故B正确，不符合题意；C.由图③可知，c＞0.5 g/m3时，燃气报警器为报警状态，所以当空气中一氧化碳体积浓度大于0.5×103×0.8＝400（ppm）时，燃气报警器为报警状态，故C正确，不符合题意；D.由图②可知，R1＝20 Ω时，c＝0.3 g/m3，而c大于0.5 g/m3时，燃气报警器报警，故D错误，符合题意.
二、填空题
11.2（答案不唯一）
【详解】由题意得：x－1≥0，解得x≥1，则符合要求的x的值可以是2．
12.
13.
【详解】∵第1个单项式是5x＝（1×5）x1，第2个单项式是10x2＝（2×5）x2，第3个单项式是15x3＝（3×5）x3，…，∴第n个单项式是5nxn．
14.
【详解】根据题意，四边形ABCD是黄金矩形，∴AB AD，∵AB ，∴AD ，∵四边形ABFE是正方形，∴DE＝AD－AE 1，∴正方形DEGH边长为1，∴阴影部分面积为12 .
15. 或
【详解】∵△ABC为“中垂三角形”，如答案图①，当AD⊥BE时于点P时，∵AB＝4，∠DAB＝30°，∴ ，∴ ，又∵AD，BE分别是中线，连接DE，∴DE是△ABC的中位线，∴ED∥AB，∵∠BAP＝∠EDP，∠ABP＝∠DEP，∴△ABP∽△DEP，∴ ，∴ ，在Rt△DPB中，∵DP2+BP2＝DB2，∴ ，∴ ；如答案图②，当CF⊥AD时，同理可得， ， ，PF＝1，∵DP2+CP2＝DC2，∴ ，∴ ；如果△ABC是“中垂三角形”，如答案图③，设三条中线相交于P，当BF⊥CE时，取BE中点G，连接PG，过G作GH⊥AD于H，∵E为AB中点，∴ ，∵G为EB中点，∴ ，又∵BF⊥CE，∴ ，∵GH⊥AD，∠DAB＝30°，AG＝AE+EG＝3，∴ ，∴GH＞PG，这与垂线段最短相矛盾，∴不存在CE⊥BF；综上所述，BC的长为 或 ．
三、解答题
16.解：（1）原式= 1－2 3
1 3
＝2；
（2） ，
1，
3＝2x－3（x+1），
x＝－6，
检验：当x＝－6时，3（x+1）≠0，
∴x＝－6是原方程的根．
17.解：（1）① ， ，
甲型机器人完成搬运任务时间的极差为43－38＝5，乙型机器人完成搬运任务时间的极差为50－32＝18，
∴乙型机器人完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小(稳定性更好)；
（2）我会着重考虑安全性与采购价格，在4个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4，
则 ， ，
∵8.6＜8.8，
∴按照以上标准采购乙型机器人较合适．(答案不唯一)
18.解：(1)如答案图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠DCB＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠DCB，
在△ACO与△CBD中，
，
∴△ACO≌△CBD(AAS)，
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A(0，2)，C(1，0)，
∴OC＝BD＝1，OA＝CD＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴B(3，1)，
∴设反比例函数的详解式为y (k≠0)，
将B(3，1)代入y ，
∴k＝3，
∴反比例函数的关系式为y ；
答案图
(2)把y＝2代入y ，得2 ，
解得x ，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了 个单位长度，
∴C也移动了 个单位长度，
∵C(1，0)，
∴点C的对应点C′的坐标为( ，0)．
19.(1)解：作法一：如图①，点D，E即为所求；
【解法提示】①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧交于点P；③作射线AP交BC于点D；④以点A为圆心，DC长为半径画弧，交AG于点E，则点D，E即为所求．
作法二：如图②，点D，E即为所求；
【解法提示】①分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，在AC两侧分别交于点M，N；②作直线MN交AC于点P；③以点P为圆心，PA长为半径画圆，与BC交于点D，与AG交于点E，则点D，E即为所求．
(2)证明：证法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，
∴∠FAG＝∠GAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAG＋∠GAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAG＝∠GAC，
∴AE∥CD.
∵AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
由作图可知AD平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
证法二：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，
∴∠FAG＝∠GAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAG＋∠GAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAG＝∠GAC，
∴AE∥CD.
∵AC是⊙P的直径，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°.
又∵AC＝CA，
∴△ADC≌△CEA，
∴CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
图① 图②
20.解：（1）解法一：设甲种产品每箱的价格是x元，乙种产品每箱的价格是y元，
当选择①②时，可列方程组为
，
解得 ；
解法二：设甲种产品每箱的价格是x元，乙种产品每箱的价格是y元，
当选择②③时，可列方程组为
，
解得 ；
解法三：设甲种产品每箱的价格是x元，乙种产品每箱的价格是y元，
当选择①③时，可列方程组为
，
解得 ；
答：甲种产品每箱的价格是80元，乙种产品每箱的价格是40元；
（2）设该店购进m箱甲种产品，则购进(600-m)箱乙种产品，
根据题意得m≥2(600-m)，
解得m≥400.
设该店购进的这批产品全部售完后获得的利润为w元，则w=(100-80)m+(80-40)(600-m)，
即w=-20m+24000.
∵-20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=400时，w取得最大值，最大值为-20×400+24000=16000（元）.
答：购买甲种产品400箱时，该店获得的利润最大，最大利润为16000元.
21.解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，
∴ ＝ ，
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE＝DF，
∴CD＝CA；
（2）如答案图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m
∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2 m，NH＝DM＝1 m，
∴EH＝DE－DH＝0.9 m，
设AB＝x，则AC＝AB＋BC＝（1.2＋x）m，
∴BH＝CD＝（1.2＋x）m，
∴NB＝BH＋NH＝（2.2＋x）m，
∵EH∥AB，
∴△NEH∽△NAB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得x＝19.8，
答：纪念碑AB的高度为19.8 m；
答案图
（3）纪念碑的实际高度为19.64 m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8 m，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果.（答案不唯一，合理即可）
22.解：（1）∵当b＝1时，二次函数的表达式为y＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，－2）；
（2）x1＋x2＝x3＋x4，理由如下：
∵抛物线y＝x2－2bx＋b2－2（b＞0）的对称轴为直线 ，
∴ ，即x1＋x2＝2b，
∵将抛物线向上平移1个单位后，抛物线表达式为y＝x2－2bx＋b2－1（b＞0），
∴平移后抛物线对称轴不变，仍为直线 ，
∴ ，即x3＋x4＝2b，
∴x1＋x2＝x3＋x4；
（3）∵二次函数y＝x2－2bx＋b2－2（b＞0）图象的对称轴为直线 ，
当x≤b时，y随x的增大而减小，
当x＞b时，y随x的增大而增大，
当x＝b时，y＝－2，
①当0＜b≤1时，最大值为（2－b）2－2，最小值为－2，
∴ ，
解得 ， （不满足0＜b≤1，舍去）；
②当1＜b≤2时，最大值为b2－2，最小值为－2，
∴ ，
解得 ， （不满足1＜b≤2，舍去）；
③当b＞2时，最大值为b2－2，最小值为（2－b）2－2，
∴ ，
解得 （不满足b＞2，舍去）；
综上所述，b的值为 或 ．
23.解：(1)EF＝A′F；
证明：∵A′D⊥AC，∴∠A′EC＋∠A′CE＝90°，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B＝∠B′＝90°，
根据旋转的性质得∠B′＝∠O＝90°，∠D＝∠C′＝∠A′CE，∴∠D＋∠EA′F＝90°，
∴∠A′EC＝∠EA′F，∴EF＝A′F；
(2)四边形AA′OB是平行四边形；
证明：由题意，得AB＝A′B′＝A′O，
在Rt△ABC中，∵A′是边AC的中点，∴AA′＝A′B，∴∠A＝∠A′BA.
∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠A＝∠B′A′C′，由旋转的性质，得∠B′A′C′＝∠BA′O，
∴∠A′BA＝∠BA′O，∴AB∥A′O，∴四边形AA′OB是平行四边形；
(3)A′H的长为 或 .
【解法提示】分两种情况：①当A′O⊥AC时，如解图①，∵AB＝3，BC＝4，由勾股定理得AC＝5，∵A′为AC的中点，∴A′C＝ AC＝ ，在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝ ＝ ，由全等及旋转的性质可得，A′O＝AB＝3，∴tan ∠ACB＝ ＝ ，∴A′G＝ ，∴GO＝A′O－A′G＝ ，∵∠GA′C＝∠O＝90°，∴AC∥OD，∴∠GHO＝∠ACB，∴tan∠GHO＝tan ∠ACB＝ ＝ ，∴HO＝ ＝ ，∴A′H＝ ＝ ＝ ；
②当OD⊥AC时，如解图②，设A′D交BC于点I，点G与点C重合，∵∠A＝∠CA′D，∴AB∥A′D，∵A′为AC的中点，∴A′I为△ABC的中位线，∴A′I＝ AB＝ ，GI＝ BC＝2，A′G＝ AC＝ ，∴OG＝A′O－A′G＝ ，∵AB∥A′D，∴∠B＝∠A′IG＝90°，∵OD⊥AC，∴∠HOG＝∠A′IG＝90°，∵∠HGO＝∠A′GI，∴△HGO∽△A′GI，∴ ＝ ，即HO＝ ＝ ＝ ，∴A′H＝ ＝ ＝ .
综上所述，A′H的长为 或 .
解图
数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页）

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