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九年级上学期期末检测数学试卷
一、选择题（每题3分，30分）
1.等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面200m的山峰，在等高线上标注为＋200m，则某盆地低于海平面50m，在等高线上标注为(　　)
A. －500m B. ＋50m
C. ＋ m D. －50m
2.下列几何体的展开图中，能围成四棱锥的是（ ）
3.已知A种细菌在培养过程中，每隔半小时由1个分裂成2个，若培养皿中约有30亿个A种细菌，经过2个小时之后，培养皿中的A种细菌的数量用科学记数法表示为(　　)
A.2.4×1010个 B.24×109个
C.48×109个 D.4.8×1010个
4.如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为( )
A.100° B.110°
C.120° D.130°
5.若关于x的一元二次方程x2－3x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是(　　)
A. －4 B. －3 C. －2 D. －1
6.如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等于（ ）
A. B.
C．2 D.
7.化简 1 a的结果是（ ）
A.1 a B.a 1
C. D.
8.我国有四大国粹：京剧、武术、书法和中医，将这四大国粹名称分别写在书签上，书签除文字描述不同外无其他差别，若明明和芳芳分别从中随机抽取一个在班会上对其进行介绍，则两人恰好抽中同一个国粹的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
9.如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E，F为边AD，CD上的动点，且AE＝CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
10.物理实验课上，同学们利用如图①所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图②所示的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．实验开始时，冰块的温度为0℃
B．加热1min后，冰块开始熔化
C．冰块熔化过程持续了6min
D．冰块熔化后，继续加热，温度计读数每分钟增加2℃
二、填空题（每题3分，15分）
11.若二次根式 有意义，则正整数m的值可以是 ．(写出一个即可)
12.在学校演讲比赛中，共有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 (填“平均数”“中位数”或“众数”)．
13.我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．（x﹣2）4的展开式中x的一次项系数是 ．
14.黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的 倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形ABCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE，得到黄金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黄金矩形CFGH…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知 ，则阴影部分的面积为 ．
15.当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形ABCD是“特征四边形”，AC＜BD，点E是直线BD上一点，且BE＝ BD，连接AE，则tan ∠AED的值为 ．
三、解答题（8题，75分）
16.（10分）（1）计算 ；
（2）解不等式组： ．
17.（9分）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度，光照传感器，结合AI算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲，乙两种草莓各10个样品，对质量(单位：g)，糖度(单位：Brix)进行测评，并对数据进行整理，描述和分析：
甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 24.1 25.3 22.5 23.9 26.0 21.2 24.7 25.8 20.7 23.4
糖度 9.5 10.3 8.8 9.7 10.6 8.9 11.0 10.2 9.1 10.4
乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 19.5 21.0 18.3 20.6 22.1 17.8 20.2 19.1 21.5 18.4
糖度 11.7 10.9 12.0 11.3 10.6 12.2 11.5 10.8 12.1 11.2
甲，乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数，中位数，方差如下：
平均数 中位数 方差
质量 甲 23.76 23.65 3.0204
乙 19.85 19.3 1.9185
糖度 甲 9.85 9.6 0.5225
乙 11.43 11.25 0.2881
（1）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓
（2）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见．
18.（9分）在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1，0)，顶点A的坐标为(0，2)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上．
(1)确定反比例函数的关系式；
(2)现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点C的对应点C'的坐标．
19.（9分）如图，AB⊥直线l，垂足为B，AB＝5，sin∠ABC ．
(1)求作⊙A，使得⊙A与直线BC相切，切点为T；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求点T到直线l的距离．
20.（9分）河南不仅有深厚的文化底蕴和秀美的山川，还有各种美食让游客流连忘返．“五一”期间，甲、乙两家饭店分别推出以下两种优惠方式．
甲店：按消费总额的九折付款；
乙店：消费总额不超过300元的按原价付款，超过300元的部分打六折．
(1)用x(单位：元)表示消费总额，y(单位：元)表示应付款金额，分别就甲、乙两家饭店的优惠方式，求y关于x的函数表达式；
(2)小明一家4口人，小亮一家7口人，若甲、乙两家饭店人均消费均为50元，求两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省多少钱？
21.（9分）由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下.
活动主题 测量建筑物的高度
测量示意图
测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上．
测量数据 BE=1.5m，AB=3m，BF=3.5m.
备注 点F，A，B，C在同一水平线上.
根据以上信息，解决下列问题.
任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出BC的长度，就可以测出建筑物的高度CD”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由；
任务2：求建筑物CD的高是多少？
任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物CD的高度为11m，请写出一条测量结果有误差的原因．
22.（10分）如图，已知抛物线y＝x2－ax＋1的顶点与x轴交于点(1，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P(x1，y1)，Q(x2，y2)都在此抛物线上，且－3＜x1＜－2，5＜x2＜6，比较y1与y2的大小，并说明理由；
(3)当t≤x≤t＋3，且－2＜t＜1时，求出函数的最小值．
23.（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
活动探究
小明：如图①，可以用尺规作图；
①分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
②作直线CD，CD就是所求作的直线．
小刚：我认为小明的作图方法很好，但是这四条弧可以半径不一样，如图②；
①分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在AB的上方相交于P；
②分别以点A，B为圆心，改变半径的大小，仍保证大于 AB的长为半径作弧，两弧在AB的下方相交于Q；
③作直线PQ．PQ就是所求作的直线．
（1）小刚作图得到的直线PQ是线段AB的垂直平分线吗？请作出判断，并说明理由．
拓展应用
（2）如图③，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以A，D为圆心，以大于 AD长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．求证：四边形AEDF是菱形．
问题解决
（3）小刚在作图中发现（如图④所示），像这样满足PA＝PB，QA＝QB的有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图⑤在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点M，N分别在边AB，AC上，当以M，N，B，C为顶点的四边形是筝形时，请直接写出MN的长．
答案及详解
一、选择题
1.D　
【详解】∵高于海平面200m记作“＋200m”，∴低于海平面50m记作“－50m”．
2.B
【详解】A．根据图形判断是正方体的展开图，本选项不符合题意；B．根据图形判断是四棱锥的展开图，本选项符合题意；C．根据图形判断是三棱柱的展开图，本选项不符合题意；D．根据图形判断是圆柱的展开图，本选项不符合题意．
3.D　
【详解】24×30×108＝4.8×1010，所以经过2个小时之后，培养皿中的A种细菌的数量用科学记数法表示为4.8×1010个．
4.C
【详解】如答案图，由量角器的度数可知，∠1＝120°，∴∠2＝∠1＝120°，即所量内角的度数为120°.
答案图
5.D　
【详解】∵关于x的一元二次方程x2－3x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－m＋1)＞0，∴m＞－ ，∴m的值可以是－1.
6.B
【详解】S△ABC ，BC 2 ，设BC边上的高为h，S△ABC ＝2，解得h ．
7.C
【详解】 1 a .
8.B
【详解】将这四大国粹分别记为：A，B，C，D，画树状图如答案图，由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好抽中同一个国粹的结果有4种，∴两人恰好抽中同一个国粹的概率为 = .
答案图
9.C
【详解】如答案图，作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于点H，连接BG，BE，EG，则CG⊥AD，CH＝GH，CE＝EG，∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∴CG⊥BC，∵S菱形ABCD＝AD CH＝60，AD＝8，∴CH＝7.5，∴CG＝2CH＝15，∴ ，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∠A=∠BCD，在△ABE和△CBF中， ，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∴BF+CE＝BE+CE＝BE+EG≥BG，∴当点E在线段BG上时，BE+CE取得最小值17．
答案图
10.C
【详解】由题意可知，实验开始时，冰块的温度为－4℃，故选项A不符合题意；加热2min后，冰块开始熔化，故选项B不符合题意；冰块熔化过程持续了8－2＝6（min），故选项C符合题意；冰块熔化后，继续加热，温度计读数每分钟增加1℃，故选项D不符合题意.
二、填空题
11.1(答案不唯一)
【详解】若二次根式 有意义，则3－m≥0，解得m≤3，∵m为正整数，∴m的值可以是1(答案不唯一)．
12.中位数
【详解】由题意可得，该学生想要知道自己能否进入前7名，就需要知道第8名的成绩，即这15名学生成绩的中位数．
13.-32
【详解】由题知，“杨辉三角”中最边上的数字都是1，且内部的每一个数为其左上和右上的两个数字之和，∴第5行的数依次为1，4，6，4，1，∴（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．当a＝x，b＝﹣2时，（x﹣2）4＝x4﹣8x3+24x2﹣32x+16，∴（x﹣2）5的展开式中x的一次项系数是-32．
14.
【详解】根据题意，四边形ABCD是黄金矩形，∴AB AD，∵AB ，∴AD ，∵四边形ABFE是正方形，∴DE＝AD－AE 1，∴正方形DEGH边长为1，∴阴影部分面积为12 .
15. 或
【详解】∵菱形中一个内角α是另一个内角β的两倍，∴α＝2β，∵菱形相邻的两个内角互补，∴α＋β＝180°，∴2β＋β＝180°，∴β＝60°，∴∠ABC＝60°.如答案图，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，设OA＝a，则AB＝2OA＝2a，则OB＝ OA＝ a，分两种情况讨论：①如答案图①，当点E在线段BD上时，∵BE＝ BD，∴BE＝OE＝ OB＝ a，在Rt△AOE中，tan ∠AED＝ ＝ ＝ ；②如答案图②，当点E在DB的延长线上时，BE＝ BD＝ OB＝ a，∴OE＝BE＋OB＝ a＋ a＝ a，在Rt△AOE中，tan ∠AED＝ ＝ ＝ ；综上所述，tan ∠AED的值为 或 .
解图
三、解答题
16.解：（1）原式＝9﹣4﹣（﹣3）
＝5+3
＝8；
（2）设不等式组 ，
解不等式①得，x＞1，
解不等式②得，x＜2，
∴不等式组的解集为1＜x＜2．
17.解：（1）选择甲种草莓，因为甲种草莓质量的平均数和中位数均比乙种草莓高；
（2）甲种草莓需要提高糖度，并提高产量的稳定性，乙种草莓需要提高产量．
18.解：(1)如答案图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠DCB＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠DCB，
在△ACO与△CBD中，
，
∴△ACO≌△CBD(AAS)，
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A(0，2)，C(1，0)，
∴OC＝BD＝1，OA＝CD＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴B(3，1)，
∴设反比例函数的详解式为y (k≠0)，
将B(3，1)代入y ，
∴k＝3，
∴反比例函数的关系式为y ；
答案图
(2)把y＝2代入y ，得2 ，
解得x ，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了 个单位长度，
∴C也移动了 个单位长度，
∵C(1，0)，
∴点C的对应点C′的坐标为( ，0)．
19.解：(1)⊙A和切点T如答案图所示：
(2)如答案图，过点T作TJ⊥AB于点J．
∵BC是⊙A的切线，
∴AT⊥BC，
∴∠ATB＝90 ，
∴sin∠ABT ，
∵AB＝5，
∴AT＝3，
∴BT 4，
∵∠TBJ＝∠ABT，∠BJT＝∠BTA＝90 ，
∴△BJT∽△BTA，
∴ ，
∴ ，
∴BJ ，
∴点T到直线l的距离为 ．
答案图
20.解：(1)由题意得y甲＝0.9x，
当0≤x≤300时，y乙＝x，
当x＞300时，y乙＝300＋0.6(x－300)＝0.6x＋120，
∴y乙＝
(2)∵小明一家4口人，人均消费50元，
∴小明家消费4×50＝200(元)，
此时选择甲店需要付款200×0.9＝180(元)，选择乙店需要付款200元，
∴不拼单时，选择甲店消费更优惠，此时y甲＝180元，
∵小亮一家7口人，人均消费50元，
∴小亮家原价消费7×50＝350(元)，
此时选择甲店需要付款350×0.9＝315(元)，选择乙店需要付款0.6×350＋120＝330(元)，
∴不拼单时，选择甲店消费更优惠，此时y甲＝315元，(5分)
若两家在同一家店拼单，则一共消费(4＋7)×50＝550(元)，
此时选择甲店需要付款550×0.9＝495(元)，选择乙店需要付款0.6×550＋120＝450(元)，∴选择乙店拼单更优惠，此时y乙＝450元，
∴180＋315－450＝45(元)，
答：两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省45元．
21.解：任务1：小明的说法正确，理由如下：
由题意可得，∠DCB＝∠EBA＝90°，∠EAB＝∠DBC，
∴△AEB∽△BDC，
∴ ＝ ，
∵BE=1.5m，AB=3m，
∴CD= BC，
∵可以直接测量出BC的长度，
∴建筑物的高度CD可以通过计算得出；
任务2：∵∠EBF＝∠DCF＝90°，∠EFB＝∠DFC，
∴△EFB∽△DFC，
∴ ＝ ，
由任务1得， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝3m，BF＝3.5m，
∴ ＝ ，
∴BC＝21m，
∵ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝10.5m.
答：建筑物CD的高是10.5m；
任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差(答案不唯一).
22.解：(1)∵抛物线y＝x2－ax＋1经过点(1，0)，
∴1－a＋1＝0，解得a＝2，
∴抛物线的详解式为y＝x2－2x＋1；
(2)y1＜y2，理由如下：由(1)可知，抛物线的详解式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∵a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵－3＜x1＜－2，5＜x2＜6，∴3＜1－x1＜4，4＜x2－1＜5，
结合函数图象可知，距离对称轴越远，函数值越大，∴y1＜y2；
(3)∵－2＜t＜1，∴1＜t＋3＜4，
又∵t≤x≤t＋3∴对称轴直线x＝1在t≤x≤t＋3范围内，
∴函数的最小值为0.
23.（1）解：直线PQ是线段AB的垂直平分线，理由如下：
如图①，设PQ交AB于点O，连接PA、PB、QA、QB，
由小刚的作图得PA＝PB，QA＝QB，
∵PQ＝PQ，
∴△PAQ≌△PBQ（SSS），
∴∠APQ＝∠BPQ，
∴PO⊥AB，即PQ⊥AB．
（2）证明：由作图得直线MN是线段AD的垂直平分线，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°，DF＝AF，AE＝DE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAO＝∠FAO，
∵OA＝OA，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AF＝AE，
∴DF＝AF＝AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
（3）MN的长为 或 .
∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC 4，
当NC＝BC，MN＝MB时，如图②，连接CM，
∵CM＝CM，
∴△NCM≌△BCM（SSS），
∴∠NCM＝∠BCM ∠ACB＝45°，
作MG⊥BC于点G，则∠CGM＝∠BGM＝90°，
∴∠GMC＝∠GCM＝45°，
∴CG＝MG，
∵ tanB ，
∴BG MG CG，
∵CG BG BC，
∴CG CG＝3，
∴CG＝MG ，
∴BG ，
∴MN＝MB ；
当BM＝BC＝3，MN＝CN时，如图③，连接BN，
∵BN＝BN，
∴△BMN≌△BCN（SSS），
∵∠BMN＝∠C＝90°，
∴∠AMN＝180°－∠BMN＝90°，
∴∠AMN＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∵BM＝BC＝3，
∴MA＝BA－BM＝2，
∴ ，
∴MN BC 3 ，
综上所述，MN的长为 或 ．

答案图① 答案图② 答案图③
数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页）

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