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安徽省宿城第一初级中学2025-2026学年上学期九年级期中测试
数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2，试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（ ）．
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．下列描述正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形一定是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．菱形和矩形邻边都相等
4．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
5．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，则的长为（ ）
A．4cm B．10cm C．15cm D．9cm
7．如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
8．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形的边长为8，为的对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连接分别交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
12．在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有 个．
13．如图，两根竖直的电线杆AB长为12m，CD长为4m，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是 m．
14．在数学实践活动中，聪聪同学进行了如下操作：如图，将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为 ，打开后再将纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕，延长交于点.请完成下列探究：
(1)若四边形是正方形, 则的大小为 ;
(2)当时，的值为 .
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：．
16．如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点．求证：四边形是菱形；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形

(1)在图中标出点的位置并写出点的坐标
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的位似比为．
18．如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．
(1)求证：；
(2)若的面积为2，求的面积
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：．
（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
20．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
六、（本题满分12分）
21．在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题：
(1)这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度；
(2)补全条形统计图；
(3)社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率．
七、（本题满分12分）
22．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升. 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．
某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．
(1) 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
(2) 为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
八、（本题满分14分）
23．如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．
安徽省宿城第一初级中学2025-2026学年上学期九年级期中测试
数学试卷参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．B．
2．D
3．B．
4．C.
5．A．
6．C．
7．C．
8．D．
9．A
10．B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．.
12．12个．
13．3．
14．(1) 30°; (2)
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解： ，
，
或，
所以，．
16．证明：，，
四边形是平行四边形，
，是边的中点．
，
四边形是菱形；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（1）解：点的位置，如图所示，由图可知：；

（2）如图，即为所求．
18．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解：，，
，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）观察图形，得出
第1个图案中，“▲”的个数为；
第2个图案中，“▲”的个数为；
第3个图案中，“▲”的个数为；
第4个图案中，“▲”的个数为；
以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，
第2个图案中，“★”的个数可表示为，
第3个图案中，“★”的个数可表示为，
…，
第n个图案中，“★”的个数可表示为；
（3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4
∴
∴
解得
∴n的值为2或7
20．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE与△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE与△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
六、（本题满分12分）
21．（1）解：（人）；
；
故答案为：200，144；
（2）软件的人数为：（人）；
补全条形图如图：
（3）由题意，列表如下：
A A A B
A A，A A，A A，B
A A，A A，A A，B
A A，A A，A A，B
B B，A B，A B，A
共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种，
故.
七、（本题满分12分）
22．（1）解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
整理得， ，
解得：(不符合题意，舍去)；
答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵要尽量让利于顾客，
，
所以下调后每辆汽车的售价为万元，
答：下调后每辆汽车的售价为万元．
八、（本题满分14分）
23．（1）解：四边形为矩形，
，
，
于点，
，
，
，
，
，，
，
解得；
（2）证明：作，延长交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，
，，
，
，，，
，，
，
，解得，
，
，
设，，
有，
解得，
，
，，
，
，
，
，
E为中点，
，
，
，解得．
故答案为：．

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