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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）第8章小结与复习第8章整式乘法与因式分解授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解小结与复习班级：________姓名：________得分：________本章核心内容：整式乘法（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）和因式分解（提公因式法、公式法、分组分解法），重点掌握幂的运算性质、整式乘法法则及因式分解的基本方法，难点是灵活运用法则进行混合运算、区分整式乘法与因式分解的互逆关系，以及因式分解的彻底性。本小结与复习题涵盖全章知识点梳理、基础巩固、变式提升、易错辨析及综合应用，帮助系统梳理知识、查漏补缺，提升综合运算能力。一、全章知识点梳理（一）整式乘法1.幂的运算性质（核心基础）①同底数幂相乘：$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$（m、n为正整数，底数不变，指数相加）；②幂的乘方：$$(a^m)^n = a^{mn}$$（m、n为正整数，底数不变，指数相乘）；③积的乘方：$$(ab)^n = a^n b^n$$（n为正整数，积的乘方等于乘方的积）；④同底数幂相除：$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$（a≠0，m、n为正整数，m>n，底数不变，指数相减）；⑤零指数幂：$$a^0 = 1$$（a≠0）；负整数指数幂：$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$（a≠0，n为正整数）。2.整式乘法法则①单项式乘单项式：把系数相乘、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；②单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（$$m(a+b+c) = ma + mb + mc$$）；③多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$）；④乘法公式（重点）：-完全平方公式：$$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$$（口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中间）；-平方差公式：$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$（口诀：首平方，尾平方，首尾相反减平方）。（二）因式分解1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（与整式乘法互为逆运算）。2.基本方法（重点）①提公因式法：找出多项式各项的公因式，提出来，将多项式化为公因式与另一个整式的积（公因式：系数取最大公约数，字母取各项相同字母，相同字母指数取最低次幂）；②公式法：利用完全平方公式、平方差公式逆向分解（注意适用条件：平方差公式适用于二项式，两项为平方形式且符号相反；完全平方公式适用于三项式，首尾为平方形式且符号相同，中间项是首尾平方根乘积的2倍）；③分组分解法：多项式项数多于3项时，适当分组，使每组能提公因式或用公式，再整体提公因式（分组关键：分组后能继续分解）。3.因式分解注意事项①分解要彻底：直到每一个因式都不能再分解为止；②首项系数为负时，先提取负号；③分解结果只能是整式的积，不能有加减运算；④相同因式要写成幂的形式。（三）易错点提醒1.幂的运算：混淆同底数幂相乘与幂的乘方（如$$a^2 \cdot a^3 \neq a^6$$，$$(a^2)^3 \neq a^5$$）；积的乘方漏乘每一项（如$$(ab)^2 \neq a^2b$$）。2.整式乘法：多项式乘多项式漏乘项；完全平方公式漏加/漏减首尾二倍项（如$$(x+3)^2 \neq x^2 + 9$$）。3.因式分解：提公因式不彻底；混淆因式分解与整式乘法；平方差公式、完全平方公式使用条件判断错误；分组不当无法继续分解。二、基础巩固题（每题4分，共40分）1.计算：$$a^3 \cdot a^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(x^2)^3 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(2ab)^2 = \_\_\_\_\_\_$$。2.计算：$$3x^2 \cdot 2x^3 = \_\_\_\_\_\_$$；$$-2a \cdot (3a - 4b) = \_\_\_\_\_\_$$。3.计算：$$(x + 2)(x - 3) = \_\_\_\_\_\_$$；$$(2x - 1)^2 = \_\_\_\_\_\_$$。4.分解因式：$$4x^2 - 1 = \_\_\_\_\_\_$$；$$x^2 - 6x + 9 = \_\_\_\_\_\_$$。5.分解因式：$$3x^2 - 6x = \_\_\_\_\_\_$$；$$ax + ay + bx + by = \_\_\_\_\_\_$$。6.若$$a^m = 2$$，$$a^n = 3$$，则$$a^{m+n} = \_\_\_\_\_\_$$，$$(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$$。7.计算：$$(x - 2y)(x + 2y) - (x - y)^2 = \_\_\_\_\_\_$$。8.分解因式：$$-x^2 + 4xy - 4y^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$x^3 - x = \_\_\_\_\_\_$$。9.若$$x^2 + mx + 16$$是完全平方式，则m = ______；若$$(x + k)(x - 2) = x^2 + 3x - 6$$，则k = ______。10.计算：$$(-3x^2)^3 \div x^3 = \_\_\_\_\_\_$$；$$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2) = \_\_\_\_\_\_$$。三、变式提升题（每题10分，共30分）1.计算：（1）$$(2x^2y)^3 \cdot (-3xy^2) \div 6x^4y^3$$；（2）$$(x + 3)(x - 3) - (x - 2)(x + 1)$$。2.分解因式（需写出完整步骤）：（1）$$2x^2 - 8xy + 8y^2$$；（2）$$x^4 - 18x^2 + 81$$；（3）$$m^2 - n^2 + 3m + 3n$$。3.利用整式乘法与因式分解解决问题：（1）已知$$a + b = 4$$，$$ab = 3$$，求$$a^2b + ab^2 + a^2 + b^2$$的值；（2）已知长方形的长为$$(2x + 3)$$，宽为$$(x - 1)$$，求长方形的面积（用整式表示），并分解因式。四、易错辨析题（10分）判断下列运算或因式分解是否正确，若不正确，请指出错误并改正。1. $$a^2 \cdot a^3 = a^6$$；2. $$(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 6ab + 9b^2$$；3. $$x^2 - 4 = (x - 2)^2$$；4. $$3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$；5. $$ax + bx - a - b = (a + b)(x + 1)$$。五、综合应用题（10分）一个大正方形的边长为$$(x + 5)$$厘米，一个小正方形的边长为$$(x - 3)$$厘米，一个长方形的长为$$(x + 5)$$厘米，宽为$$(x - 3)$$厘米。1.求两个正方形的面积和，并分解因式；2.求大正方形与长方形的面积差，并分解因式；3.当$$x = 4$$时，求上述面积和与面积差的值。参考答案提示：一、知识点梳理（略，结合上述内容核对）二、基础巩固题1.$$a^5$$，$$x^6$$，$$4a^2b^2$$ 2.$$6x^5$$，$$-6a^2 + 8ab$$ 3.$$x^2 - x - 6$$，$$4x^2 - 4x + 1$$ 4.$$(2x + 1)(2x - 1)$$，$$(x - 3)^2$$ 5.$$3x(x - 2)$$，$$(a + b)(x + y)$$6.6，8 7.$$-5y^2 + 2xy$$ 8.$$-(x - 2y)^2$$，$$x(x + 1)(x - 1)$$ 9.±8，5 10.$$-27x^3$$，$$a^4 - b^4$$三、变式提升题34.（1）$$(8x^6y^3) \cdot (-3xy^2) \div 6x^4y^3 = -24x^7y^5 \div 6x^4y^3 = -4x^3y^2$$；（2）$$(x^2 - 9) - (x^2 - x - 2) = x - 7$$35.（1）$$2(x^2 - 4xy + 4y^2) = 2(x - 2y)^2$$；（2）$$(x^2 - 9)^2 = (x + 3)^2(x - 3)^2$$；（3）$$(m + n)(m - n) + 3(m + n) = (m + n)(m - n + 3)$$36.（1）$$ab(a + b) + (a + b)^2 - 2ab = 3 \times 4 + 16 - 6 = 22$$；（2）面积：$$(2x + 3)(x - 1) = 2x^2 + x - 3$$，分解因式：$$(2x + 3)(x - 1)$$四、易错辨析题1.不正确，同底数幂相乘指数相加，改正：$$a^5$$；2.不正确，完全平方公式漏乘2倍，改正：$$4a^2 - 12ab + 9b^2$$；3.不正确，混淆公式，改正：$$(x + 2)(x - 2)$$；4.正确；5.不正确，符号错误，改正：$$(a + b)(x - 1)$$五、综合应用题48.面积和：$$(x + 5)^2 + (x - 3)^2 = 2x^2 + 4x + 34 = 2(x^2 + 2x + 17)$$；49.面积差：$$(x + 5)^2 - (x + 5)(x - 3) = 8(x + 5)$$；50.当x=4时，面积和=2×(16+8+17)=82平方厘米，面积差=8×9=72平方厘米一、幂的乘法运算
1. 同底数幂的乘法：底数______，指数______.
a
m
a
n
·
=_______.
am+n
不变
相加
2. 幂的乘方：底数_______，指数______.
不变
相乘
a
m
( )
n
=___________.
a
mn
3. 积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得
的幂_____.
乘方
相乘
ab
n
( )
=____________.
a
n
b
n
(1) 将_____________相乘作为积的系数；
二、整式的乘法
1. 单项式乘单项式：
单项式的系数
(2) 相同字母的因式，利用_________的乘法，作为
积的一个因式；
同底数幂
(3) 单独出现的字母，连同它的______，作为积的
一个因式.
指数
注：单项式乘单项式，积为________.
单项式
(1) 单项式分别______多项式的每一项；
2. 单项式乘多项式：
(2) 将所得的积______.
注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数______.
乘以
相加
相同
3. 多项式乘多项式：
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的________，再把所得的积______.
每一项
相加
实质是转化为单项式乘单项式的运算
三、整式的除法
同底数幂相除，底数_______，指数_______.
1. 同底数幂的除法：
a
m
a
n
÷
=_______.
am-n
不变
相减
任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于_____.
1
= a
m
a
m
÷
=_____.
a
0
1
2. 单项式除以单项式：
单项式相除，把_______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的______一起作为商的一个因式.
系数
同底数的幂
指数
3. 多项式除以单项式：
多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
四、乘法公式
1. 平方差公式
两数______与这两数______的积，等于这两数的________.
和
差
平方差
(a + b)(a - b) =________.
a
2
b
2
-
2. 完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的______的 2 倍.
平方和
积
(a + b)
2
=____________.
a
2
b
2
2ab
+
+
五、因式分解
把一个多项式化为几个______的______的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
1. 因式分解的定义
整式
乘积
2. 因式分解的方法
(1) 提公因式法
(2) 公式法
① 平方差公式：____________________.
② 完全平方公式：____________________.
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
a2±2ab + b2 = (a±b)2
步骤：
1. 提公因式；
2. 套用公式；
3. 检查分解是否彻底.
例1 下列计算正确的是 ( )
A．(a2)3＝a5 B．2a－a＝2
C．(2a)2＝4a D．a·a3＝a4
D
例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
解：原式 = 8a3b6÷4a3b4 = 2a3-3b6-4 = 2b2.
考点一 幂的运算
1、幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法. 这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.
2、其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.
要点归纳
整合1 幂的运算
1.[合肥模拟] 下列计算正确的是( )
A
A. B.
C. D.
2.计算： .(8分)
解：原式 ．
3.已知，， .(8分)
(1)求 的值；
解：因为， ，
所以 .
(2)求 的值.
因为， ，
所以 ．
整合2 科学记数法
4.跨学科·生物 生物的遗传信息大多储存在 分子上，
分子是由重复的核苷酸单元组成的长聚合物，每个核苷
酸单体长度约为，数“ ”用
科学记数法可表示为( )
A
A. B. C. D.
5.小数用科学记数法表示为 ，则原
数中小数点后“0”的个数为( )
C
A.5 B.6 C.7 D.8
整合3 整式乘法
6.下列计算正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
7.计算：(8分)
(1) ；
解：原式
；
(2) .
解：原式
．
整合4 乘法公式(完全平方公式、平方差公式)
8.[武汉月考] 下列计算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
9.[合肥期中] 已知：，，则 ____.
49
10.数学文化 请看杨辉三角(如图①)，并观察等式(如图②).
根据前面各式的规律，可得 ___________________
_____________________________________.
11.先化简，再求值：
，其中 .(8分)
解：原式 ，
当时， .
12.试说明 的值
和 无关.(8分)
解：因为原式 ,
所以原式的值和 无关.
整合5 因式分解
13.整体思想 将下列多项式分解因式：
(1) _____________________；
(2) __________________；
(3) _________.
14.把下列各式分解因式：(16分)
(1) ；
解：原式 ；
(2) ；
解：原式
；
(3) ;
解：原式
；
(4) .
解：原式
.
15.新课标·开放性问题 对于题目“分解因式：
”，小亮和小明有两种不同的解法如下：
(8分)
请你选择喜欢的解法完成因式分解.
解法一：拆项法：
.
解法二：先提公因式再拆项：
.(任选一种解法即可)
整合6 数学思想
16.整体思想 若,,则
的值为____.
12
17.方程思想 已知与 的乘积中不含
和的项，求， 的值.(8分)
解：根据题意，得
.
因为 与的乘积中不含和 的项，
所以，，解得， ．
18.数形结合思想 如图，A型卡片是边长为 的正方形，B型
卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为， 的
长方形.
(1)选取1张A型，2张C型，1张B型卡片可以拼成一个正方形，
请在图①的方框中画出拼得的正方形示意图(所拼的图中既
不能有缝隙，也不能有重合部分)，并完成填空：你画的正
方形面积既可以表示为______________，又可以表示为
_________，所以可得等式________________________；
解：所画正方形如图①所示.
(画法不唯一)
(2)请利用A型、B型、C型卡片若干张(每种卡片至少取1张)
拼出一个可用于计算 的长方形，并在图②
的方框中画出示意图.根据示意图，可得
_________________.(8分)
所画长方形如图②所示.
(画法不唯一)
整合7 聚焦安徽中考
19.[合肥二模] 下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
20.[安徽中考] 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数
能否表示为(， 均为自然数)”的问题.(8分)
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下( 为正整数)：
奇数 4的倍数
表示结果
… …
一般结论
按上表规律，解答下列问题：
①(___)(___) ；
② ___________________；
7
5
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， ，这些形如
(为正整数)的正整数不能表示为
(， 均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：

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