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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）8.3第1课时完全平方公式第8章整式乘法与因式分解授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册8.3第1课时完全平方公式练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕8.3第1课时完全平方公式设计，核心公式为：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍，用字母表示为$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$、$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$（可记口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中间）。练习题涵盖公式的推导理解、直接应用、变式计算及易错点辨析，结合之前所学的整式乘法运算性质，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固核心知识，提升公式应用能力，总字数约700字。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列算式中，能用完全平方公式计算的是（）A. $$(2a+b)(2b-a)$$ B. $$(4x+1)(-4x-1)$$ C. $$(2x-y)(y+2x)$$ D. $$(-x+y)(-y-x)$$2.计算$$(x + 3)^2$$的结果是（）A. $$x^2 + 6x + 9$$ B.$$x^2 + 9$$ C. $$x^2 + 6x$$ D. $$x^2 + 3x + 9$$3.下列计算正确的是（）A. $$(1-a)^2 = 1 - a^2$$ B. $$(x-3)^2 = x^2 + 6x + 9$$ C. $$(x+y)^2 = x^2 + y^2$$ D. $$(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$$4.计算$$(-2x - 1)^2$$的结果是（）A. $$4x^2 + 4x + 1$$ B. $$4x^2 - 4x + 1$$ C.$$-4x^2 - 4x - 1$$ D. $$4x^2 - 1$$5.若$$(2x - ky)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$$，则k的值为（）A. -3 B.±3 C. -6 D.±6二、填空题（每小题3分，共15分）1.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的______，加（或减）这两个数______的2倍（用字母表示为：$$(a+b)^2 = \_\_\_\_\_\_$$，$$(a-b)^2 = \_\_\_\_\_\_$$）。2.计算：$$(m + 2)^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(n - 4)^2 = \_\_\_\_\_\_$$。3.计算：$$(-a + \frac{1}{2}b)^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(3x - 2y)^2 = \_\_\_\_\_\_$$。4.若$$x^2 + (m - 3)x + 4$$是关于x的完全平方式，则m的值为______。5.计算：$$(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(a - 2)^2 + 4(2 - a) = \_\_\_\_\_\_$$。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列计算是否正确，若不正确，请指出错误并改正。①$$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 2$$；②$$(a - 1)^2 = a^2 - 2a - 1$$；③$$(-x - 3)^2 = -x^2 - 6x - 9$$；④$$(2x + y)^2 = 4x^2 + y^2$$；⑤$$(m - \frac{1}{2})^2 = m^2 - m + \frac{1}{4}$$。2.（15分）计算下列各题（需写出完整运算步骤，运用完全平方公式）。（1）$$(x + 5)^2$$；（2）$$(a - 3)^2$$；（3）$$(-2x + 3)^2$$；（4）$$(3m + 2n)^2$$；（5）$$(x - \frac{1}{3})^2$$。3.（15分）利用完全平方公式计算下列变式题（需写出完整运算步骤）。（1）$$(x + y + 1)^2$$；（2）$$(2a - b - 3)^2$$；（3）$$(-x + 2y)^2 - (x + 2y)^2$$；（4）$$(3x - 2)^2 + 2(3x - 2)(2x + 1) + (2x + 1)^2$$；（5）$$(x - 2y)^2 - x(x - 4y)$$。4.（15分）已知$$a + b = 5$$，$$ab = 6$$，利用完全平方公式求下列各式的值（需写出完整运算步骤）。（1）$$a^2 + b^2$$；（2）$$(a - b)^2$$；（3）$$a^2 - ab + b^2$$；（4）$$(a + 2b)^2$$；（5）$$(2a - b)^2$$。5.（15分）应用题：一个正方形的边长为$$(x + 4)$$厘米，另一个正方形的边长为$$(x - 3)$$厘米，求两个正方形的面积差（面积公式：正方形面积=边长×边长，结果用含x的代数式表示，写出完整计算步骤，运用完全平方公式）。参考答案提示：一、1.B 2.A 3.D 4.A 5.A二、15.平方和，乘积，$$a^2 + 2ab + b^2$$，$$a^2 - 2ab + b^2$$16.$$m^2 + 4m + 4$$，$$n^2 - 8n + 16$$ 17.$$a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2$$，$$9x^2 - 12xy + 4y^2$$ 18.-1或7 19.$$12x$$，$$m^2 + 12$$三、23.①不正确，常数项平方错误，改正：$$x^2 + 4x + 4$$；②不正确，常数项符号错误，改正：$$a^2 - 2a + 1$$；③不正确，符号错误（平方结果为正），改正：$$x^2 + 6x + 9$$；④不正确，漏加首尾二倍项，改正：$$4x^2 + 4xy + y^2$$；⑤正确24.（1）$$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$$；（2）$$(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$$；（3）$$(-2x + 3)^2 = (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$；（4）$$(3m + 2n)^2 = 9m^2 + 12mn + 4n^2$$；（5）$$(x - \frac{1}{3})^2 = x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$$25.（1）$$[(x + y) + 1]^2 = (x + y)^2 + 2(x + y) + 1 = x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y + 1$$；（2）$$[(2a - b) - 3]^2 = (2a - b)^2 - 6(2a - b) + 9 = 4a^2 - 4ab + b^2 - 12a + 6b + 9$$；（3）$$(x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = -8xy$$；（4）$$[(3x - 2) + (2x + 1)]^2 = (5x - 1)^2 = 25x^2 - 10x + 1$$；（5）$$x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + 4xy = 4y^2$$26.（1）$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13$$；（2）$$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 25 - 24 = 1$$；（3）$$a^2 - ab + b^2 = 13 - 6 = 7$$；（4）$$(a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 = (a^2 + b^2) + 4ab = 13 + 24 = 37$$；（5）$$(2a - b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2 = 4(a^2 + b^2) - 4ab = 52 - 24 = 28$$27.第一个正方形面积：$$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$$；第二个正方形面积：$$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$$；面积差：$$(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 6x + 9) = 14x + 7$$平方厘米，即两个正方形的面积差为$$14x + 7$$平方厘米 一块边长为 a 米的正方形试验田，需要将其边长增加 b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么？
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a
a
b
b
p2 + 2p + 1
m2 + 4m + 4
p2－2p + 1
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = .
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = .
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = .
m2－4m + 4
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a－b)2 = .
a2－2ab + b2
完全平方公式
1
完全平方公式
(a + b)2 = ；
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 这两个公式叫做完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央”
要点归纳
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项分别为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式.
(a + b)2 = ；
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗
b
a
a
b
图 1
b
a
b
a
图 2
想一想：
几何解释：
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释：
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
(2x)2
(1) ( 2x + y )2；
= 4x2
+ 4xy
+ y2
+ ( y )2
+2 (2x) y
解：( 2x + y )2 =
例1 运用完全平方公式计算：
典例精析
解：(3a－2b)2 =
= 9a2
(2) (3a－2b)2.
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(3a)2
－ 2 (3a) (2b)
+ (2b)2
－ 12ab
+ 4b2.
例2 利用乘法公式计算：(- m - 2n)2.
= m2 + 4mn + 4n2.
= [-(m + 2n)]2
= (m + 2n)2
解： (-m - 2n)2
小提示：对于含负号较多的完全平方式，可以借助偶次幂为正数进行化简，即 (-a)2 = a2 .
例3 计算：(x + y + z)2.
解：原式 = [x + (y + z)]2
= x2 + 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz.
方法总结：运用分组和整体思想计算，该等式也称为三数的完全平方公式.
例4 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2 是完全平方式
所以 (m＋1)xy＝±2×6x·5y，
m＋1＝±60.
解得 m＝59 或 m＝－61.
提醒：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
解：原式 = (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= 10404.
思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？
(1) 1022；
(2) 992.
解：原式 = (100－1)2
= 10000 － 200 + 1
= 9801.
完全平方公式的运用
2
例4 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因为 a＋b＝7，
所以 (a＋b)2＝49.
所以 a2＋b2＋2ab＝49，
即 a2＋b2＋2×10＝49.
所以 a2＋b2＝29.
故 (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
要熟记完全平方公式哦！
解：(1) 原式
(1) (a + b + c)2； (2)(a－b)3 ．
例5 利用乘法公式计算：
(2) 原式= (a - b)3
= a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= (a +b) + 2(a + b)c + c2
= [(a +b)+ c ]2
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
= a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3
= (a - b) (a2 - 2ab + b2)
= (a - b)(a - b)2
核心必知
完全平方公式：
完全平方公式用语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于
这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.
1星题 基础练
知识点1 完全平方公式的特征及几何意义
1.[上海月考] 下列算式能用完全平方公式计算的是( )
B
A. B.
C. D.
2.教材改编题 如图是利用割补法求图形面积的示意图，则与
之相对应的公式是________________________.
知识点2 利用完全平方公式计算
3.［知识初练］
(1)____________ ____________.
(2)(____) (____)(____)
______________.
1
1
4.[无锡月考] 下列运算中，正确的是( )
C
A. B.
C. D.
5.[合肥月考] 若，则 的值
为( )
A
A. B. C. D.
6.已知，，则 ___.
4
7.计算：(16分)
(1) ；
解：原式 ;
(2) ；
原式 ;
(3) .
解：原式 ;
(4) .
原式 ．
知识点3 利用完全平方公式进行简便计算
8.利用完全平方公式进行简便计算:(8分)
(1) ；
解：原式 ;
(2) .
解：原式 .
2星题 中档练
9.若，是整数，则 的值一定是
( )
D
A.正数 B.负数 C.非负数 D.4的倍数
因为，且,是整数,所以
的值一定是4的倍数.
10.分类讨论思想若是关于 的完全平方式，
则 的值为_______.
或7
【变式题】 若二项式 加上一个单项式后可以写成一
个整式的平方，则这样的单项式共有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.5个
式子和4分别是 和2的平方，可当作首尾两项，
根据完全平方公式可得中间项为，同时还应看到
加上或或 后也可分别构成一个整式的平方.
11.通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面
积，可以得到一个代数恒等式.如图①是一个长为 ，宽为
的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然
后按图②的方式拼成一个大正方形.(12分)
【知识生成】
(1)请用两种不同的方法表示图②
中阴影部分的面积(直接用含 ，
的代数式表示)
方法一：________________；
方法二：__________；
【得出结论】
(2)根据(1)中的结论，可得代数式
，， 之间
的等量关系为________________
___________；
【知识迁移】
(3)若满足 ，求
的值.
解：因为
，
所以 ，
所以 .
所以
.
即时练透 /两数和(差)的平方的变形/
【核心点】将、、、 看成四个整体，
转化关系如下：
【针对练习】
1.已知， ，求下列各式的值.(16分)
(1) ；
解：因为, ,
所以 .
(2) ；
因为,,所以 .
(3) ；
因为,且由(1)知 ，
所以 .
(4) .
因为, ，
所以 ，
所以 .
【生长延伸】
2.向“特殊化”生长 填空：
(1)已知，则 的值是____；
(2)已知，则 的值是____；
(3)已知，则 的值是_______.
14
20
3或
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3. 常用公式变形式：
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
a2 + b2= (a - b)2 + 2ab；
(a＋b)2 - (a - b)2 = 4ab .

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