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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）9.3第2课时分式方程的实际应用第9章分式授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册9.3第2课时分式方程的实际应用练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕9.3第2课时“分式方程的实际应用”设计，核心知识点为：分式方程在实际问题中的应用步骤、常见应用场景（行程问题、工程问题、利润与折扣问题、浓度问题等）、列分式方程解应用题的易错点。核心内容：①列分式方程解应用题的基本步骤：审（审题，找出等量关系）、设（设未知数，注明单位）、列（根据等量关系列出分式方程）、解（解分式方程）、验（检验，既要检验整式方程的解是否为原分式方程的解，也要检验解是否符合实际意义）、答（写出答案，注明单位）；②常见等量关系：行程问题（路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）；工程问题（工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，合作效率=各单独效率之和）；利润问题（利润率=利润÷进价，利润=售价-进价）；③易错注意：设未知数时要明确单位，列方程时等量关系要找准，检验步骤不可省略（重点检验解是否符合实际场景，如时间、速度、人数不能为负数），最后答题要规范。练习题涵盖各类常见应用场景，结合分式方程解法，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助掌握列分式方程解实际问题的方法，提升应用能力和解题规范性。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列实际问题中，适合用分式方程求解的是（）A.甲、乙两人相距100千米，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，求相遇时间B.一个长方形的长比宽多2厘米，面积为24平方厘米，求长方形的宽C.甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工3个，甲加工45个零件的时间与乙加工30个零件的时间相同，求甲、乙每小时加工的零件数D.一个数的2倍与3的和等于7，求这个数2.甲、乙两人合作完成一项工程，甲单独做需x小时，乙单独做需y小时，则两人合作的工作效率为（）A. $$\frac{1}{x + y}$$ B. $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$ C. $$\frac{x + y}{xy}$$ D. $$xy$$3.一辆汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行驶x千米，实际每小时比原计划多行驶10千米，结果提前1小时到达，若甲、乙两地相距360千米，则可列分式方程为（）A. $$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 10} = 1$$ B. $$\frac{360}{x + 10} - \frac{360}{x} = 1$$ C. $$\frac{360}{x} - \frac{360}{x - 10} = 1$$ D.$$\frac{360}{x - 10} - \frac{360}{x} = 1$$4.某商店购进一批商品，进价为每件a元，售价为每件b元，若按售价卖出可获利20%，则下列等式正确的是（）A. $$b - a = 20\%a$$ B. $$\frac{b - a}{b} = 20\%$$ C. $$\frac{b - a}{a} = 20\%$$ D. $$b = 20\%a$$5.列分式方程解应用题时，验根的目的不包括（）A.检验整式方程的解是否为原分式方程的解B.检验解是否符合实际意义C.检验方程列得是否正确D.检验计算过程是否正确二、填空题（每小题3分，共15分）1.列分式方程解应用题的基本步骤：审、______、______、解、______、答。2.行程问题中，时间、路程、速度的关系为：时间=______；工程问题中，工作效率=______（设工作总量为1）。3.甲每小时加工x个零件，乙每小时加工(x - 2)个零件，甲加工60个零件所用时间与乙加工40个零件所用时间相同，可列分式方程为______。4.一艘轮船顺流航行的速度为每小时(x + 2)千米，逆流航行的速度为每小时(x - 2)千米，若顺流航行80千米与逆流航行60千米所用时间相等，可列分式方程为______。5.某商品原价为每件100元，降价后售价为每件80元，若降价的百分率为x，则可列方程为______（无需化为整式方程）。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列列分式方程解应用题的步骤是否正确，若不正确，请指出错误并改正。题目：甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时加工的零件数是乙的1.5倍，甲加工30个零件比乙加工24个零件少用1小时，求乙每小时加工多少个零件。解：①审题：等量关系为“乙加工24个零件的时间-甲加工30个零件的时间= 1小时”；②设未知数：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.5x个零件；③列方程：$$\frac{24}{x} - \frac{30}{1.5x} = 1$$；④解方程：去分母得$$24×1.5 - 30 = 1.5x$$，解得x=4；⑤验根：x=4时，1.5x=6≠0，且x=4符合实际意义；⑥答：乙每小时加工4个零件。2.（15分）工程问题：（1）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，两人合作需多少天完成？（列分式方程求解）（2）一项工程，甲单独做需x天完成，乙单独做需(x + 5)天完成，两人合作3天完成工程的一半，求x的值（需检验）。（3）甲、乙两人合作完成一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，合作若干天后，甲因事离开，剩余工程由乙单独完成，共用了9天，求甲、乙合作了多少天。3.（15分）行程问题：（1）甲、乙两地相距120千米，一辆摩托车从甲地开往乙地，每小时行驶30千米，返回时每小时行驶20千米，求摩托车往返的平均速度（列分式方程求解，结果保留整数）。（2）甲、乙两人从相距90千米的两地同时出发，相向而行，甲骑自行车每小时行驶15千米，乙骑电动车每小时行驶20千米，经过几小时两人相遇？（列分式方程求解）（3）一列火车从甲地开往乙地，原计划每小时行驶60千米，实际每小时行驶80千米，结果提前2小时到达，求甲、乙两地的距离（列分式方程求解）。4.（15分）利润与浓度问题：（1）某商店购进一批玩具，进价为每件40元，售价为每件60元，卖出一部分后，降价促销，每件降价x元，此时每件的利润率为20%，求x的值（列分式方程求解）。（2）某工厂生产一批零件，原计划每天生产x个，实际每天生产(x + 10)个，结果提前5天完成任务，若这批零件共有1500个，求x的值（需检验）。（3）现有浓度为20%的盐水500克，需加水多少克，才能稀释成浓度为10%的盐水？（列分式方程求解）5.（15分）综合应用题：（1）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行，甲在前，乙在后，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，A、B两地相距10千米，求乙追上甲所需的时间（列分式方程求解）。（2）某车间有甲、乙两名工人，甲每天加工的零件数比乙多5个，甲加工80个零件所用的时间与乙加工60个零件所用的时间相同，求甲、乙每天各加工多少个零件。（3）某学校组织学生去春游，原计划租用45座客车若干辆，刚好坐满；若租用60座客车，则可少租1辆，且余30个座位，求原计划租用45座客车的辆数及学生总人数（列分式方程求解）。参考答案提示：一、1.C 2.B 3.A 4.C 5.D二、15.设，列，验16.路程÷速度，1÷工作时间17.$$\frac{60}{x} = \frac{40}{x - 2}$$ 18.$$\frac{80}{x + 2} = \frac{60}{x - 2}$$ 19.$$100(1 - x) = 80$$三、23.步骤正确，解答无误。24.（1）设两人合作需x天完成，列方程：$$(\frac{1}{12} + \frac{1}{18})x = 1$$，解得x=$$\frac{36}{5}$$=7.2，答：两人合作需7.2天完成；（2）列方程：$$3(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}) = \frac{1}{2}$$，解得x=10（x=-3舍去），验根：x=10符合实际意义，答：x的值为10；（3）设甲、乙合作了x天，列方程：$$(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x + \frac{1}{15}(9 - x) = 1$$，解得x=4，答：甲、乙合作了4天。25.（1）设往返的平均速度为x千米/小时，总路程240千米，总时间$$\frac{120}{30} + \frac{120}{20} = 10$$小时，列方程：$$10x = 240$$，解得x=24，答：平均速度为24千米/小时；（2）设经过x小时相遇，列方程：$$(15 + 20)x = 90$$，解得x=$$\frac{18}{7}$$，答：经过$$\frac{18}{7}$$小时相遇；（3）设甲、乙两地距离为x千米，列方程：$$\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 2$$，解得x=480，答：两地距离为480千米。26.（1）列方程：$$\frac{60 - x - 40}{40} = 20\%$$，解得x=12，答：x的值为12；（2）列方程：$$\frac{1500}{x} - \frac{1500}{x + 10} = 5$$，解得x=50（x=-60舍去），验根：x=50符合实际意义，答：x的值为50；（3）设加水x克，列方程：$$\frac{500×20\%}{500 + x} = 10\%$$，解得x=500，答：需加水500克。27.（1）设乙追上甲需x小时，列方程：$$6x - 4x = 10$$，解得x=5，答：乙追上甲需5小时；（2）设乙每天加工x个零件，甲每天加工(x + 5)个，列方程：$$\frac{80}{x + 5} = \frac{60}{x}$$，解得x=15，甲每天加工20个，答：甲每天加工20个，乙每天加工15个；（3）设原计划租用45座客车x辆，列方程：$$45x = 60(x - 1) - 30$$，解得x=6，学生总人数=45×6=270人，答：原计划租用6辆，学生总人数270人。例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析
如下：
工作时间(月) 工作效率 工作总量
甲队
乙队
等量关系：
甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 =“1”
设乙单独完成这项工程需要 x 月.
列分式方程解决工程问题
1
解：设乙单独完成这项工程需要 x 个月. 记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，2x ≠ 0，故 x = 1 是原方程的根.
由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
设乙单独完成这项工程需要 x 月.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，合作的工作效率之和
是
工作时间(月) 工作效率之和 工作总量
甲单独
两队合作
此时方程是：
1
表格为
“3 行 4 列”
工程问题
1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2. 通常间接设元，如××单独完成需 x (单位时间)，则可表示出其工作效率；
3. 弄清基本的数量关系，如本题中的“甲、乙合作的工作效率 = 甲、乙两队工作效率的和”.
典例精析
4. 解题方法：可概括为“321”，即
3 指该类问题中数量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；
2 指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；
1 指该问题中的一个等量关系，如工程问题中的等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量.
要点归纳
1. 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时.
解析：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要
(x＋3) 小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效 ×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
练一练
答：甲单独完成全部工程需 6 小时，
乙单独完成全部工程需 9 小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
由题意得 . 解得 x ＝ 6.
检验：x＝6 是方程的根，且满足题意. 此时 x＋3＝9.
解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x＋3)小时.
例2 朋友们约着一起开 2 辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了 200 km 时，发现小轿车只行驶了 180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少 km/h？
0
180
200
列分式方程解决行程问题
2
路程 (km) 速度 (km/h) 时间 (h)
面包车
小轿车
200
180
x + 10
x
分析：设小轿车的速度为 x km/h.
面包车的时间 = 小轿车的时间
等量关系：
列表格如下：
解：设小轿车的速度为 x km/h，则面包车的速度为
(x + 10) km/h，依题意得
解得 x＝90.
经检验，x＝90 是原方程的根，且符合题意.
此时，x + 10＝100.
答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为
90 km/h.
注意两个检验：
(1) 是否是所列方程的解；
(2) 是否满足实际意义.
1. 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 km，小轿车行驶了 180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在 300 km 的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少 km/h？
0
180
200
300
做一做
解：设小轿车提速为 x km/h，依题意得
解得 x＝30.
经检验，x＝30 是原方程的根，且满足题意.
答：小轿车提速了 30 km/h.
其他问题
3
例3 有一并联电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：
若已知 R1，R2，求 R.
解：方程两边同乘以 RR1R2，得
R1R2 = RR2+RR1，
即
R1R2 = R(R1+R2) .
因为R1，R2都是正数，所以R1+R2≠0 .
所以两边同除以(R1+R2) ，得
R= .
例4 七（1）、（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知七（1）班每天比七（2）班多种10 棵树.如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是 150 棵和 120 棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？
解：设七（2）班每天植树x 棵，则七（1）班
每天植树(x+10)棵.
解方程，得
x = 40 .
经检验，x = 40 是原方程的根.
此时 x + 10 = 50 .
因而，当七（2）班每天植树 40 棵，七（1）班每天植树 50 棵时，两个班能同时完成任务.
①是否是分式方程的解；
②是否符合题意.
应用1 解含有参数的分式方程
1.年出生人数和年死亡人数的差与年平均人口数的比，叫作
年人口自然增长率，如果用表示年出生人数， 表示年死亡
人数，表示年平均人口数， 表示年人口自然增长率,则年
人口自然增长率.若把公式变形成已知，，，求 ，
则 _______.
2.跨学科·物理 并联电路中两个电阻的阻值分别为、 ，
电路的总电阻和、满足，已知和 ，则
的值为_ ____.
3.跨学科·物理 凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其
中物距记为，像距记为，透镜焦距记为 ，三者满足关系
式：，若已知、，则 ____.
应用2 分式方程的实际应用
用分式方程解决实际问题
主题情境
“一带一路”累累硕果
共建“一带一路”从中国倡议走向国际实践，越来越多的
国家和地区通过共建“一带一路”实现自身更好发展.请回答第
题.
任务一 高标准高质量推进标志性工程
4.基础设施建设是“一带一路”的重点合作领域.中国铁建在非
洲的某一隧道工程中，甲工程队比乙工程队每小时多挖
，甲工程队挖比乙工程队挖 所需时间少
，设甲工程队每小时挖 ，可列出方程为___________
________________.
5.云南昆明与老挝首都万象的中老铁路是国家“一带一路”倡
议提出后，首条以中方为主投资建设、全线采用中国技术标
准、使用中国设备并与中国铁路网直接连通的国际铁路.在这
条铁路线上，甲站与乙站相距 ，实际提速后高铁的
速度是原计划的2倍，时间比原计划减少 ，求实际提速
后高铁的速度.(8分)
解：设原计划高铁的速度为 ，则实际提速后高铁的
速度为 .
由题意，得，解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
所以 .
答：实际提速后高铁的速度为 .
任务二 点亮世界经济
6.自中欧班列开通以来，重庆与欧洲各国经贸往来日益频繁，
某欧洲客商准备在重庆采购一批特色商品，经调查，用
1 600元采购A型商品的件数是用1 000元采购B型商品的件
数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元,
则一件A型商品的进价为____元.
80
7.为打造“一带一路”中欧班列智能物流合作，促进全球人工
智能健康有序安全发展，某科技公司生产了一批新型搬运机
器人，打出了如下的宣传：#2
根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量.(8分)#2.2
解：设新型机器人每天搬运的货物量为 ，则旧型机器人每
天搬运的货物量为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：新型机器人每天搬运的货物量为 .
任务三 促进文化交流
8.在深圳文博会的文化交流活动中，点
点对一副来自“一带一路”国家的文化
展品进行临摹并装裱.如图,装裱前的作
品长为，宽为 ，将其四周裱上边衬后
(上、下边衬宽度相等,左、右边衬宽度相等),整幅裱件的长与
宽之比为 ，已知左、右边衬的宽度是上、下边衬宽度的3
倍，则裱件的长、宽分别是多少 (8分)#1
解：设裱件上、下边衬的宽度为 ,
则左、右边衬的宽度为 .根据题
意可列方程为,解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
所以裱件上、下边衬的宽度为 ，左、右边衬的宽度为
，则裱件的长为 ，
宽为 .
答：裱件的长为，宽为 .
9.“丝路书香·四海传福”图书巡回
展，旨在展示中国与东盟国家出版
合作成果，推动文明互鉴.其中，
主展区为长方形，长为 ，
宽为且为整数 ，分为A
类(精品图书展示区)和B类 (数字阅读体验区)展品区(如图).
(1)B类展品区需摆放100件展品，甲、乙两位志愿者参与摆放.
甲每分钟摆放的速度是乙的2倍，且甲单独完成比乙单独完
成少 .求甲、乙两人每分钟各摆放多少件展品;
解：设乙每分钟摆放 件展品，则甲每分钟
摆放 件展品.
由题意，得，解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
则 .
答：甲每分钟摆放10件展品，乙每分钟摆放5
件展品.
(2)因参展产品品类和数量超过预期，现计划将展区长增加
，宽增加 .若扩建后面积是原面积的整数倍，求整数
的值.(12分)
设扩建后的长方形展区面积是原来的倍
为正整数 .
由题意，得
，
解得 .
因为，为整数，且 为正整数，
所以或
所以 的值为8或15．
分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、销售问题等
方法
步骤
一审二设三找四列五解六验七答
321 法

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