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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）第9章小结与复习第9章分式授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册第9章分式小结与复习班级：________姓名：________得分：________本章主要学习分式的概念、性质、运算及分式方程的解法与实际应用，是初中代数的重要内容，也是后续学习分式方程组、二次函数等知识的基础。本小结与复习将梳理全章核心知识点，归纳易错点，结合典型例题和练习题，帮助同学们巩固知识、提升解题能力，查漏补缺，熟练掌握分式相关的重点内容和解题技巧。一、全章核心知识点梳理（一）分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$$\frac{A}{B}$$叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。2.关键要点：①分式与整式的区别：整式的分母中不含字母，分式的分母中必须含有字母（分母不能为0）；②分式有意义的条件：分母不为0（即B≠0）；③分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0（即A=0且B≠0）；④分式无意义的条件：分母为0（即B=0）。（二）分式的基本性质1.基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用字母表示为：$$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C}$$，$$\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}$$（其中C是不等于0的整式）。2.应用：①约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分后得到的分式叫做最简分式（分子与分母没有公因式的分式）；②通分：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。通分的关键是找到几个分式的最简公分母（取各分母所有因式的最高次幂的积）。（三）分式的运算1.分式的乘除运算1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用字母表示为：$$\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}$$（B、D均不为0）；2.除法法则：分式除以分式，等于分式乘这个分式的倒数。用字母表示为：$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{A \times D}{B \times C}$$（B、C、D均不为0）；3.注意：运算结果必须化为最简分式或整式；分子、分母是多项式时，先分解因式，再约分、计算。2.分式的加减运算1.同分母分式加减：分母不变，只把分子相加减。用字母表示为：$$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B} = \frac{A \pm C}{B}$$（B≠0）；2.异分母分式加减：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式加减法则计算。用字母表示为：$$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD}$$（B、D均不为0）；3.注意：分子相加减时要加括号，避免符号错误；运算过程中及时约分，最终结果化为最简。3.分式的混合运算1.运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号）；同级运算（只有乘除或只有加减）按从左到右的顺序进行；2.关键：熟练掌握分式乘除、加减法则，灵活运用因式分解、约分、通分技巧，简化运算过程；注意符号变化和漏乘问题。（四）分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程（区别于整式方程，整式方程分母中不含未知数）。2.分式方程的解法1.基本思想：将分式方程通过去分母转化为整式方程，再解整式方程，最后验根；2.具体步骤：①去分母：在方程两边同乘所有分母的最简公分母，消去分母，转化为整式方程；②解整式方程：按照整式方程的解法求解；③验根：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则为原分式方程的解；若为0，则为增根，原分式方程无解；④答：写出原分式方程的解（或说明无解）。3.分式方程的实际应用1.基本步骤：审（审题，找出等量关系）、设（设未知数，注明单位）、列（根据等量关系列出分式方程）、解（解分式方程）、验（检验，既要检验整式方程的解是否为原分式方程的解，也要检验解是否符合实际意义）、答（写出答案，注明单位）；2.常见应用场景：行程问题、工程问题、利润与折扣问题、浓度问题等，核心是找准等量关系。二、全章易错点归纳（重点规避）1.分式有意义、无意义、值为0的条件混淆：忽略“分式值为0时，分子为0且分母不为0”，只考虑分子为0；2.分式基本性质应用错误：同乘（或除以）的整式不为0的条件遗漏，导致变形后分式的值改变；3.约分、通分错误：①约分不彻底，未约去分子、分母的所有公因式；②通分找错最简公分母（忽略分母中多项式的因式分解）；4.分式运算错误：①异分母分式加减未通分，直接分子、分母分别加减；②乘除运算中，分子、分母因式分解不彻底，导致无法约分；③混合运算顺序错误，先算加减后算乘除；5.分式方程解法错误：①去分母时，方程两边常数项漏乘最简公分母；②验根步骤省略，导致增根作为原方程的解；③未检验解是否符合实际意义（实际应用中）；6.实际应用中，等量关系找错、未知数设错，或答题时遗漏单位。三、典型例题解析（贴合考点，突破重难点）例题1：分式的概念与性质（1）下列式子中，属于分式的是（）A. $$\frac{x}{2}$$ B. $$\frac{2}{x}$$ C. $$\frac{x + 1}{3}$$ D. $$x^2 + 2$$解析：分式的分母中必须含有字母，选项A、C、D的分母均不含字母，是整式；选项B的分母含字母x，是分式。答案：B。（2）若分式$$\frac{x - 2}{x + 3}$$的值为0，求x的值。解析：分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。由分子x - 2 = 0，得x=2；检验：当x=2时，分母x + 3 = 5≠0，符合条件。故x=2。例题2：分式的运算计算：（1）$$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} \div \frac{x - 2}{x + 2}$$；（2）$$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^2 - 1}$$解析：（1）先分解因式，再进行除法运算：$$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} \div \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^2} \times \frac{x + 2}{x - 2} = 1$$（x≠±2）；（2）先通分，再进行加法运算：$$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 3}{(x - 1)(x + 1)}$$（x≠±1）。例题3：分式方程的解法解分式方程：$$\frac{3}{x - 2} = \frac{1}{x}$$解析：①去分母：方程两边同乘x(x - 2)，得3x = x - 2；②解整式方程：移项、合并同类项，得2x = -2，解得x = -1；③验根：将x = -1代入最简公分母x(x - 2) = (-1)×(-3) = 3≠0，故x = -1是原分式方程的解；④答：原分式方程的解为x = -1。例题4：分式方程的实际应用甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工3个，甲加工45个零件的时间与乙加工30个零件的时间相同，求甲、乙每小时各加工多少个零件。解析：①审题：等量关系为“甲加工45个零件的时间=乙加工30个零件的时间”；②设未知数：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工(x + 3)个零件；③列方程：$$\frac{45}{x + 3} = \frac{30}{x}$$；④解整式方程：去分母得45x = 30(x + 3)，解得x = 6；⑤验根：x = 6时，x + 3 = 9≠0，且x = 6符合实际意义；⑥答：甲每小时加工9个零件，乙每小时加工6个零件。四、复习练习题（分层巩固，查漏补缺）（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列式子中，是分式的是（）A. $$\frac{2}{3}$$ B. $$\frac{x}{x + 1}$$ C. $$\frac{x}{5}$$ D. $$3x$$2.若分式$$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$$有意义，则x的取值范围是（）A. x≠1 B. x≠-1 C. x≠±1 D.全体实数3.化简$$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$$的结果是（）A.$$\frac{x - y}{x + y}$$ B. $$\frac{x + y}{x - y}$$ C. $$\frac{(x - y)^2}{x^2 - y^2}$$ D. 14.解分式方程$$\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$$，去分母后得到的整式方程是（）A. x + 1 = 2x B.1. 分式的定义
2. 分式有意义的条件：
B≠0.
分式无意义的条件：
B＝0.
分式值为 0 的条件：
A＝0 且 B≠0.
一、分式的概念及基本性质
一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中 A 叫作分式的分子，B 叫作分式的分母.
即对于分式 ，有
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
3.分式的基本性质
(A,B,M 都是整式,且 M≠0).
4. 分式的约分
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母只有公因式 1 的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的一般步骤
(1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公因数，并约去相同字母的最低次幂；
(2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
5. 分式的通分
分式的通分的定义
化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分.
最简公分母
通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母.
二、分式的运算
1. 分式的乘除法则：
3. 分式的加减法则
(1) 同分母分式的加减法则：
(2) 异分母分式的加减法则：
4. 分式的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
三、分式方程
1. 分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
(1) 将方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程；
(2) 解这个整式方程；
(3) 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则此解是原分式方程的解，否则为增根，须舍去.
3. 分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1) 审清题意，并设出未知数；
(2) 找相等关系；
(3) 列出方程；
(4) 解这个分式方程；
(5) 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；
(6) 作答.
例1 如果分式 的值为 0，那么 x 的值为 .
【解析】根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0，列出关于 x 的方程，求出 x 的值.
由题意可得：x - 1 = 0，x + 1 ≠ 0. 解得 x = 1.
1
考点一 分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不为 0；
分式无意义的条件是分母的值为 0；
分式的值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0.
要点归纳
2. 若分式 的值为零，则 a 的值为 .
2
1. 若分式 无意义，则 x 的值为 .
-3
对应训练
整合1 分式的相关概念及分式有无意义的条件
1.[六安月考] 代数式，，，，， 中，分式
有( )
A
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列结论正确的是( )
A
A.当时，分式 有意义
B.当时，分式 有意义
C.当时，分式 的值为0
D.当时，分式 没有意义
3.下列分式：；；； ，其
中是最简分式的是______.(填序号)
4.与 的最简公分母是________.
整合2 分式的基本性质
5.若将中的与 都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值
( )
C
A.不变 B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍 D.缩小到原来的
6.下列各式变形正确的是( )
A
A. B.
C. D.
整合3 分式的运算
7.化简： ___.
8.[扬州中考] 计算： ______.
9.化简 的结果是____.
10.已知，则 __.
11.计算： .(8分)
解：原式 .
整合4 分式方程
12.分式方程 的解为______.
13.数学文化 《九章算术》是我国古代数学专著，其方程篇
中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善行者多行六十
尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者
每刻钟行 尺，则可列分式方程为__________.
【变式题】 某市需铺设一条长 的管道，为尽量减少
施工对交通造成的影响，施工时实际比原计划每天多铺设管
道 设实际每天铺设管道 ，则可得方程
，那么题中用“……”表示的缺失的条件为
______________________________.(填写文字信息)
实际用的天数比计划天数少15天
14.已知关于的分式方程 .
(1)若方程的增根为，则 的值是____；
(2)若方程有增根，则 的值是_________；
(3)若方程无解，则 的值是______________.
或
或或
15.解方程： .(8分)
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得.解得 .
经检验， 是分式方程的增根，
故原分式方程无解.
16.真实情境 斑马线前“车让人”，不
仅体现着一座城市对生命的尊重，也
直接反映了城市的文明程度.如图是
某路口的斑马线路段，其中 ，
在绿灯亮时，小明共用通过，其中通过 的速度
是通过的速度的1.5倍，求小明通过 时的速度.(8分)
解：设小明通过时的速度是 ，
根据题意,得，解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：小明通过时的速度是 .
整合5 数学思想
17.消元思想 已知， ，且
，则 的值为___.
18.整体思想 先化简，再求值： ，其中
满足 .(8分)
解：原式 .
因为，所以 .
所以原式 .
19.转化与化归思想 我们知道，假分数可以化为整数与真分
数的和的形式，例如： .在分式中，对于只含有一个
字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们
称之为“假分式”.如果为整数，分式 的值为整数，求所
有符合条件的 的值.(8分)
解：原式 ，
由为整数，分式的值为整数，得或 .
当时，解得 .
当时，解得 ，
当时，解得 ，
当时，解得 .
则所有符合条件的的值为6，0，， ．
整合6 易错题
20.若分式的值为0,则 ____.
本题易忽视分母不为0导致出错.
21.若关于的方程的解为正数，则 的取值范围
是_______________.
且
易忽略增根而出错.
整合7 聚焦安徽中考
22.[安徽中考] 若代数式有意义，则实数 的取值范围是
______.
23.[安徽中考] 先化简，再求值：，其中 .
(8分)
解： ，
当时，原式 ．

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