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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）9.1第2课时分式的基本性质及约分第9章分式授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册9.1第2课时分式的基本性质及约分练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕9.1第2课时“分式的基本性质及约分”设计，核心知识点为：分式的基本性质、分式的符号法则、约分的定义及方法、最简分式的判断。核心内容：①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即$$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$$，$$\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}$$（C是不等于0的整式）；②分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变；③约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；④最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（约分的最终结果必须是最简分式或整式）。练习题涵盖性质应用、符号判断、约分运算、最简分式辨析，结合上一课时分式的概念，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固分式基本性质，掌握约分技巧和易错点，提升分式变形与化简能力。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列各式中，利用分式基本性质变形正确的是（）A. $$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + c}$$ B. $$\frac{a}{b} = \frac{ac}{bc}$$（c≠0）C. $$\frac{2a}{3b} = \frac{2a^2}{3b^2}$$ D. $$\frac{a}{b} = \frac{a^2}{ab}$$2.下列分式中，属于最简分式的是（）A. $$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$$ B. $$\frac{x + 1}{x^2 + 1}$$ C. $$\frac{2x}{4x^2}$$ D. $$\frac{xy}{x^2}$$3.下列约分正确的是（）A. $$\frac{x + y}{x + y} = 0$$ B. $$\frac{x^2 - y^2}{x - y} = x + y$$ C. $$\frac{xy}{x^2} = \frac{1}{x}$$（x≠0）D. $$\frac{x + 2}{x^2 + 4} = \frac{1}{x + 2}$$4.根据分式的符号法则，下列变形正确的是（）A. $$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b}$$ B. $$\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$$ C. $$\frac{-a}{-b} = -\frac{a}{b}$$ D. $$\frac{a}{-b} = \frac{-a}{-b}$$5.若分式$$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$$约分后结果为$$\frac{x - 2}{x + 2}$$，则x的取值范围是（）A. x≠2 B. x≠-2 C. x≠±2 D. x为任意实数二、填空题（每小题3分，共15分）1.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个______的整式，分式的值______；用字母表示为：$$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$$，$$\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}$$（其中C是______的整式）。2.约分的定义：把一个分式的分子与分母的______约去，叫做分式的约分；约分的最终结果必须是______或______。3.填空：$$\frac{2x}{3y} = \frac{(\quad)}{6y^2}$$；$$\frac{x^2 - xy}{x^2} = \frac{x - y}{(\quad)}$$；$$\frac{-a - b}{a - b} = -\frac{(\quad)}{a - b}$$。4.将分式$$\frac{6x^2y}{9xy^2}$$约分，结果为______；将分式$$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$$约分，结果为______。5.若分式$$\frac{ax - ay}{x^2 - y^2}$$（x≠±y）约分后为$$\frac{a}{x + y}$$，则a的取值范围是______；写出一个最简分式：______（答案不唯一）。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列变形是否正确，若不正确，请指出错误并改正（重点结合分式基本性质和符号法则）。①$$\frac{x}{y} = \frac{x + 2}{y + 2}$$；②$$\frac{2x}{4y} = \frac{x}{2y}$$；③$$\frac{-x}{y} = \frac{x}{-y}$$；④$$\frac{x^2}{xy} = \frac{x}{y}$$（x≠0）；⑤$$\frac{x - y}{x + y} = \frac{(x - y)^2}{x^2 - y^2}$$（x≠y）。2.（15分）利用分式的基本性质填空（保证变形后分式有意义）。（1）$$\frac{3}{x} = \frac{(\quad)}{x^2}$$；（2）$$\frac{5x}{x + 2} = \frac{10x^2}{(\quad)}$$（x≠0）；（3）$$\frac{x - 3}{x^2 - 9} = \frac{1}{(\quad)}$$（x≠3）；（4）$$\frac{2a + 2b}{(a + b)^2} = \frac{(\quad)}{a + b}$$（a≠-b）；（5）$$\frac{-x^2 + xy}{-x} = \frac{(\quad)}{1}$$（x≠0）。3.（15分）将下列分式化为最简分式（需写出完整约分步骤，标注公因式）。（1）$$\frac{8x^2y}{12xy^2}$$；（2）$$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}$$；（3）$$\frac{2a^2 - 2b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$$；（4）$$\frac{-3x + 6}{x^2 - 4x + 4}$$；（5）$$\frac{xy + y^2}{x^2 - y^2}$$。4.（15分）解答下列问题（需写出完整步骤）。（1）已知$$\frac{x}{y} = 2$$，利用分式基本性质求$$\frac{x^2 + xy}{y^2}$$的值；（2）约分后求值：当x=3时，求$$\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$$的值（注意先判断分式有意义，再约分）；（3）已知分式$$\frac{ax + 3}{bx - 2}$$，根据分式基本性质，分子分母同乘2后得$$\frac{2x + 3}{4x - 2}$$，求a、b的值；（4）判断分式$$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$$是否为最简分式，若不是，进行约分，并写出x的取值范围；（5）若分式$$\frac{2x - k}{x + 2}$$约分后结果为整式，求k的值（x≠-2）。5.（15分）应用题：一个长方形的长为$$(x^2 - 4)$$厘米，宽为$$(x + 2)$$厘米（x>-2，且x≠2），设长方形的周长为C厘米。（1）用含x的分式表示长方形的长与宽的比，再将其化为最简分式；（2）求x=3时，长与宽的比及长方形的周长C；（3）当x取什么整数时，（1）中化简后的比为整数？参考答案提示：一、1.B 2.B 3.B 4.B 5.B二、15.不等于0，不变，不等于0 16.公因式，最简分式，整式17.4xy，x，a + b 18.$$\frac{2x}{3y}$$，x - 3 19.a为任意实数，答案不唯一，如$$\frac{x + 2}{x - 3}$$三、23.①不正确，分式基本性质是同乘/除以同一个不为0的整式，不是同加，改正：$$\frac{x}{y} = \frac{2x}{2y}$$（x≠0）；②正确；③正确；④正确；⑤不正确，分子乘(x - y)，分母也需乘(x - y)，但x≠y，改正：$$\frac{x - y}{x + y} = \frac{(x - y)^2}{x^2 - y^2}$$（x≠±y）24.（1）3x；（2）2x(x + 2)（或$$2x^2 + 4x$$）；（3）x + 3；（4）2；（5）x - y25.（1）公因式4xy，$$\frac{8x^2y \div 4xy}{12xy^2 \div 4xy} = \frac{2x}{3y}$$；（2）公因式(x - 4)，$$\frac{x(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{x}{x + 4}$$（x≠4）；（3）公因式(a + b)，$$\frac{2(a - b)(a + b)}{(a + b)^2} = \frac{2(a - b)}{a + b}$$（a≠-b）；（4）公因式(x - 2)，$$\frac{-3(x - 2)}{(x - 2)^2} = -\frac{3}{x - 2}$$（x≠2）；（5）公因式(x + y)，$$\frac{y(x + y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{y}{x - y}$$（x≠-y）26.（1）$$\frac{x^2 + xy}{y^2} = \frac{x(x + y)}{y^2} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x + y}{y} = 2 \cdot (\frac{x}{y} + 1) = 2 \times (2 + 1) = 6$$；（2）x=3时，分母x - 9=0，分式无意义；（3）分子同乘2得2ax + 6，分母同乘2得2bx - 4，对应$$\frac{2x + 3}{4x - 2}$$，得2a=2，2b=4，解得a=1，b=2；（4）不是最简分式，约分：$$\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{x - 1}{x + 1}$$，x≠-1；（5）2x - k能被x + 2整除，设2x - k=2(x + 2)，得k=-427.（1）长与宽的比：$$\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2} = x - 2$$（最简形式，整式）；（2）x=3时，比为3 - 2=1，长=9 - 4=5厘米，宽=3 + 2=5厘米，周长C=2×(5 + 5)=20厘米；（3）x - 2为整数，x>-2且x≠2，x可取-1、0、1、3、4……（任意大于-2且不等于2的整数）思考：填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据.
（1） （2）
6
4
9
1
分式的基本性质
思考：下列两式成立吗？为什么？
1
你认为分式“ ”与“ ”，分式“ ”与“ ”相等吗？(a，m，n 均不为 0 )
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
思考：
与分数类似，分式有以下基本性质：
分式的分子与分母都乘以 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变.
即对于分式 ，有：
( A,B,M 都是整式,且 M≠0).
要点归纳
例1 根据分式的基本性质填空:
÷x
x
×(-1)
5b
÷(a+b)
ab
×2
2a+2b
典例精析
例2 根据分式的基本性质填空：
想一想：运用分式的基本性质应注意什么
(1)“都”
(2)“同一个”
(3)“不为 0 ”
a2 - 1
x2
x - 3
解：(1)
例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
(1) (2)
不改变值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：
(1) (2) (3)
解：（1）原式 =
（2）原式 =
（3）原式 =
合作探究
下列等式是否成立？为什么？
解：成立. 根据分式的基本性质，分别将两个等式左边的分子、分母同时乘以（或除以）“－1”即可得到右边.
想一想
想一想：联想分数的约分，由上例你能想出如何对分式进行约分吗？
（ ）
（ ）
与分数约分类似，约分时将分式的分子与分母同时除以分子和分母的“最大公因式”.
分式的约分
2
x
1
　 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫作分式的约分．
约分的定义
约分通常是把分式化成最简分式或者整式.
像 这样，分子与分母只有公因式 1 的分式，叫作最简分式．　
要点归纳
例4 约分：
分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式.
解：
先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分.
分子与分母只有公因式1的分式叫作最简分式.
分式的约分通常是把分式化成最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
要点归纳
例5 先约分，再求值： ，其中 x = 5，y = 3.
当 x = 5， y = 3 时，
【方法总结】约分一般是将一个分式化成最简分式，约分可以使求分式的值更简便.
核心必知
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个
不等于零的整式，分式的值______.即
，，都是整式，且 .
不变
1星题 基础练
知识点 分式的基本性质
1.［知识初练］填空： .
2.[重庆月考] 下列各式中，变形正确的是( )
C
A. B. C. D.
3.若，则 应满足的条件是( )
C
A. B.
C.且 D.或
4.在括号内填上适当的式子，使下列等式成立：
(1) ；
(2) ;
(3) ;
(4) .
2星题 中档练
5.[淮北期末] 如果把分式中的和 都扩大为原来的2倍，
那么分式的值( )
A
A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍
C.不变 D.缩小为原来的
6.不改变分式的值，把下列分式的分子和分母的最高次项的
系数都化为正数.
(1) _______；
(2) _ ________.
7.[南京期中] 不改变分式 的值，把它的分子与分母中
的各项系数都化成整数，结果为_______.
8.对分式 的变形，甲同学的做法是
；乙同学的做法是
.请根据分式的基
本性质，判断甲、乙两同学的做法是否正确，并说明理由.
(8分)
解：甲同学的做法正确，乙同学的做法错误.
理由：根据题意知 ,因此分式的分子、分母可以同
除以，而 是否为0不能确定，故不能运用分式的基
本性质像乙同学那样对其变形.因此，甲同学的做法正确，乙
同学的做法错误.
分式的
基本性质
分式的
约分求值
先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分
( a，b，m 都是整式，且 m≠0)

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