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2025-2026学年高三下学期三月能力调查数学试题 A． B． C． D．
一．选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 7．若圆 O ：x21 +y2＝1与圆 O2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝9（a，b∈R）有且仅有 3条公切线，则|
符合题目要求的。 3a﹣4b+5|的取值范围为（ ）
1．已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，则 A∪B＝（ ） A．[0，5） B．[15，25] C．[0，25] D．[5，25）
A．{1，2} B．{1，2，3，4，5} 8．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．曲
C．{0，1，2，4，5} D．{0，1，2，3，4，5} 线与 y轴交于A、B两点，点P为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）
2．设复数 z＝1﹣i，则 z （ ） A．图形关于 y轴对称
A．﹣1 B．1 C． D．2 B．点 P的纵坐标的最大值为
3．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，S7＝28，S10＝35，则 a10＝（ ） C．
A．2 B．3 C．4 D．5
D．|PA|2+|PB|2≥4
4．已知向量 ， 满足| |＝2，| |＝3， 3，若 k 与 的夹角为 ，则 k＝（ ） 二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
A．0 B． C．0或 D．0或 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
（多选）9．为了解某校九年级 1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试一分钟仰
5．已知 a＝ln2， ， ，则（ ）
卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率直方图．关于该校九年级学生
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
一分钟仰卧起坐的次数，下列说法中正确的是（ ）
6．如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度 OP，选取了与 O在同一水平面且在同一水
A．[25，30）之间的人数最多
平线上的 A，B，C三处．已知在 A，B，C处测得该建筑顶部 P的仰角分别为 60°，45°，
B．中位数为 26.25
30°，AB＝BC＝20m，则该建筑的高度 OP＝（ ）
C．少于 20次的约有 320人
D．超过 30次的约有 320人
（多选）10．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，高为 h，BA＝BC ，下列说法
正确的是（ ）
A．
B．若存在一个球与棱柱的每个面都内切，则
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C．若 ，则三棱锥 A1﹣ABC外接球的体积为 ＝2AB，M为 PC中点，N为 BC中点．
（1）证明：MN∥平面 PBD；
D．若 ，以 A为球心作半径为 2的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为
（2）证明：平面 MBD⊥平面 ABCD；
（多选）11．已知连续函数 f（x）满足：① x，y∈R，则有 f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，②当
（3）求直线 PC与平面 MDN所成角的正弦值．
x＞0时，f（x）＜1，③f（1）＝﹣2，则以下说法正确的是（ ）
A．f（0）＝1
B．f（4x）＝4f（x）﹣4
C．f（x）在[﹣3，3]上的最大值是 10
D．不等式 f（3x2）﹣2f（x）＞f（3x）+4的解集为
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 17．（15分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一
12．已知 的展开式中 x的系数为﹣80，则 a＝ ． 阶段由参赛队中一名队员投篮 2次，若 2次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0分；若
至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 2次，每次投中得 5分，未
13．已知函数 在区间 上有且仅有一个零点，则ω的取值范围
投中得 0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设
为 ．
甲每次投中的概率为 p，乙每次投中的概率为 q，各次投中与否相互独立．
14．已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1和 F2，下顶点为 A，直线 AF2 （1）若 p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5分的概
交椭圆 C于点 B，△ABF1的内切圆与 BF
率；
1相切于点 P，若 ，则椭圆 C的离心率
（2）假设 0＜p＜q，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶
为 ．
段比赛？
四．解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S2n＝4Sn， ．
18．（17分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ax﹣a3，a∈R．
（1）求数列{an}的通项公式；
（1）当 a＝﹣1时，求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若 ，求数列{bn}的前 n项和 Tn．
（2）讨论 f（x）的单调性；
（3）若 f（x）有极大值，且极大值大于﹣2，求 a的取值范围．
16．（15分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，四边形 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD，AD＝AP
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19．（17分）已知双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 150°，且 参考答案
C 一．选择题经过点 ．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
（1）求双曲线 C的标准方程；
（2）设 O为坐标原点，动点 M满足过 M能作出 C的两条互相垂直的切线，记切点分别为 答案 D D A C A B C D
点 A，B．
（i）求动点 M的轨迹方程； 二．多选题
（ii）若记△AOB的面积为 S1，△AMB的面积为 S2，求|S2﹣S1|的最大值． 题号 9 10 11
答案 ABD ACD ACD
三．填空题
12．﹣2．
13． ．
14． ．
四．解答题
15．解：（1）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S2n＝4Sn，
根据等差数列的求和公式可得 ，
化简得 a2n＝2an+a1，
又 a2n＝2an+1，所以 a1＝1，
当 n＝1时，a2＝2a1+1，所以 a2＝3，
公差 d＝a2﹣a1＝2，
所以数列{an}的通项公式为 an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；
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（2）由（1）可知 ， 乙得分不少于 5分的情况包括乙投中 1次或 2次，
b 3 9 投 中 2次 的 概 率 为 q
2＝ 0.52＝ 0.25， 投 中 1次 的 概 率 为
则 1＝ ， ，
因此数列{bn}是首项为 3，公比为 9的等比数列， ，
则数列{b }的前 n项和 ． 所以乙得分不少于 5分的概率为 0.25+0.5＝0.75，n
因为两个阶段的比赛相互独立，
16．解：（1）证明：由题易知 MN∥PB，
所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5分的概率 0.64×0.75＝0.48；
又 MN 面 PBD，PB 面 PBD，故可以证得 MN∥面 PBD；
（2）若甲参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为 X，
（2）记 AC与 BD交于点 O，连接 MO，如图所示：
则 X的取值为 0，5，10，
由题易知 PA⊥面 ABCD，
所以 P（X＝0）＝（1﹣p）2+[1﹣（1﹣p）2]（1﹣q）2＝（1﹣p）2+（2p﹣p2）（1﹣q）2，
M，O分别为 PC，AC的中点，所以 MO∥PA，
则 MO⊥面 ABCD， ，
又 MO 面 MBD，所以面 MBD⊥面 ABCD； P（X＝10）＝[1﹣（1﹣p）2]q2＝（2p﹣p2）q2，
（3）建立空间直角坐标系，如图所示： 所以 E（X）＝0×[（1﹣p）2+（2p﹣p2）（1﹣q）2]+5×[2（2p﹣p2）（q﹣q2）]+10×[（2p﹣p2
2
设 AB＝1，则 P（0，0，2），D（0，2，0），C（1，2，0）， ， ）q ]
＝10q（2p﹣p2）；
，0，﹣1），
若乙参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为 Y，
设平面 MDN的一个法向量为 ， 则 Y的取值为 0，5，10，
所以 P（Y＝0）＝（1﹣q）2+[1﹣（1﹣q）2]（1﹣p）2＝（1﹣q）2+（2q﹣q2）（1﹣p）2，
，即 ，
，
令 x＝2，则 y＝2，z＝1，则 ， P（Y＝10）＝[1﹣（1﹣q）2]p2＝（2q﹣q2）p2，
设直线 PC与平面 MDN所成角为θ， 所以 E（Y）＝0×[（1﹣q）2+（2q﹣q2）（1﹣p）2]+5×[2（2q﹣q2）（p﹣p2）]+10×[（2q﹣q2
）p2]
则 ．
2 2 ＝10p（2q﹣q
2）；
17．解：（1）第一阶段甲 2次都未中的概率为（1﹣p） ＝（1﹣0.4） ＝0.36，
所以 E（X）﹣E（Y）＝10q（2p﹣p2）﹣10p（2q﹣q2）＝10pq（q﹣p），
所以进入第二阶段的概率为 1﹣0.36＝0.64，
因为 0＜p＜q，所以 pq＞0，q﹣p＞0，所以 E（X）﹣E（Y）＞0，
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所以应该由甲参加第一阶段比赛． ∴g（x）＜0当且仅当 0＜x＜1时成立，
故 ，当且仅当 0＜a＜1时成立，
因此 a的取值范围是（0，1）．
18．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax﹣a3（x＞0），
19．解：（1）由双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 150°，
∴ ，
得 ，则 ，
当 a＝﹣1时，f（1）＝2，
∴f′（1）＝2． 又 C经过点 ，所以 ，解得 ，b＝1，
∴曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程 y﹣2＝2（x﹣1），即 y＝2x． 故双曲线 C的标准方程为 ；
（2）由（1）知， ， （2）（i）当直线 AM，BM中有一条直线的斜率不存在时，根据 AM⊥BM，
①当 a≤0时，f′（x）＞0， 可得另一条直线与双曲线 C必然相交，所以直线 AM，BM的斜率都存在，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无递减区间， 设直线 AM的斜率为 k1，A（x1，y1），则 y﹣y1＝k1（x﹣x1），
②当 a＞0时， ，
由 ， 整 理 得
∴f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
，
综上：当 a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无递减区间，
当 a＞0，f 则 ，（x）在 上单调递增，在 上单调递减．
（3）因为 f（x）有极大值，且极大值大于﹣2， 整理得： ，即 ，
故 a＞0，且 f（x）在 处取极大值 ， 又 ，所以 ， ，则 ，
∴ ，即 lna﹣1+a3＜0， 所以 ，解得 ，
令 g（x）＝lnx﹣1+x3（x＞0），
则直线 AM的方程为 ，即 ，
∴ 恒成立， 设直线 BM的斜率为 k2，B（x2，y2），则 y﹣y2＝k2（x﹣x2），
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增， 同理得 ，直线 AM的方程为 ，
又 g（1）＝0，
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设 M（x0，y0），则点 M在直线 AM上，所以 ，
点 M到直线 AB的距离为 ，
点 M在直线 BM上，所以 ，
所以直线 AB的方程为 ， 所以
由 整理得 ，
，
则 ， ，
则
则 ， ，
所以
，又 且 ，
， 故当 时，|S2﹣S1|取得最大值 3．
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因为 AM⊥BM，所以 ，
整理得 ；
因为双曲线 C的渐近线与 x2+y2＝2交于点 和 ，
故动点 M的轨迹方程为 ；
（ii）由（i）可知，直线 AB的方程为 ，
点 M（x0，y0）满足 且 ，
则 ，
原点 O到直线 AB的距离为 ，
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