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沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件）第10章小结与复习第10章相交线、平行线与平移授课教师：Home .班级：七年级（*）班.时间：.沪科版七年级数学下册第10章小结与复习班级：________姓名：________得分：________本章主要围绕相交线、对顶角、邻补角、垂线、平行线的判定与性质、平移等核心内容展开，是几何入门的关键章节。本小结将梳理全章知识脉络，整合核心知识点，明确重难点与易错点，通过综合例题突破知识融合应用的难点，搭配分层复习练习题，帮助同学们系统巩固本章内容，理清知识间的内在联系，提升几何推理、作图及应用能力，为后续几何学习奠定基础。一、全章知识脉络梳理核心主线：相交线→垂线→平行线（判定→性质）→平移（从线的位置关系出发，逐步延伸到图形变换，贯穿“位置关系→数量关系”“数量关系→位置关系”的推理逻辑）1.相交线：研究两条直线相交时的角的关系（对顶角、邻补角）；2.垂线：相交线的特殊情况（垂直），掌握垂线的性质、画法及点到直线的距离；3.平行线：重点研究两条直线平行的判定方法（角推线）和性质（线推角），是本章核心；4.平移：图形变换的基础，结合平行线性质，掌握平移的定义、性质、作图及应用。二、核心知识点整合（重点必记）（一）相交线与垂线1.相交线的基本概念：①对顶角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角（如∠1与∠3），对顶角相等；②邻补角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（如∠1与∠2），邻补角互补（和为180°）。2.垂线的定义与性质：①定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°），则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足；②性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简记：垂线段最短）；④点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。3.垂线的画法：①过直线上一点画已知直线的垂线：用直角三角板，一条直角边与已知直线重合，另一条直角边过该点，沿这条直角边画直线即可；②过直线外一点画已知直线的垂线：同上，确保直角三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边过直线外的点。（二）平行线的判定与性质（核心难点）类别平行线的判定（角推线）平行线的性质（线推角）核心逻辑角的数量关系→直线的位置关系直线的位置关系→角的数量关系核心内容1.同位角相等，两直线平行；2.内错角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行；4.补充：平行于同一直线的两直线平行；同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补；4.补充：平移前后，对应线段、对应点连线平行（或共线）且相等。关键提醒先判断角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角），再结合数量关系判定平行。先明确两直线平行，再找准对应角，推导角的数量关系。（三）平移1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移（两个核心要素：方向和距离）。2.核心性质：①平移前后，图形的形状、大小不变，只改变位置；②平移前后，对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等；③平移前后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。3.平移作图步骤：定方向、定距离→找对应点→连新图形→标说明。4.应用：将不规则图形转化为规则图形，计算周长、面积；图案设计、实际物体的平移运动等。三、全章重难点突破（一）重点突破1.对顶角、邻补角的辨析与计算：牢记“对顶角相等、邻补角互补”，结合平角、直角的定义，解决角的计算问题；2.垂线的性质与点到直线的距离：掌握“垂线段最短”的应用，能准确画出垂线，区分“垂线段”与“点到直线的距离”（距离是长度，不是线段）；3.平行线的判定与性质的应用：能熟练区分判定与性质，结合“三线八角”基本图形，规范书写推理过程（注明已知、依据、结论）；4.平移作图与性质应用：掌握平移作图的规范步骤，能利用平移性质解决图形变换、面积计算问题。（二）难点突破1.平行线的判定与性质的混淆：记住核心区别——“判定是角推线，性质是线推角”，推理时先明确已知条件（是角的关系还是线的平行），再选择对应方法；2.复杂图形中角的识别：遇到多条直线相交或平行的复杂图形，先分离出“三线八角”基本图形，再找同位角、内错角、同旁内角；3.平移作图中对应点的确定：确保所有顶点的平移方向和距离完全一致，借助直尺画平行线，保证对应点所连线段平行且相等；4.综合推理题的书写：规范推理格式，每一步推理都要注明依据（如“对顶角相等”“同位角相等，两直线平行”），做到逻辑连贯、条理清晰。四、全章易错点归纳（重中之重）1.混淆对顶角与邻补角：误将邻补角当作对顶角，忽略对顶角“两边互为反向延长线”的特点，或忘记邻补角“互补”的性质；2.垂线相关易错：①忽略“同一平面内”前提，认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直；②混淆“垂线段”与“点到直线的距离”，将垂线段当作距离；3.平行线相关易错：①混淆判定与性质，推理逻辑颠倒（如用“两直线平行，同位角相等”判定两直线平行）；②只看角的数量关系，忽略角的位置关系，盲目判定平行；③应用“垂直于同一直线的两直线平行”时，忽略“同一平面内”前提；4.平移相关易错：①混淆平移与旋转，将旋转现象（如风车转动）当作平移；②平移作图时，各顶点平移方向或距离不一致；③忽略平移的两个要素（方向、距离），导致平移不唯一；5.推理书写易错：①缺少推理依据；②已知条件书写不全；③符号语言不规范，未按“已知→依据→结论”的顺序书写。五、综合例题解析（贴合考点，融合全章知识）例题1：相交线与垂线的综合应用（基础）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠BOD = 35°，求∠COE的度数。解析：结合对顶角相等、垂线的定义（∠AOE = 90°），逐步推导。解：∵直线AB与CD相交于点O（已知）∴ ∠AOC = ∠BOD = 35°（对顶角相等）∵ OE⊥AB（已知）∴ ∠AOE = 90°（垂线的定义）∵ ∠COE = ∠AOE + ∠AOC（角的和差关系）∴ ∠COE = 90°+ 35°= 125°例题2：平行线的判定与性质的综合应用（中档）如图，已知AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠AEF，∠1 = 50°，求证：∠2 = 50°。解析：先利用平行线的性质得出∠AEF与∠1的关系，再结合角平分线的定义，推导∠2的度数。证明：∵ AB∥CD（已知）∴ ∠AEF = ∠1 = 50°（两直线平行，同位角相等）∵ EG平分∠AEF（已知）∴ ∠AEG = ∠GEF = ∠AEF = 25°（角平分线的定义）又∵ AB∥CD（已知）∴ ∠2 = ∠AEG = 25°？（修正：重新推导，确保正确）修正解析：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠AEF + ∠CFE = 180°（同旁内角互补），∠1 = ∠CFE = 50°，∴ ∠AEF = 130°，EG平分∠AEF，∴ ∠GEF = 65°，在△EFG中，∠2 = 180°- ∠1 - ∠GEF = 65°（结合三角形内角和，贴合考点）。正确证明：∵ AB∥CD（已知）∴ ∠CFE = ∠1 = 50°（两直线平行，同位角相等）∠AEF + ∠CFE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）∴ ∠AEF = 180°- 50°= 130°∵ EG平分∠AEF（已知）∴ ∠GEF = ∠AEF = 65°（角平分线的定义）∵ ∠1 + ∠GEF + ∠2 = 180°（平角的定义）∴ ∠2 = 180°- 50°- 65°= 65°例题3：平移与平行线、面积的综合应用（中档）如图，将长方形ABCD沿水平向右方向平移6cm，得到长方形A'B'C'D'，已知AB = 4cm，BC = 8cm，求：（1）长方形A'B'C'D'的周长和面积；（2）对应点A与A'、C与C'所连线段的长度和位置关系；（3）线段AD与A'D'的位置关系和长度。解析：结合平移的性质、长方形的周长和面积公式，逐一求解。解：（1）∵长方形ABCD平移得到长方形A'B'C'D'（已知）∴长方形A'B'C'D' ≌长方形ABCD（平移前后，形状、大小不变）∴ A'B' = AB = 4cm，B'C' = BC = 8cm周长= 2×(A'B' + B'C') = 2×(4 + 8) = 24cm面积= A'B'×B'C' = 4×8 = 32cm ；（2）∵平移方向为水平向右，距离为6cm（已知）∴ AA'∥CC'，AA' = CC' = 6cm（平移前后，对应点所连线段平行且相等）；（3）∵平移前后，对应线段平行且相等（平移的性质）∴ AD∥A'D'，AD = A'D' = BC = 8cm。例题4：全章综合推理题（提高）如图，已知∠1 = ∠2，∠3 + ∠4 = 180°，求证：AB∥CD∥EF。解析：先利用∠1 = ∠2判定AB∥EF，再利用∠3 + ∠4 = 180°判定CD∥EF，最后结合平行传递性，证明AB∥CD∥EF。证明：∵ ∠1 = ∠2（已知）∴ AB∥EF（内错角相等，两直线平行）∵ ∠3 + ∠4 = 180°（已知），∠3 = ∠5（对顶角相等）∴ ∠5 + ∠4 = 180°（等量代换）∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴ AB∥CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）六、复习练习题（分层巩固，查漏补缺）（一）基础题（每题3分，共30分）1.下列说法正确的是（）A.对顶角互补B.邻补角相等C.垂线段最短D.同位角相等2.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线（）A.互相平行B.互相垂直C.相交D.无法确定3.下列现象中，属于平移的是（）A.钟表指针转动B.风车转动C.电梯上下运动D.荡秋千4.已知AB∥CD，∠1 = 60°（∠1与∠2是内错角），则∠2 =（）A. 60°B. 120°C. 180°D.无法确定5.过直线外一点，有且只有______条直线与已知直线垂直。6.平移的两个要素是______和______。7.两直线平行，______相等，______互补。8.直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 40°，则∠BOD = ______°，∠AOD = ______°。9.点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的______的长度。10.平行于同一条直线的两条直线______。（二）中档题（每题6分，共30分）1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，∠AOD = 130°，求∠BOE的度数。2.如图，已知∠1 = ∠3，∠2 = 120°，求证：AB∥CD，并求∠4的度数。3.将三角形ABC沿竖直向上方向平移5cm，作出平移后的三角形A'B'C'，并简要说明作图步骤。4.如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，∠AEF = 110°，求∠DFE的度数，并说明理由。5.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）两直线平行，同旁内角相等；（2）平移前后，图形的形状和大小不变，位置也不变；（3）同一平面内，不平行的两条直线一定垂直。（三）提高题（每题10分，共40分）1.如图，已知AB∥CD，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，求证：EG∥FH。2.如图，将梯形ABCD沿AD方向平移4cm，得到梯形A'B'C'D'，已知AD∥BC，AD = 6cm，BC = 9cm，高为5cm，求平移后梯形的面积和A'D'的长度。3.如图，∠1 = ∠2，∠B = ∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC。4.如图，在长方形网格中，将三角形ABC沿网格线平移，使点A平移到点A'的位置，作出平移后的三角形A'B'C'，标注平移方向和距离，并说明平移后对应线段、对应角的关系。七、参考答案与解析（一）基础题1.C 2.B 3.C 4.A 5.一6.方向，距离7.同位角（或内错角），同旁内角8.40，140 9.垂线段10.互相平行（二）中档题107.解：∵直线AB、CD相交于点O，∠AOD = 130°（已知）∴ ∠BOC = ∠AOD = 130°（对顶角相等），∠AOC = 180°- 130°= 50°（邻补角互补）∵ OE⊥CD（已知）∴ ∠EOC = 90°（垂线的定义）∴ ∠BOE = ∠BOC - ∠EOC = 130°- 90°= 40°108.证明：∵ ∠1 = ∠3（已知），∠1 = ∠2（对顶角相等）∴ ∠2 = ∠3（等量代换）∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∵ AB∥CD（已证）∴ ∠2 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）∵ ∠2 = 120°（已知）∴ ∠4 = 60°109.解：作图步骤：①确定平移方向：竖直向上，平移距离：5cm；②过点A、B、C，分别作竖直向上的线段，长度均为5cm，得到对应点A'、B'、C'；③依次连接A'、B'、C'，得到平移后的三角形A'B'C'。110.解：∠DFE = 70°；理由：∵ AB∥CD（已知）∴ ∠AEF + ∠DFE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）∵ ∠AEF = 110°（已知）∴ ∠DFE = 180°- 110°= 70°111.（1）不正确，理由：两直线平行，同旁内角互补，而非相等；（2）不正确，理由：平移前后，图形的位置改变，形状和大小不变；（3）不正确，理由：同一平面内，不平行的两条直线相交，但不一定垂直。（三）提高题114.证明：∵ AB∥CD（已知）∴ ∠AEF = ∠DFE（两直线平行，内错角相等）∵ EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（已知）∴ ∠GEF = ∠AEF，∠HFE = ∠DFE（角平分线的定义）∴ ∠GEF = ∠HFE（等量代换）∴ EG∥FH（内错角相等，两直线平行）115.解：①平移后梯形A'B'C'D'的面积=原梯形ABCD的面积（平移前后，面积不变）原梯形面积=（AD + BC）×高÷2 =（6 + 9）×5÷2 = 37.5cm ∴平移后梯形面积= 37.5cm ；②∵沿AD方向平移4cm（已知）∴ A'D' = AD = 6cm（平移前后，对应线段相等）。116.证明：∵ ∠1 = ∠2（已知）∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∴ ∠B + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）∵ ∠B = ∠D（已知）∴ ∠D + ∠BCD = 180°（等量代换）∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）117.解：作图步骤：①确定平移方向：观察点A到A'的方向（如向右3格、向下2格），平移距离为对应格数；②过点B、C，分别沿相同方向平移相同格数，得到对应点B'、C'；③依次连接A'、B'、C'，标注平移方向（如“向右3格，向下2格”）；平移后关系：对应线段平行且相等（AB∥A'B'，AB = A'B'等），对应角相等（∠A = ∠A'等）。一、对顶角
两个角有_________，并且两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫做对顶角.
对顶角的性质：____________.
A
O
C
B
D
1
3
2
4
公共顶点
反向延长线
对顶角相等
二、垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_____时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的______，它们的交点叫______.
1. 垂线的定义
2. 平面内过一点，_________一条直线垂直于已知直线.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的_____，叫做点到
直线的距离.
3. 在连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，
_______最短.
有且只有
垂线段
长度
直角
垂线
垂足
同位角、内错角、同旁内角的结构特征：
同位角 “F”型
内错角 “Z”型
同旁内角 “U”型
三、同位角、内错角、同旁内角
三线八角
四、平行线
1. 在同一平面内，_______的两条直线叫做平行线.
3. 平行于同一条直线的两条直线______.
2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行.
4. 平行线的判定与性质：
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
不相交
有且只有
平行
五、平移
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
2. 平移的性质：
(1) 平移前后的图形的形状和大小完全相同；
(2) 对应线段平行(或在同一条直线上)且相等.
整合1 相交线
1.下列选项中，和 是对顶角的是( )
B
A. B. C. D.
2.如图，直线，交于点，于点 .若
，则 的度数为_____.
3.如图是由小正方形组成的网格.(12分)
(1)利用网格画图：过点画 的垂线，
垂足为 ；
解：如图所示.
(2)线段的长度是点 到直线____的距
离；
(3)若连接，，则在线段， ，
中，线段____最短.
整合2 三线八角
4.如图，，与交于点，，
与交于点，那么下列说法中： 和
是同位角；和 是同位角；
和是内错角；和 是
同旁内角；和是内错角；和 是同
旁内角.正确的是_________.(填序号)
整合3 平行线的性质与判定
5.如图，下列说法中，不正确的是( )
A
(第5题)
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
(第6题)
6.[合肥模拟] 如图， ，
，则 的度数为( )
A
A. B.
C. D.
7.真实情境 小明一家到哈尔滨观赏冰雕，小明从某个角度发
现一座冰雕(图①)中隐藏着数学问题，建立模型如图②所示，
直线，点在直线上，点在直线上， 平分
，交于点，若 ，则 的度数为
_____.
8.如图，有下列三个条件： ；
； .从中任选两个作为条
件，另一个作为结论，共可编出几道数学题？
并试说明其中的一道数学题.(8分)
解：共可编出3道数学题.分别如下：
①已知， ，
试说明： .
②已知， ，试说明：
.
③已知，，试说明： .
选择①，因为，所以 .
因为，所以 ，所以
，
所以 ［说明的题目不唯一，选择
②③也可］
整合4 平移
9.将三角形平移得到三角形，连接， ，
，下列结论中，不一定成立的是( )
D
A.或与 在同一条直线上
B.或与 在同一条直线上
C.
D.
10.如图，将三角形沿 方向平移
得到三角形.连接 ，若
，，则 的长
为( )
C
A. B. C. D.
11.如图，有一块长为、宽为
的长方形草坪，其中有三条直道将草坪
分为六块，则分成的六块草坪的总面积
是_____ .
880
整合5 数学思想
12.转化思想 如图，在五边形中， ，
， ，则 的度数是______.
13.分类讨论思想 平面内 ，的一边与 的一边
平行，另一边与的另一边垂直，则 ____________.
或
14.归纳思想 如图，已知，BE、的交点为 ，现
进行如下操作：第一次操作，分别作和 的平分
线，交点为，第二次操作，分别作和 的平
分线，交点为，第三次操作，分别作和 的
平分线，交点为， ，第 次操作，分别作
和的平分线，交点为 .#1
(1)若 ，则 _____；
(2)若 ，则 _ __.
整合6 易错题
15.已知与是同旁内角，若 ，则 的度数为
( )
D
A. B. C. 或 D.不能确定
本题易因误用平行线的性质而出错.
整合7 聚焦安徽中考
16.[安徽中考] 两个直角三角尺如图摆放，
其中 ， ，
，与交于点.若 ，
则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
17.[六安三模节选] 如图，在由边长为1个单位的小正方形组
成的网格中，给出了格点三角形 (顶点是网格线的交点).
将三角形 先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得
到三角形，请画出三角形 .(8分)
解：如图，三角形 即为
所求.

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