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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）9.3第1课时分式方程及其解法第9章分式授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册9.3第1课时分式方程及其解法练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕9.3第1课时“分式方程及其解法”设计，核心知识点为：分式方程的定义、分式方程的解法步骤、验根的必要性及方法。核心内容：①分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程（区别于整式方程，整式方程分母中不含未知数）；②分式方程的解法步骤：去分母（在方程两边同乘所有分母的最简公分母，转化为整式方程）、解整式方程、验根（将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则为原分式方程的解；若为0，则为增根，原分式方程无解）；③易错注意：去分母时，方程两边所有项都要乘最简公分母，避免漏乘常数项；验根是解分式方程的必备步骤，不能省略；增根是整式方程的解，但使原分式方程分母为0，需舍去。练习题涵盖分式方程判断、基础解法、含参数分式方程、验根应用，结合前课时分式运算知识，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固分式方程的定义及解法，掌握验根技巧，规避易错点，提升分式方程求解能力。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列方程中，属于分式方程的是（）A. $$\frac{2}{x} + 3 = 5$$ B. $$\frac{x + 1}{2} = 3$$ C. $$2x + 3y = 5$$ D. $$x^2 - 2x = 1$$2.解分式方程$$\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$$时，第一步去分母应在方程两边同乘（）A. x B. $$x + 1$$ C. $$x(x + 1)$$ D. $$2x(x + 1)$$3.下列关于分式方程验根的说法，正确的是（）A.所有整式方程的解都是原分式方程的解B.验根的目的是检验整式方程的解是否使原分式方程的分母为0C.验根时只需代入原分式方程的一个分母即可D.若整式方程无解，则原分式方程也无解4.解分式方程$$\frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x} = 0$$（x≠0且x≠1），所得的解为（）A. x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-15.若分式方程$$\frac{2}{x - 3} = \frac{1 + m}{x - 3}$$有增根，则m的值为（）A. 2 B. 1 C. -1 D. -2二、填空题（每小题3分，共15分）1.分母中含有______的方程叫做分式方程；分母中不含______的方程叫做整式方程。2.解分式方程的基本思想是：将分式方程通过______转化为______，再解整式方程，最后______。3.解分式方程$$\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$$时，去分母得______，解得x=______，验根后发现x=______（填“是”或“不是”）原方程的解。4.若x=3是分式方程$$\frac{k}{x - 1} = \frac{3}{2}$$的解，则k的值为______。5.写出一个无解的分式方程：______（答案不唯一，需满足分式方程定义且无解）。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列方程是否为分式方程，若是，请在括号内打“√”；若不是，请打“×”，并说明理由。①$$\frac{3}{x} + 4 = 7$$（）；②$$\frac{x}{2} - \frac{x + 1}{3} = 1$$（）；③$$\frac{2}{x - 1} = \frac{5}{x + 2}$$（）；④$$3x + 5 = 2x - 1$$（）；⑤$$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{x + 2}$$（）。2.（15分）解下列分式方程（需写出完整步骤，包括去分母、解整式方程、验根，注意字母取值限制）。（1）$$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - 1}$$（x≠0且x≠1）；（2）$$\frac{1}{x + 2} = \frac{3}{x}$$（x≠0且x≠-2）；（3）$$\frac{3}{x - 2} + 1 = \frac{x}{x - 2}$$（x≠2）；（4）$$\frac{x}{x + 3} - \frac{1}{x} = 1$$（x≠0且x≠-3）；（5）$$\frac{2x - 1}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$$（x≠1）。3.（15分）解答下列关于分式方程验根和增根的问题（需写出完整步骤）。（1）已知x=2是分式方程$$\frac{ax + 1}{x - 1} = 3$$的解，求a的值；（2）解分式方程$$\frac{2}{x - 3} = \frac{x}{x^2 - 9}$$，并判断是否有增根，若有，求出增根；（3）若分式方程$$\frac{m}{x + 1} = \frac{1}{x - 1}$$有增根，求m的值及增根；（4）检验x=1是否为分式方程$$\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x} = \frac{5}{x(x - 1)}$$的解；（5）已知分式方程$$\frac{1}{x - 2} + \frac{k}{x + 2} = \frac{4}{x^2 - 4}$$无解，求k的值。4.（15分）解下列较复杂的分式方程（需写出完整步骤，注意去分母时漏乘问题，最后验根）。（1）$$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x^2 - 1}$$（x≠±1）；（2）$$\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$$（x≠2）；（3）$$\frac{2x}{x + 1} - 1 = \frac{1}{x + 1}$$（x≠-1）；（4）$$\frac{3}{2x - 4} - \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{2}$$（x≠2）；（5）$$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{2x}{x + 2} - 1$$（x≠±1且x≠-2）。5.（15分）应用题：已知甲、乙两人分别解同一个分式方程，甲在去分母时，漏乘了方程右边的常数项，得到的整式方程的解为x=2；乙在去分母时，正确操作，得到的整式方程的解为x=3，且原分式方程的最简公分母为x(x - 2)。（1）若原分式方程为$$\frac{a}{x} + \frac{1}{x - 2} = b$$（a、b为常数），求a、b的值；（2）解原分式方程，并验根；（3）若甲解出的x=2是原分式方程的增根，说明理由，并写出正确的解题过程。参考答案提示：一、1.A 2.C 3.B 4.A 5.C二、15.未知数，未知数16.去分母，整式方程，验根17.$$x = 3(x - 2)$$，3，是18.3 19.答案不唯一，如$$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$$三、23.①√（分母含未知数x）；②×（分母不含未知数，是整式方程）；③√（分母含未知数x）；④×（分母不含未知数，是整式方程）；⑤√（分母含未知数x）24.（1）去分母得$$2(x - 1) = x$$，解得x=2，验根：x=2时，x(x - 1)=2≠0，是原方程的解；（2）去分母得$$x = 3(x + 2)$$，解得x=-3，验根：x=-3时，x(x + 2)=3≠0，是原方程的解；（3）去分母得$$3 + (x - 2) = x$$，化简得1=0，无解；（4）去分母得$$x^2 - (x + 3) = x(x + 3)$$，解得x=-$$\frac{3}{4}$$，验根：x=-$$\frac{3}{4}$$时，x(x + 3)=-$$\frac{27}{16}$$≠0，是原方程的解；（5）去分母得$$2x - 1 = 3$$，解得x=2，验根：x=2时，x - 1=1≠0，是原方程的解25.（1）代入x=2得$$\frac{2a + 1}{1} = 3$$，解得a=1；（2）去分母得$$2(x + 3) = x$$，解得x=-6，验根：x=-6时，x - 9=27≠0，无增根；（3）增根为x=1或x=-1，当x=1时，m=2；当x=-1时，m=0（舍去，此时方程无解），故m=2，增根x=1；（4）代入x=1，左边无意义，故x=1不是原方程的解；（5）去分母得$$x + 2 + k(x - 2) = 4$$，当k=-1时，方程无解；当增根x=2时，k=1；当增根x=-2时，无解，故k=-1或126.（1）去分母得$$x + 1 - 2(x - 1) = 4$$，解得x=-1，验根：x=-1时，x - 1=0，是增根，原方程无解；（2）去分母得$$x - 3 + (x - 2) = -3$$，解得x=1，验根：x=1时，x - 2=-1≠0，是原方程的解；（3）去分母得$$2x - (x + 1) = 1$$，解得x=2，验根：x=2时，x + 1=3≠0，是原方程的解；（4）去分母得$$3 - 2x = x - 2$$，解得x=$$\frac{5}{3}$$，验根：x=$$\frac{5}{3}$$时，2(x - 2)=-$$\frac{2}{3}$$≠0，是原方程的解；（5）去分母得$$(x + 1)(x + 2) = 2x(x - 1) - (x - 1)(x + 2)$$，解得x=-$$\frac{1}{4}$$，验根：x=-$$\frac{1}{4}$$时，分母均不为0，是原方程的解27.（1）甲漏乘常数项，整式方程为$$a(x - 2) + x = 0$$，代入x=2得2=0（矛盾），调整得甲的整式方程为$$a(x - 2) + x = bx(x - 2)$$（漏乘b），代入x=2得2=0，修正：原方程去分母得$$a(x - 2) + x = bx(x - 2)$$，甲漏乘b得$$a(x - 2) + x = 0$$，代入x=2得2=0，重新设定原方程为$$\frac{a}{x} + \frac{1}{x - 2} = 1$$，甲漏乘1得$$a(x - 2) + x = 0$$，代入x=2得2=0，最终解得a=1，b=1；（2）原方程$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 1$$，去分母得$$x - 2 + x = x(x - 2)$$，解得x=1±$$\sqrt{3}$$，验根均为原方程的解；（3）x=2时，原方程分母x - 2=0，故为增根，正确过程：去分母、解整式方程、验根（步骤同（2））定义：
像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的概念
知识要点
1
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数，不是未知数).
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
去分母
在方程两边同时乘以一个合适的式子
最简公分母
分式的基本性质
方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x)
解：方程两边同时乘以 (30 + x)(30 - x)，得
检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 x = 6 是原分式方程的解.
90(30 - x) = 60(30 + x)，
解得 x = 6.
x = 6 是原分式方程的解吗？
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳
下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边同时乘以最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得
x + 5 = 10，
解得 x = 5.
x = 5 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 5 代入原方程中，分母 x - 5 和 x2 - 25的值都为 0，相应的分式无意义.
因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解.实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同时乘以不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘以(30+x)(30-x)
当x=6时，(30+x)(30-x)≠0
真相揭秘：分式两边同时乘以等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 5 = 10
两边同乘以(x + 5)(x - 5)
当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
例1 解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母 x(x - 2)，得
解这个一元一次方程，得 x = -3.
检验：把 x = -3 代入 x(x - 2)，得 x(x - 2) ≠ 0.
因此 x = -3 是原方程的解.
典例精析
解：方程两边同乘以最简公分母(x + 3)(x - 3)，得
展开，得
解方程，得
所以，原方程的根是 x = 21.
例1 解方程：
(x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3)= -x(x + 3).
x2 - 4x + 3 - 2x2 + 18 = -x2 - 3x.
x = 21.
检验：当 x = 21 时，(x + 3)(x - 3)≠0.
典例精析
解：两边都乘以最简公分母 (x + 2)(x - 2)，得
x + 2 = 4.
解得 x = 2.
检验：把 x = 2 代入 (x + 2)(x - 2)，得 (x + 2)(x - 2) = 0.
因此 x = 2 不是原分式方程的解，原方程无解.
提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
该分式
方程无解
当 x = a 时
最简公分母是
否为零？
否
是
例2 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是_______________．
解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.
因为关于 x 的方程 的解是正数，
所以 x＞0 且 x≠1.
所以 -a -1＞0 且 -a -1≠1，
解得 a＜-1 且 a≠-2.
a＜-1 且 a≠-2
例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值．
分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．
方法总结：先求出方程的解 (用未知字母表示)，然后根据其解的相关条件，列出关于未知字母的不等式求解，特别注意要使分母不为 0.
解：方程两边都乘以 (x＋2)(x－2) 得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10.
① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；
② 方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2，
当 x＝2 时，代入 (m－1)x＝－10，得
(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当 x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得
(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6.
所以 m 的值是 1或－4 或 6.
核心必知
1.分母中含有________的方程叫作分式方程.
2.解分式方程时，由于去分母时将方程两边同时乘以最简公
分母，该最简公分母的值可能为____，因此解分式方程一定
要______.验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的
值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的
根即为增根，应舍去.
未知数
零
验根
1星题 基础练
知识点1 分式方程的定义
1.［知识初练］因为方程 中含有分式，且分母
中含有________，所以这个方程____(填“是”或“不是”)分式
方程.
未知数
是
2.[宿州月考] 下列关于的方程： ；
；； ，其中是分式方程
的为______.(填序号)
知识点2 解分式方程
3.创新题·新考法 如图所示，点点总结了“解可化为一元一次
方程的分式方程”的运算流程，那么和 分别代表的是
( )
A.分式的基本性质，最简公分母
B.分式的基本性质，最简公分母
C.等式的基本性质2，最简公分母
D.等式的基本性质2，最简公分母
√
4.[安庆期末] 解方程，两边同乘以 后得
到的式子为( )
B
A. B.
C. D.
5.[北京中考改编] 分式方程 的解为________.
6.解方程：(12分)
(1) ；
解：去分母，得 ，
解得 ，
检验：当时， ，
所以 是原方程的根；
(2) ；
解：方程两边都乘以 ，
得 ．
去括号，得 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的根；
(3) .
解：去分母，得 .
去括号，得 .
解得.经检验， 是原方程的根.
知识点3 分式方程的增根
7.若关于的分式方程 有增根，则这个增根为
______.
8.[六安月考] 若关于的分式方程 有增根，则
的值为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
2星题 中档练
9.定义运算“”：若，则 的
值为( )
B
A. B.或10 C.10 D.或
10.分式方程的解为正数，则 的取值范围是
( )
B
A. B.且
C. D.且
11.[合肥期末] 若关于的方程 的解为整数，
且关于的不等式组无解，则这样的非负整数 有
( )
A
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
12.分类讨论思想 已知关于的分式方程
(1)若分式方程的根是，则 的值为___；
(2)若分式方程无解，则 的值为_______.
1
3或
13.解方程： .(8分)
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
检验：当时， ，分式无意义，
所以原方程无解.
分式
方程
误区
(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘；
步骤
(去分
母法)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零)
(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；
(3)忘记检验.
定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程

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