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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）10.1第1课时对顶角及其性质第10章相交线、平行线与平移授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册10.1第1课时对顶角及其性质班级：________姓名：________得分：________本课时主要学习对顶角的定义、识别方法及对顶角的性质，是几何入门的重要内容，也是后续学习相交线、平行线的基础。本节课将通过实例引入对顶角的概念，探究并证明对顶角的性质，结合典型例题和分层练习题，帮助同学们掌握对顶角的识别技巧，熟练运用性质解决简单几何问题，规避易错点，夯实几何基础。一、核心知识点梳理（一）对顶角的定义1.前提条件：两条直线相交（只有两条直线相交时，才会产生对顶角，三条或更多直线相交不会单独形成对顶角）；2.定义：两条直线相交时，相对的两个角叫做对顶角。具体来说，若一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点、没有公共边（或公共边为两条直线相交的公共射线），则这两个角是对顶角。3.关键要点：①两个角必须有公共顶点（没有公共顶点的角一定不是对顶角）；②两个角的两边必须是互为反向延长线（仅有公共顶点、没有互为反向延长线的两边，不是对顶角）；③对顶角是成对出现的，两条直线相交，只会产生2对对顶角（例如：直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是一对对顶角，∠AOD与∠BOC是另一对对顶角）；④对顶角没有公共边（有公共边的两个角是邻补角，不是对顶角）。（二）对顶角的性质1.核心性质：对顶角相等（这是对顶角最核心的性质，也是几何证明、角度计算的重要依据）；2.性质证明（简单推导，贴合七年级认知）：已知：直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠BOC是对顶角。求证：∠AOC = ∠BOD，∠AOD = ∠BOC。证明：∵直线AB是直线，∴ ∠AOC + ∠AOD = 180°（邻补角的定义，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，和为180°）；同理，直线CD是直线，∴ ∠BOD + ∠AOD = 180°；∴ ∠AOC + ∠AOD = ∠BOD + ∠AOD（等量代换）；两边同时减去∠AOD，得∠AOC = ∠BOD（等式的基本性质）；同理可证，∠AOD = ∠BOC。3.性质应用：已知一对对顶角中的一个角的度数，可直接求出另一个角的度数；在几何计算、证明中，利用对顶角相等转化角度，简化计算或推导过程。（三）对顶角与邻补角的区别（重点区分，规避易错）对比项目对顶角邻补角公共顶点有公共顶点有公共顶点公共边没有公共边有一条公共边两边关系两边互为反向延长线一边公共，另一边互为反向延长线数量关系对顶角相等（∠1 = ∠2）邻补角互补（∠1 + ∠2 = 180°）出现形式成对出现（两条直线相交，2对对顶角）成对出现（两条直线相交，4对邻补角）二、全课时易错点归纳（重点规避）1.混淆对顶角与邻补角：误认为有公共顶点的两个角就是对顶角，忽略“两边互为反向延长线”的条件；或把邻补角当作对顶角，忽略“没有公共边”的特点；2.错误认为“所有相等的角都是对顶角”：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（例如：两个直角相等，但不一定是对顶角）；3.两条直线相交时，漏数对顶角：误认为两条直线相交只有1对对顶角，实际有2对；4.运用对顶角性质时，忽略前提条件：只有“两条直线相交”时，对顶角才相等，非相交直线形成的角，不能用对顶角性质；5.计算角度时，混淆对顶角与邻补角的数量关系：把对顶角的“相等”关系当作“互补”，或把邻补角的“互补”关系当作“相等”。三、典型例题解析（贴合考点，突破重难点）例题1：对顶角的识别下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）（解析：结合对顶角的定义判断，重点看“有公共顶点、两边互为反向延长线、无公共边”三个条件）A.（∠1与∠2有公共顶点，但两边不是互为反向延长线）B.（∠1与∠2有公共顶点，两边互为反向延长线，无公共边，是对顶角）C.（∠1与∠2有公共顶点，有公共边，是邻补角，不是对顶角）D.（∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角）答案：B例题2：利用对顶角性质求角度如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠AOC = 70°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数。解析：①由对顶角相等可知，∠BOD与∠AOC是对顶角，∴ ∠BOD = ∠AOC = 70°；②∠AOC与∠AOD是邻补角，∴ ∠AOD = 180°- ∠AOC = 180°- 70°= 110°；③∠AOD与∠BOC是对顶角，∴ ∠BOC = ∠AOD = 110°（或∠BOC与∠AOC是邻补角，∠BOC = 180°- 70°= 110°）。答：∠BOD = 70°，∠AOD = 110°，∠BOC = 110°。例题3：对顶角性质的简单应用如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE = 40°，∠BOC = 80°，求∠DOF的度数。解析：①先找对顶角：∠AOE与∠BOF是对顶角，∴ ∠BOF = ∠AOE = 40°；②观察∠BOC、∠BOF与∠DOF的关系：∠BOC = ∠BOF + ∠DOF（角的和差关系）；③代入数据计算：80°= 40°+ ∠DOF，∴ ∠DOF = 80°- 40°= 40°。答：∠DOF = 40°。例题4：易错辨析判断下列说法是否正确，若不正确，请说明理由。（1）有公共顶点的两个角是对顶角；（2）对顶角一定相等，相等的角一定是对顶角；（3）两条直线相交，有2对对顶角，4对邻补角；解析：（1）不正确，理由：有公共顶点，但两边不互为反向延长线的两个角不是对顶角（例如：邻补角有公共顶点，但不是对顶角）；（2）不正确，理由：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（例如：两个直角都等于90°，但它们不一定是对顶角）；（3）正确，理由：两条直线相交，相对的两个角为一对对顶角，共2对；相邻的两个角为一对邻补角，共4对。四、课时练习题（分层巩固，查漏补缺）（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A.（有公共顶点，无公共边，两边不互为反向延长线）B.（有公共顶点，有公共边，是邻补角）C.（有公共顶点，两边互为反向延长线，无公共边）D.（无公共顶点）2.直线AB与CD相交于点O，若∠AOD = 100°，则它的对顶角∠BOC的度数为（）A. 80°B. 100°C. 180°D. 90°3.两条直线相交，形成的对顶角的对数是（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对4.下列说法正确的是（）A.邻补角是对顶角B.对顶角相等C.相等的角是对顶角D.没有公共顶点的两个角是对顶角5.直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 50°，则∠BOD = ______°，∠AOD = ______°。（二）中档题（每题6分，共30分）1.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC = 35°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数（要求写出推理过程）。2.如图，直线l 与l 相交于点O，∠1 = 2∠2，求∠1、∠2的度数（利用对顶角和邻补角的关系求解）。3.判断下列说法是否正确，若不正确，请改正。（1）两条直线相交，有4对对顶角；（2）邻补角一定互补，互补的两个角一定是邻补角。4.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOF = 60°，∠BOD = 70°，求∠COE的度数。5.直线AB与CD相交于点O，若∠AOC与∠BOD的和为140°，求∠AOD的度数。（三）提高题（每题10分，共50分）1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD = 70°，求∠BOE的度数（提示：结合对顶角性质和角平分线的定义）。2.直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE = 30°，∠BOC = ∠AOC + 20°，求∠DOF的度数。3.已知直线AB与CD相交于点O，∠AOD比∠AOC大40°，求∠BOD的度数。4.如图，直线AB、CD相交于点O，∠1 = ∠2，求证：∠3 = ∠4（提示：利用对顶角相等和等式的基本性质）。5.两条直线相交，若其中一个角的度数是另一个角的3倍，求这两个角的度数（注意分情况讨论）。五、参考答案与解析（一）基础题1.C 2.B 3.B 4.B 5.50，130（二）中档题70.解：∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，∴ ∠BOD = ∠AOC = 35°；∵ ∠AOC与∠AOD是邻补角，∴ ∠AOD = 180°- 35°= 145°；∵ ∠AOD与∠BOC是对顶角，∴ ∠BOC = 145°。71.解：∵ ∠1与∠2是邻补角，∴ ∠1 + ∠2 = 180°；又∵ ∠1 = 2∠2，∴ 2∠2 + ∠2 = 180°，解得∠2 = 60°，∠1 = 120°。72.（1）不正确，改正：两条直线相交，有2对对顶角；（2）不正确，改正：邻补角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角（例如：两个直角互补，但不一定相邻）。73.解：∵ ∠AOF与∠BOE是对顶角，∴ ∠BOE = 60°；∵ ∠BOD = 70°，∴ ∠DOE = ∠BOD - ∠BOE = 70°- 60°= 10°；∵ ∠DOE与∠COE是邻补角，∴ ∠COE = 180°- 10°= 170°（或∠COE与∠DOF是对顶角，合理即可）。74.解：∵ ∠AOC与∠BOD是对顶角，∴ ∠AOC = ∠BOD；又∵ ∠AOC + ∠BOD = 140°，∴ ∠AOC = 70°；∵ ∠AOC与∠AOD是邻补角，∴ ∠AOD = 180°- 70°= 110°。（三）提高题77.解：∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，∴ ∠AOC = ∠BOD = 70°；∵ OE平分∠AOC，∴ ∠AOE = $$\frac{1}{2}$$∠AOC = 35°；∵ ∠AOE与∠BOE是邻补角，∴ ∠BOE = 180°- 35°= 145°。78.解：∵ ∠AOE = 30°，∴ ∠BOF = 30°（对顶角相等）；设∠AOC = x，则∠BOC = x + 20°；∵ ∠AOC与∠BOC是邻补角，∴ x + (x + 20°) = 180°，解得x = 80°；∴ ∠BOC = 100°，∴ ∠DOF = ∠BOC - ∠BOF = 100°- 30°= 70°。79.解：设∠AOC = x，则∠AOD = x + 40°；∵ ∠AOC与∠AOD是邻补角，∴ x + (x + 40°) = 180°，解得x = 70°；∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，∴ ∠BOD = 70°。80.证明：∵ ∠1与∠3是对顶角，∴ ∠1 = ∠3；∵ ∠2与∠4是对顶角，∴ ∠2 = ∠4；又∵ ∠1 = ∠2，∴ ∠3 = ∠4（等量代换）。81.解：分两种情况：①这两个角是对顶角：∵对顶角相等，∴不可能一个是另一个的3倍，此情况不成立；②这两个角是邻补角：设较小的角为x，则较大的角为3x；∵邻补角互补，∴ x + 3x = 180°，解得x = 45°，3x = 135°；答：这两个角的度数分别为45°和135°。 活动：逐渐握紧剪刀刀柄时，随着两个刀柄之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
对顶角的概念
1
如下图中，两直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1和∠3 有公共顶点 O ，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角.
要点归纳
A
B
C
D
O
1
3
例 1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
D
1
2
C
1
2
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
典例精析
问题：对顶角在数量上又有什么关系呢？如下图中的∠1 与∠3.
猜想：对顶角相等.
C
O
A
B
D
4
3
2
1
思考：你能利用所学知识来验证∠1 与∠3 之间的数量关系吗？
在之前的学习中我们已经知道平角为 180°.
对顶角的性质
2
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O.
试说明：∠1 =∠3，∠2 =∠4.
解：因为直线 AB 与 CD 相交于点 O，
所以∠1 +∠2 = 180°，
∠3 +∠2 = 180°.
所以∠1 =∠3.
同理可得∠2 =∠4.
应用格式：因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，
所以∠1 =∠3，∠2 =∠4.
例2
想一想：如图所示是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？
对顶角相等
3. 同上图，若 1∶ 2 = 2∶7，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为____________________.
2. 同上图，若∠2 是∠1 的 3 倍，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____________________.
1. 如图，若∠1 +∠3 = 60°，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____
________________.
30°，
150°，30°，150°
45°，135°，45°，135°
40°，140°，40°，140°
变式训练：
例3 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，∠1 = 40°，∠BOC = 110°，求∠2 的度数.
解：因为∠1 = 40°，∠BOC = 110°(已知)，
所以∠BOF =∠BOC－∠1
= 110°－40° = 70°.
因为∠BOF =∠2(对顶角相等)，
所以∠2 = 70°(等量代换)．
注意：隐含条件“对顶角相等”.
核心必知
1.如果两个角有__________，并且它们的两边分别互为反向
延长线，这样的两个角互为对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角______.
注意：互为对顶角的两个角______，但相等的两个角不一定
是对顶角.
公共顶点
相等
相等
1星题 基础练
知识点1 对顶角
1.［知识初练］如图，直线与相交于点,则 的对
顶角是_______.
2.[朔州期末] 下列工具中，有对顶角的是( )
D
A. B. C. D.
3.如图，下列各组角中，互为对顶角的是
( )
A
A.和 B.和
C.和 D.和
4.如图，直线，交于点，过点作射线 ，则图中
的对顶角有___组.
2
知识点2 对顶角的性质
5.［知识初练］如图，直线, 相交
于点，因为_____ ,
_____ ,所以 ____
(依据：________________).同理，
____.
180
180
同角的补角相等
6.创新题·新考法 如图，为了测
量一座古塔外墙底部的底角
的度数，李潇同学设计了
如下测量方案：作， 的延
对顶角相等
长线，，量出的度数，从而得到 的度数.
这个测量方案的依据是____________.
(第7题)
7.[安庆期末] 如图是利用量角器测
量角的示意图，则图中 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
(第8题)
8.跨学科·物理 宿州期中 当光线从空气中
射入某种液体中时，光线的传播方向发生
了变化，在物理学中这种现象叫作光的折
射.如图，垂直于液面于点 ，一束
光线沿射入液面，在点 处发生折射，
A
A. B. C. D.
折射光线为，为 的延长线上的一点，若入射角
，折射角 ，则 的度数为( )
2星题 中档练
9.真实情境 知识之树常青，学习便是那不息之泉，
滋养心灵，茁壮成长.小华在学习完相交线后，发
现生活中有许多相交线.常见的伸缩门中存在非常
A
A.减小 B.增大 C.增大 D.不变
拓展设问 若 ，则____ .
44
多的对顶角，如图为简易伸缩门，当减小 时，
的度数( )
【变式题】 如图，已知直线 、
、相交于点.若 ,
,则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
(第10题)
10.如图，直线，相交于点 ，射线
平分，若 ，则
______.
根据题意，易得
.因为射线 平
分，所以 ，所以
.
【变式题】 如图，已知直线，相交于点， 平分
且 ，则 的度数为_____.
(变式题)
11.分类讨论思想 两条直线相交所成的四个角中，若有两个
角的度数分别是 和 ，则 ________.
40或80
当这两个角是相邻的两个角时，根据题意，得
,解得 .当这两个角是对
顶角时，根据题意，得，解得 .
对顶角的概念
对顶角的性质：对顶角相等
对顶角

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