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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）第6章小结与复习第6章实数授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级下册第6章小结与复习班级：________姓名：________得分：________时间：30分钟一、知识梳理本章核心围绕“平方根、立方根”展开，逐步引入“实数”的概念，建立起实数与数轴的对应关系，掌握实数的运算和大小比较，为后续二次根式、函数等知识奠定基础。（一）平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x的平方等于a（即\(x^2 = a\)），那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）。-正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\(\sqrt{a}\)，0的算术平方根是0。-注意：\(\sqrt{a}\)具有非负性，即\(\sqrt{a} \geq 0\)（a≥0）。（二）立方根1.定义：如果一个数x的立方等于a（即\(x^3 = a\)），那么这个数x叫做a的立方根（也叫三次方根），记作\(\sqrt[3]{a}\)。2.性质：任何实数都有且只有一个立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。3.区别：立方根与平方根不同，负数有立方根，无平方根；正数的两个平方根互为相反数，而立方根只有一个。（三）实数1.概念：有理数和无理数统称为实数。-有理数：有限小数和无限循环小数（可化为分数）；-无理数：无限不循环小数（如开方开不尽的数、\(\pi\)、无限不循环小数0.1010010001…）。2.实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的每个点都表示一个实数。3.实数的性质：实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一致；实数的大小比较方法（数轴法、平方法、差值法等）与有理数相同。4.实数的运算：运算顺序与有理数一致（先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）；同类二次根式可合并，不同类二次根式不能直接合并。（四）易错点辨析1.混淆平方根与算术平方根：误将正数的平方根当作算术平方根，忽略“正的”这一条件；2.错误判断无理数：将无限循环小数、带根号的有理数（如\(\sqrt{4}\)）当作无理数；3.实数运算错误：不同类二次根式直接合并（如\(\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}\)），或开方、乘除运算失误；4.比较负数的立方根与平方根大小时，忽略符号规律。二、复习练习题（一）基础题（每题8分，共40分）1.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）121（2）0.04（3）\(\frac{16}{81}\)2.求下列各数的立方根：（1）-64（2）0.125（3）\(\frac{27}{64}\)3.把下列实数分类：\(-3\)，\(\sqrt{5}\)，\(\frac{22}{7}\)，\(\pi\)，0，\(-\sqrt{9}\)，0.\(\dot{6}\)，0.1010010001…有理数：________________无理数：________________4.比较下列实数的大小：（1）\(\sqrt{6}\)与2.5（2）\(-\sqrt{7}\)与\(-\sqrt{8}\)5.计算：\(\sqrt{9} + 2\sqrt{2} - \sqrt{8} + \sqrt{3} \times \sqrt{3}\)（二）中档题（每题12分，共36分）6.已知一个正数的两个平方根分别是3a-5和2a-10，求这个正数及其算术平方根。7.已知\(\sqrt[3]{3a-1} = 2\)，\(\vert b - \sqrt{5}\vert = 0\)，求a+b的平方根和立方根。8.计算：\((\sqrt{12} - \sqrt{3}) \div \sqrt{3} + (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)\)（三）拓展题（24分）9.已知数轴上A、B两点分别对应实数\(-\sqrt{3}\)和\(\sqrt{5}\)，（1）求A、B两点之间的距离（结果保留根号）；（2）若点C在数轴上，且到A、B两点的距离相等，求点C对应的实数；（3）估算A、B两点距离的近似值（精确到0.01）。三、参考答案1.（1）平方根±11，算术平方根11；（2）平方根±0.2，算术平方根0.2；（3）平方根±\(\frac{4}{9}\)，算术平方根\(\frac{4}{9}\)；2.（1）-4；（2）0.5；（3）\(\frac{3}{4}\)；3.有理数：-3，\(\frac{22}{7}\)，0，\(-\sqrt{9}\)，0.\(\dot{6}\)；无理数：\(\sqrt{5}\)，\(\pi\)，0.1010010001…；4.（1）\(\sqrt{6}\)＜2.5；（2）\(-\sqrt{7}\)＞\(-\sqrt{8}\)；5. 4；6.正数16，算术平方根4；7. a=3，b=\(\sqrt{5}\)，a+b的平方根±\(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\)，立方根\(\sqrt[3]{3 + \sqrt{5}}\)；8. 4；9.（1）\(\sqrt{5} + \sqrt{3}\)；（2）\(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}\)；（3）3.96。1. 平方根的概念及性质
2. 算术平方根的概念及性质
(2) 性质：一个正数 a 的平方根有两个，它们互为 相反数；0 的平方根是 0，负数没有平方根.
(2) 性质：0 的算术平方根是 0，只有非负数才有
算术平方根，且算术平方根也是非负数.
一、平方根
(1) 定义：若 r2 = a，则 r 叫做 a 的一个平方根.
(1) 定义：一个正数a 的正平方根叫做 a 的算术平方根.
1. 立方根的概念及性质
(1)定义：如果 b3 = a，那么 b 叫做 a 的立方根.
二、立方根
(2)性质：每一个实数都有一个与它本身符号相同的立方根.
2. 用计算器求立方根
用计算器求一个数 a 的立方根，其按键顺序为
SHIFT
a
=
三、实数
1. 实数的分类
无理数：
无限不循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数
实数
分数
整数
开不尽方的数开方所得结果
有规律但不循环的无限小数
……
化简后含有 的数
按定义分：
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
按符号分类：
0
负无理数
正无理数
正实数
负实数
0
1
2. 实数与数轴
(1) 实数和数轴上的点是一一对应的关系；
(2) 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数大.
3. 在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则
同样适用.
整合1 平方根、算术平方根、立方根
1.[宣城期中] 下列各式正确的为( )
D
A. B.
C. D.
2.9的算术平方根是( )
A
A.3 B. C. D.
3.121的平方根为_____，( )的立方根为____.
4.已知，则 的值是______.
. .
5.[合肥月考] 已知为4的算术平方根，2为 的立
方根.(8分)
(1)求， 的值；
解：因为为4的算术平方根，2为 的立方根，所
以，，解得， .
(2)求 的平方根.
因为，，所以 ，所
以的平方根是 .
整合2 实数的相关概念及分类
6.[安庆期末] 实数,,, 中，无理数有( )
C
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.的绝对值是________， 的相反数是_________，
的倒数是______.
8.把下列各数分别填在相应的横线上：
，，，，0，，， .
有理数：____________________________；
负无理数：____________；
正实数：_______________.
，，0， ，
，
，，
整合3 实数与数轴上点的对应关系
9.若将，， 表示在如图所示的数轴上，则其中能
被墨迹覆盖的数是( )
A
A. B. C. D.都不可能
10.如图，数轴上表示的点为点，若点 为在数轴上到点
的距离为1个单位长度的点，则点 所表示的数是( )
D
A. B.
C.或 D.或
整合4 实数的估算及大小比较
11.下列四个实数中最小的是( )
A
A. B.0 C. D.
12. 已知在两个连续的整数和 之间，
如何求和 的值？
(1)问题转化：求连续整数， 分析与被开方数相邻的两
个完全平方数.
(2)求相邻的两个完全平方数的算术平方根，即可求出两个连
续的整数：
___ ______， ___.
3
4
3
4
[合肥期末] 若，则整数
( )
C
A.4 B.5 C.6 D.7
13.设，， ，则( )
A
A. B.
C. D.
14.比较大小：___(填“ ”“ ”或“ ”).
15.[宣城期中] 满足的整数 有___个.
4
整合5 实数的相关计算
16. 的值为( )
C
A.5 B. C.1 D.
17.计算：(8分)
(1) ；
解：原式
;
(2) .
解：原式
.
整合6 数学思想
18.分类讨论思想 比较,， 的大小.(8分)
解：由题易得.当时， ;
当时，;当时， .
整合7 易错题
19. 的平方根是_______.
或4
易忽略原式化简而致错.
20.若与是某一个正数的平方根，则 的值是
_____.
2或
题中未指出两平方根相同或互为相反数，需分类讨论.
整合8 聚焦安徽中考
21.[安徽中考] 计算： ___.
3
22.数学文化 安徽中考我国古代数学家张衡将圆周率取值为
，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较
大小：___(填“ ”或“ ”).
23.[安徽中考] 对于正整数，根据 除以3的余数，分以下三
种情况得到另一个正整数若余数为0,则 ；若余数
为1，则；若余数为2，则.这种得到 的过
程称为对进行一次“变换”.对所得的数 再进行一次变换称
为对进行二次变换，依此类推.例如，正整数 ，根据4
除以3的余数为1，由 知，对4进行一次变换得到的
数为8；根据8除以3的余数为2，由 知，对4进行二
次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由 知，
对4进行三次变换得到的数为3.
(1)对正整数15进行三次变换，得到的数为___；
(2)若对正整数 进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件
的 的值之和为____.
2
11

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