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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）10.2第3课时平行线的判定方法第10章相交线、平行线与平移授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册10.2第3课时平行线的判定方法班级：________姓名：________得分：________本课时主要学习平行线的三种核心判定方法、补充判定方法及应用，是上一课时“同位角、内错角、同旁内角”的延伸，也是后续学习平行线性质的基础。本节课将结合“三线八角”基本图形，推导并讲解平行线的判定方法，规范推理格式，结合典型例题突破复杂图形的判定难点，通过分层练习题巩固应用，帮助同学们熟练掌握“由角的数量关系判定直线平行”的思路，规避推理易错点，夯实几何推理的基础。一、核心知识点梳理（一）判定前提与核心思路1.前提条件：两条直线被第三条直线所截（即“三线八角”基本图形），这是运用判定方法的基础，无此前提则无法通过角的关系判定平行；2.核心思路：角的数量关系→直线的位置关系，即通过判断同位角、内错角、同旁内角的数量关系（相等或互补），得出两条被截直线平行的结论；3.关键提醒：判定平行线的核心是找准“三线”（被截线、截线）和“两角”（同位角、内错角、同旁内角），明确两角的位置关系，再结合数量关系判断平行。（二）三种核心判定方法（重点）判定方法文字表述符号语言（规范书写）关键要点方法1同位角相等，两直线平行∵ ∠1 = ∠2（已知）∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）两角为同位角（F型），相等即可判定方法2内错角相等，两直线平行∵ ∠2 = ∠3（已知）∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）两角为内错角（Z型），相等即可判定方法3同旁内角互补，两直线平行∵ ∠2 + ∠4 = 180°（已知）∴ a∥b（同旁内角互补，两直线平行）两角为同旁内角（U型），互补（和为180°）即可判定补充说明1.三种方法可互相推导，例如：由同位角相等可推出内错角相等，进而推出同旁内角互补，最终都能判定两直线平行；2.符号语言是几何推理的核心，书写时必须规范：先写已知条件（角的关系），再写推理依据（判定方法），最后得出平行结论，缺一不可；3.判定时需先判断两角的位置关系（是同位角、内错角还是同旁内角），再结合数量关系，不能只看数量忽略位置。（三）补充判定方法（推导得出，可直接应用）1.平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行传递性）符号语言：∵ a∥c，b∥c（已知），∴ a∥b（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；关键提醒：无需借助角的关系，直接由两条直线都平行于第三条直线，即可判定它们互相平行。2.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵ a⊥c，b⊥c（已知），∴ a∥b（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；关键提醒：必须强调“同一平面内”，空间中垂直于同一条直线的两条直线可能相交或异面，不一定平行。3.平行线的定义（间接判定）：同一平面内，不相交的两条直线是平行线（多用于反证法，或直接观察图形判定）。（四）判定平行线的一般步骤（规范推理，规避错误）1.找“三线”：确定两条被截线和一条截线，明确哪两条直线是待判定平行的直线；2.判“两角”：找出待判定平行的两条直线被截线所截形成的同位角、内错角或同旁内角；3.证“关系”：通过已知条件、对顶角相等、邻补角互补等，证明这两个角相等或互补；4.下“结论”：根据相应的判定方法，得出两条被截直线平行的结论，并规范书写推理过程。（五）常见图形的判定技巧1.复杂图形简化：遇到多条直线相交的图形，先分离出“两条被截线+一条截线”的基本图形，再找角、判关系；2.隐含条件应用：灵活运用“对顶角相等”“邻补角互补”，将已知角转化为同位角、内错角或同旁内角，再判定平行；3.多方法选择：同一道题可能有多种判定方法，优先选择简便的方法（如同位角、内错角相等比同旁内角互补更简便）。二、全课时易错点归纳（重点规避）1.混淆“判定”与“性质”：误将“两直线平行，同位角相等”（性质）当作判定方法，导致推理逻辑颠倒（判定是“角推线”，性质是“线推角”）；2.忽略角的位置关系：只看角相等或互补，不判断两角是否为同位角、内错角或同旁内角，盲目判定平行；3.符号语言书写不规范：缺少推理依据、已知条件书写不全，或未注明“已知”“求证”，导致推理不完整；4.遗漏“同一平面内”前提：应用“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”时，忽略前提条件，导致结论错误；5.误将“同旁内角相等”当作判定条件：同旁内角需“互补”（和为180°）才能判定平行，相等不能判定；6.复杂图形中找错角：未分离基本图形，导致找错同位角、内错角或同旁内角，进而判定错误。三、典型例题解析（贴合考点，突破重难点）例题1：用同位角相等判定平行（基础）如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1 = ∠2，求证：a∥b。解析：先确定三线：被截线a、b，截线l；再判断两角位置：∠1与∠2是同位角（F型）；结合已知条件，套用判定方法1。证明：∵ ∠1 = ∠2（已知）∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）例题2：用内错角相等判定平行（基础）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF = ∠DFE，试说明AB∥CD。解析：∠AEF与∠DFE是直线AB、CD被EF所截形成的内错角（Z型），直接利用内错角相等判定平行，规范书写推理过程。解：∵ ∠AEF = ∠DFE（已知）∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）例题3：用同旁内角互补判定平行（基础）如图，已知∠B + ∠BCD = 180°，求证：AB∥CD。解析：先确定三线：被截线AB、CD，截线BC；∠B与∠BCD是同旁内角（U型），已知两角互补，套用判定方法3。证明：∵ ∠B + ∠BCD = 180°（已知）∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）例题4：结合隐含条件判定平行（中档）如图，直线a、b被直线l所截，∠1 = ∠3，∠1 + ∠2 = 180°，求证：a∥b。解析：本题可通过对顶角相等，将∠3转化为∠2，再利用同位角相等判定平行；也可利用同旁内角互补判定，选择简便方法即可。证明：∵ ∠1 = ∠3（已知），∠2 = ∠3（对顶角相等）∴ ∠1 = ∠2（等量代换）∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）例题5：补充判定方法的应用（中档）已知直线a∥c，b∥c，∠1 = 60°，求证：a∥b，并求∠2的度数（∠2与∠1是同位角）。解析：先利用平行传递性判定a∥b，再利用平行线的性质求∠2的度数（初步渗透性质，为后续课时铺垫）。证明：∵ a∥c，b∥c（已知）∴ a∥b（平行于同一条直线的两条直线互相平行）又∵ ∠2与∠1是同位角，a∥b∴ ∠2 = ∠1 = 60°（两直线平行，同位角相等）例题6：易错辨析（判断对错并说明理由）判断下列推理是否正确，若不正确，请说明理由。（1）∵ ∠1与∠2是内错角，∠1 = ∠2，∴两直线平行；（2）∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∴两直线平行；（3）∵ a⊥c，b⊥c，∴ a∥b；解析：（1）不正确，理由：未说明∠1与∠2是“两条直线被第三条直线所截”形成的内错角，若两角无公共截线，无法判定平行；（2）不正确，理由：未说明∠1与∠2是同旁内角，只有同旁内角互补，才能判定两直线平行；（3）不正确，理由：缺少“同一平面内”的前提，空间中垂直于同一条直线的两条直线可能不平行。四、课时练习题（分层巩固，查漏补缺）（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列能判定两直线平行的是（）A.同位角互补B.内错角相等C.同旁内角相等D.对顶角相等2.直线a、b被直线l所截，若∠1 = ∠2（∠1与∠2是同位角），则下列说法正确的是（）A. a⊥b B. a∥b C. a与b相交D.无法判定3.同一平面内，若直线a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是（）A.相交B.平行C.垂直D.无法确定4.如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF + ∠CFE = 180°，则AB与CD的位置关系是______，依据是______。5.已知a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是______，依据是______。（二）中档题（每题6分，共30分）1.如图，直线a、b被直线l所截，∠1 = 50°，∠2 = 50°，求证：a∥b。2.如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠3 = ∠4，试说明AB∥CD（用两种方法判定）。3.如图，已知∠B = ∠DCE，∠B + ∠BCE = 180°，分别用两种判定方法证明AB∥CD。4.如图，直线l 、l 、l 相交于一点，已知l ∥l ，∠1 = 70°，求∠2的度数，并说明理由。5.简述用同位角相等判定两直线平行的步骤。（三）提高题（每题10分，共50分）1.如图，在复杂图形中，分离出2组“两条被截线+一条截线”的基本图形，分别用不同的判定方法判定两条直线平行，并写出完整的推理过程。2.已知直线AB、CD被直线EF所截，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AB∥CD，且EF平分∠AEC。3.如图，已知∠1 + ∠2 = 180°，∠2 = ∠3，求证：a∥b∥c。4.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）内错角互补，两直线平行；（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（3）同一平面内，不平行的两条直线一定垂直。5.如图，已知AB⊥EF，CD⊥EF，求证：AB∥CD，并说明所用的判定方法。五、参考答案与解析（一）基础题1.B 2.B 3.B 4.平行，同旁内角互补，两直线平行5.平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行（二）中档题102.证明：∵ ∠1 = 50°，∠2 = 50°（已知）∴ ∠1 = ∠2（等量代换）又∵ ∠1与∠2是同位角∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）103.方法一（同位角相等）：∵ ∠3 = ∠4（已知），∠3 = ∠1（对顶角相等）∴ ∠1 = ∠4（等量代换）∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）方法二（内错角相等）：∵ ∠3 = ∠4（已知），∠4 = ∠2（对顶角相等）∴ ∠3 = ∠2（等量代换）∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）104.方法一（同位角相等）：∵ ∠B = ∠DCE（已知）∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）方法二（同旁内角互补）：∵ ∠B + ∠BCE = 180°（已知）∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）105.解：∠2 = 70°；理由：∵ l ∥l （已知），∠1与∠2是同位角∴ ∠2 = ∠1 = 70°（两直线平行，同位角相等）106.解：①找三线：确定两条被截线和一条截线；②判两角：找出两条被截线被截形成的同位角；③证相等：证明这两个同位角相等；④下结论：根据“同位角相等，两直线平行”，判定两条被截线平行。（三）提高题109.解析：（示例）基本图形1：直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF = ∠DFE（已知）证明：∵ ∠AEF = ∠DFE（已知）∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）基本图形2：直线EF、GH被直线AB所截，∠EAB = ∠HBA（已知）证明：∵ ∠EAB = ∠HBA（已知）∴ EF∥GH（内错角相等，两直线平行）（答案不唯一，合理即可）110.证明：∵ ∠1 = ∠2（已知）∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∵ ∠3 = ∠4（已知），∠1 = ∠3（对顶角相等），∠2 = ∠4（对顶角相等）∴ ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4∴ EF平分∠AEC111.证明：∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知）∴ a∥b（同旁内角互补，两直线平行）∵ ∠2 = ∠3（已知），∠3 = ∠4（对顶角相等）∴ ∠2 = ∠4（等量代换）∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）∴ a∥b∥c（平行于同一条直线的两条直线互相平行）112.（1）不正确，理由：内错角相等才能判定两直线平行，互补不能判定；（2）正确，理由：这是平行线的补充判定方法，平行具有传递性；（3）不正确，理由：同一平面内，不平行的两条直线一定相交，但相交不一定垂直，只有相交成直角时才垂直。113.证明：∵ AB⊥EF，CD⊥EF（已知）∴ ∠AEF = ∠CFE = 90°（垂直的定义）∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（或用“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”判定）在同一平面内，两条不相交的直线互相平行.
你还有其他方法吗？
(1) 同一平面内不重合的两条直线，有哪几种位置关系
相交或平行
(2) 判定两条直线平行的方法有哪些呢
一、放
二、靠
三、推
四、画
我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法.
●
利用同位角判定两条直线平行
1
b
A
2
1
a
B
（1）这样的画法可以看作是怎样的图形变换？
（2）画图过程中，什么角始终保持相等？
（3）直线 a，b 位置关系如何？
思考
(4) 将其最初和最终的两种特殊位置抽象成几何图形：
1
2
l2
l1
A
B
(5) 由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的方法吗？
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
因为∠1 =∠2 (已知)，
所以 l1∥l2 (同位角相等，两直线平行).
1
2
l2
l1
A
B
要点归纳
尺规作图 已知:直线 AB 和点 C ,点 C 在直线 AB 外.
求作:直线 CD,使直线 CD∥AB.
作法
A
B
C
E
F
D
3.作直线 CD，直线 CD 就是所求作的直线.
2.以点 C 为顶点,CE 为边,在EF 的右侧作∠ECD=∠EFB.
1.过点 C 作直线 EF 交 AB 于点 F .
问题1 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？
如图，由 3 = 2，能推得 a∥b 吗？试一试.
解：因为∠1 = ∠3(对顶角相等)，
∠3 = ∠2(已知)，
所以∠1 = ∠2.
所以 a∥b(同位角相等，两直线平行).
2
b
a
1
3
利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
2
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
因为∠1 = ∠2 (已知)，
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行).
应用格式：
2
b
a
1
知识要点
问题2 如图，如果 1 + 2 = 180°，能判定 a∥b 吗
解：能. 理由如下：
因为 ∠1 + ∠2 = 180°（已知），
∠1 + ∠3 = 180°（平角的定义），
所以 ∠2 = ∠3（同角的补角相等）.
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.
c
2
b
a
1
3
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
应用格式：
2
b
a
1
因为∠1 + ∠2 = 180° (已知)，
所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行).
知识要点
① 因为∠2 =∠6，（已知）
所以 ___∥___ ( ).
② 因为∠3 =∠5（已知），
所以 ___∥___ ( ).
③ 因为∠4 + ___ = 180°（已知），
所以 ___∥___ ( ).
AB
CD
AB
CD
∠5
AB
CD
同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
A
C
1
4
2
3
5
8
6
7
B
D
F
E
例1 根据条件完成填空：
典例精析
所以 AB∥MN（内错角相等，两直线平行）.
解：
因为∠MCA = ∠ A（已知），
又因为∠DEC = ∠B（已知），
所以 AB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
所以 DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
例2 如图，已知∠MCA = ∠A，∠DEC = ∠B，那么
DE∥MN 吗？为什么？
A
E
B
C
D
N
M
做一做
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
做一做
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
思考：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，
这两条直线平行吗？为什么？
a
b
c
直线 b⊥a，c⊥a
直线 b∥c
？
猜想：垂直于同一条直线的两条直线平行.
合作探究
在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.
a
b
c
1
2
因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
所以 b∥c
(同位角相等，两直线平行).
所以∠1 =∠2 = 90°
(垂直的定义).
解法：如图，
猜想验证
你还有其他的证法吗？动手试一试吧！
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
几何语言：
因为 b⊥a，c⊥a(已知)，
所以 b∥c(同一平面内，垂直于
同一条直线的两条直线平行).
a
b
c
1
2
归纳总结
例3 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1 = 90°，你能通过度量图
中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说明理由.
解：测出∠2，∠3，∠4，∠5 中任意一个角为 90° 即可验证，理由是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
1星题 基础练
知识点1 同位角相等，两直线平行
(第1题)
1.［知识初练］如图所示的是利用直尺
和三角尺过直线外一点作直线 的平行
线的方法，这样作图的依据是_________
_______________.
同位角相
等，两直线平行
2.如图，若，则____//____；若 ，则____//
____.
(第2题)
3.如图，直线，被， 所截，下列条件能
说明 的是( )
C
A. B.
C. D.
4.如图，一条公路修到湖边时，需拐
弯绕湖而过，若第一次拐角
，第二次拐角
，请判断 段的道路
是否和 段的道路平行？为什么？
(8分)
解：段的道路和 段的道路平行.
因为 ，
根据同位角相等，两直线平行，得
.
知识点2 利用尺规作平行线
5.[合肥期末] 如图，点在的边 上，用尺规作出了
，作图痕迹中，弧 是( )
C
A.以点为圆心， 的长为半径的弧
B.以点为圆心， 的长为半径的弧
C.以点为圆心， 的长为半径的弧
D.以点为圆心， 的长为半径的弧
6.如图，在三角形中， .
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(8分)
(1)在上截取，连接 ；
解：如图所示.
(2)过点作的平行线交 于点E.
如图所示.
知识点3 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
7.将一副三角尺按如图所示的方式放
置在直线上，则与 的位置关
系是_________，其根据是__________
_________________________________
_____.
在同一平
面内，垂直于同一条直线的两条直线
平行
8.[安庆月考] 同一平面内的四条直线，，， 满足
，， ，则下列正确的是( )
C
A. B.
C. D.以上都不正确
2星题 中档练
9.真实情境 如图，已知
，为保证两条铁轨平行，
添加的下列条件中，正确的是
( )
C
A. B. C. D.
10.如图，已知直线，被直线 所截，如果要添加条件，
使得 ，那么添加的条件可以是( )
D
A.
B.
C.
D.，
11.真实情境 为响应国家新能源建设，
某公交站亭装上了太阳能电池板.当
地某一季节的太阳光(平行光线)与水
20
平线最大夹角为 .如图，电池板 与最大夹角时刻的太
阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为 ，要使
，需将电池板至少转动____ .
12.创新题·新题型 学行线后，点点想出了过已知直线
外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透
明的纸得到的(如图①～④).从图中操作过程你知道点点画平
行线的依据吗？请把你的想法写出来.(12分)
解：如图④，由折叠得， ，
所以 ，所以 ，
即同位角相等，两直线平行.
13.如图，已知直线平分，若 ，
，试说明： .(8分)
解：如图，因为 ，
所以 .
因为直线平分， ，
所以 ，
所以，所以 .
5. 平行线的定义.
判定两条直线平行的方法有：
1. 同位角相等，两直线平行.
2. 内错角相等，两直线平行.
3. 同旁内角互补，两直线平行.
4. 平行于同一条直线的两直线平行.
6.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.

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