资源简介

2026年兰州市初中学业水平考试模拟试卷
数学（二）
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣3的绝对值等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
2．已知∠A与∠B互为余角，∠A＝27°，则∠B的度数是（　　）
A．53° B．63° C．73° D．153°
3．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约350000000人．350000000用科学记数法表示为（　　）
A．3.5×107 B．35×107 C．3.5×108 D．35×108
4．如图，长方形的长是3a，宽是2a﹣b，则长方形的周长是（　　）
A．10a﹣2b B．10a+2b C．6a﹣2b D．10a﹣b
5．一次函数y＝x﹣6的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝4cm，则AF的长度是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
8．中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．“如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝40°，BP平分∠ABC，D是射线BP上的一点．若△BCD是等腰三角形，求∠BDC的度数．”对于其答案，甲答：∠BDC＝35°；乙答：∠BDC＝110°；丙答：∠BDC＝72.5°．则下列说法正确的是（　　）
A．只有甲正确
B．只有乙正确
C．甲、乙两人合在一起才正确
D．甲、乙、丙三人答案合在一起才完整
11．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，E为BC的中点，连接AE、DE，点P，点Q分别是AE、DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A．B． C．D．
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．分解因式：4a2﹣9＝　　 ．
13．如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　　 ．
14．生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②△ABC的边长为2cm，则这个莱洛三角形的周长为 　　 cm．
15．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某班35名同学的视力检查数据如表所示，其中有两个数据被墨汁遮盖了，以下关于视力的统计量：
①平均数；②众数；③方差，其中可以确定的是　　 （填写正确的序号）．
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 2 2 5 6 9 7
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：．
17．（5分）解不等式组：．
18．（5分）先化简，再求值：，其中m＝﹣1．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，3）和B（n，1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△OAB面积．
20．（7分）项目式学习
课题题目 三角尺中的数学
背景材料 如图，鲁班发明的班尺，能正确画出直角，用于告知工匠哪些尺寸是不规则的，哪些尺寸是规则的．
任务1 如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
任务2 猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由.
21．（7分）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形DEFG为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从A（1，0）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：y＝ax2+bx+3（单位长度为1m）的一部分，已知抛物线经过点（﹣2，3），DE＝2m，AD＝5m．
（1）求抛物线L的解析式和顶点坐标；
（2）若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
22．（7分）我校开展了“传统节日”的知识竞答活动，初2024届800名学生参与了此次竞答活动（满分：50分）．答题完成后，在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x≤42，B：42＜x≤44，C：44＜x≤46，D：46＜x≤48，E：48＜x≤50），并给出了下列信息：
1班E等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，49
2班D等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48．
1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数 中位数 众数
1班 47.5 48.5 c
2班 47.5 b 49
（1）根据以上信息可以求出：a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ；
（2）你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；
（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生有多少人？
23．（7分）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图②，木塔OA垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角∠ADF，∠AEF的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离．
数据收集：测角仪BD＝CE＝1.5m，测得BC＝30m，∠ADE＝34.6°，∠AEF＝63.4°．
问题解决：求甘州木塔OA的高度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin34.6°≈0.57，cos34.6°≈0.82，tan34.6°≈0.69，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．
（1）求证：FD＝FG；
（2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，连接AD，E为边BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF．
（1）如图1，当E在线段BD上时，若，求BF的长；
（2）如图2，当E在线段CD上时（点E不与C，D重合），连接CF交AD于点G，求证：BE＝2AG；
（3）在（2）的条件下，将△CAE沿AE所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△C′AE，连接C′D，C′F，C′F与BC交于点P，当C′D取得最小值时，直接写出的值．
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若∠ACB＝α，且点C关于弦AB的中点M的对称点在⊙O上或其内部，则称点C为弦AB的“α关联点”．
（1）已知点．
①在点中，点 C3 是弦AB的关联点，其中α＝ 　　 ．
②若直线yx+b上存在AB的“60°关联点”，则b的取值范围是 　　 ；
（2）若点C是AB的“60°关联点”，且OC，直接写出弦AB的最大值和最小值．
2026年兰州市初中学业水平考试模拟试卷
数学（二）
1．B 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. D 11. A
12．（2a+3）（2a﹣3）
13．240
14．2π
15．②
16．解：原式
．
17．解：解不等式2x﹣4≤0，得x≤2，
解不等式3（x+1）＞x﹣1，得x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2．
18．解：原式

，
当m＝﹣1时，原式1．
19．解：（1）∵反比例函数y2（x＞0）过点A（1，3），
∴m＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为y2（x＞0），
将B（n，1）代入y2，得n＝3，
∴点B的坐标为（3，1），
将点A（1，3），B（3，1）分别代入一次函数y1＝kx+b中，
可得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y1＝﹣x+4；
（2）如图：过点A，B分别向y轴，x轴作垂线，垂足分别为点E，F，由y1＝﹣x+4，
令x＝0，y＝4，得M（0，4），令y＝0，x＝4，得N（4，0），
∴OM＝4，ON＝4，
∵A（1，3），B（3，1），
∴AE＝1，BF＝1，
∵S△OAB＝S△OMN﹣S△AMO﹣S△OBN，
∴S△OABMO NOOM AEON BF4×44×14×1＝4．
20．解：任务1：由题意得，∠ACD＝∠BCE＝90°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+50°＝140°．
任务2：∠ACB+∠DCE＝180°．
理由：∵∠ACB+∠DCE＝∠ACD+∠BCD+∠DCE＝∠ACD+∠BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
21．解：（1）①把点A（1，0），（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣（x2+2x）+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
②弹珠能弹出箱子，理由如下：∵AD＝5m，∴OD＝4m，∴D（﹣4，0）；
当y＝﹣x2﹣2x+3＝0时，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
根据题意可设抛物线M的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+3，
把点（﹣3，0）代入y＝﹣（x﹣h）2+3，得：﹣（﹣3﹣h）2+3＝0，
解得：或，
∵抛物线M的对称轴在直线x＝﹣3的左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为，
∵当x＝﹣4时，，∴弹珠能弹出箱子．
22．解：（1）由题意得，a%＝1﹣5%﹣5%﹣15%﹣45%＝30%，故a＝30；
把2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，故中位数b48；
1班20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50，故众数c＝50．
故答案为：30，48，50；
（2）1班的学生知识竞答成绩较好，理由如下：因为两个班的平均数相同，但1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，所以1班的学生知识竞答成绩较好；
（3）（45%）÷2＝47.5%，800×47.5%＝380（人），
答：该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．
23．解：由题意可知，四边形OBDF、OCEF、ECBD都是矩形．
∴∠AFE＝90°，BD＝CE＝OF＝1.5m，BC＝DE＝30m．
在Rt△AEF中，∵tan∠AEF，
∴EF．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF，
∴DF1.45AF．
∵DF＝DE+EF，∴1.45AF﹣0.5AF＝30．
∴AF≈31.58（m）．
∴OA＝AF+OF≈31.58+1.5＝33.08≈33.1（m）．答：甘州木塔OA的高度约为33.1m．
24．（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，∴AB∥GF，
∴∠BAC＝∠G＝45°，
∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形，∴FD＝FG；
（2）解：∵DF⊥AB，∴，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形，∴EA＝ED＝6．
由（1）得FD＝FG＝10，
∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4，
如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA，
∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴（x+4）2＝62+x2，
解得，，∴，∴⊙O的半径为．
25．（1）解：∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴BCAB＝8，
∵DE＝2，∴CE＝BC﹣DE＝6，
∵AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴△BAF≌△CAE（SAS），
∴BF＝CE＝6；
（2）证明：如图1，
作FH⊥AD于H，∴∠AHF＝∠FHG＝90°，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠AHF，∠DAE+∠AED＝90°，
由（1）知，
∠EAF＝90°，AF＝AE，
∴∠DAE+∠FAH＝90°，∴∠FAH＝∠AED，
∴△AFH≌△EAD（AAS），
∴AH＝DE，FH＝AD，
∴FH＝CD，
∵∠ADE＝∠FHG＝90°，∠FGH＝∠CGD，∴△FGH≌△CGD（AAS），
∴GH＝AH，
设DE＝AH＝a，GH＝AH＝b，∴BD＝AD＝AH+GH+DG＝2+2b，∴BE＝2（a+b）＝2AG；
（3）解：如图2，
不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AC，
∵△CAE沿AE所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△C′AE，
∴AC′＝AC，∠C′AE＝∠CAE，
∴点C′在以A为圆心，AC为半径的圆上，CD＝AC′﹣AD，
∴点A、D‘C′共线时，C′D最小，
∴点C′在AD的延长线上，∴AE平分∠CAD，
∴，∴CE2，
由（1）知，△BAF≌△CAE，
∴BF＝CE＝2，∠ABF＝∠ACB＝45°，∴∠FBC＝∠ABF+∠ABC＝90°，
∴∠FBC＝∠ADC，
∴△PBF∽△PDC′，∴．
26．解：（1）①如图1，
点C1和C2关于AB的中点的对称点在⊙O外，
∵C3′（10，0），即（），
∴（）21，∴点C3′在圆上，
∴点C是弦AB的关联点，∵tan∠ACO，
∴∠ACO＝60°，
同理可得：∠BCO＝30°，
∴∠ACB＝60°，故答案为：C3，60°；
②如图2，
作等边三角形ABC，作△ABC的外接圆，
当直线l：yx+b与⊙I相切于点E时，连接AC3，连接IE，作C3F⊥DE于F，设l交y轴于点D，
则⊙I的半径为IE＝1，可得∠DC3F＝∠OAC3＝60°，AC3∥直线l，
∴C3F＝IE＝1，
∴DC3＝2C3F＝2，
∴b＝OC3+CE＝2，
当直线y过点B时，b＝0，∴0＜b≤2；
（2）如图3，
当△ABC是等边三角形时，AB最小，此时OC⊥AB，设OC交AB于D，
∴AD＝BDAB，∠ACD＝∠BCD，
∴CDAD，
在Rt△AOD中，∵AD2+OD2＝OA2，∴，
∴AD，∴AB＝1，如图4，
当∠CAB＝90°时，AB最大，
作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
设AC＝2x，AE＝OB＝y，则AB，OD
在Rt△AOD和Rt△COE中，
由OD2+AD2＝OA2，CE2+OE2＝OC2得，，
∴，
∴AB＝2，∴AB最小＝1，AB最大．

展开更多......

收起↑