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专题04 三角形的性质与判定
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边长为，然后再利用三边关系列出不等式组，进而可得答案．
【详解】解：∵，，是某三角形的三边长，
∴，
即：，
∴可取的最大整数为
故选：C．
2．（本题3分）如图，在四边形内部，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形和四边形内角和，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据三角形内角和定理得到，然后根据四边形内角和求解即可．
【详解】∵
∴
∵，
∴．
故选：B．
3．（本题3分）下面说法正确的个数有（　　）
①若m＞n，则ma2＞na2；
②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；
③如果△ABC的三个内角满足∠A＝∠C﹣∠B，那么△ABC一定是直角三角形；
④任意的多边形的外角和都等于360°；
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用不等式的性质、三角形的定义、直角三角形的判定、多边形的外角和定理及钝角三角形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①若m＞n，则ma2＞na2，当a＝0时，错误；
②由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次相接所组成的图形叫做三角形，故错误；
③如果△ABC的三个内角满足∠A＝∠C﹣∠B，那么△ABC一定是直角三角形，正确；
④任意的多边形的外角和都等于360°，正确．
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故错误，
综上所述正确的有③④共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、三角形的定义、直角三角形的判定、多边形的外角和定理及钝角三角形的定义等知识，难度不大．
4．（本题3分）如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由，可得，再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
若，又，，
∴，
∴，则原命题是真命题，故选项A不符合题意；
若，∴，又，，
∴，
∴，则原命题是真命题，故选项B不符合题意；
若，又，，
不能证明与全等，则与不一定相等，
则原命题是假命题，故选项C符合题意；
若，又，，
∴，
∴，
∵，
∴，则原命题是真命题，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．（本题3分）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到，由三角形外角的性质即可求解．由，得到，由三角形外角的性质得到．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C
6．（本题3分）如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶角在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，等边三角形的性质，过点作于点，由等边三角形的性质得，，再由勾股定理得，，得出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵等边三角形的顶角在反比例函数的图象上，
∴，
故选：．
7．（本题3分）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】D
【分析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断．
【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
故选：D．
8．（本题3分）如图，已知点E在线段上，，．连接，设，下面三个结论：①；②；③ ，正确结论的序号是（ ）
A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，先由全等三角形的性质得到，，再证明，利用勾股定理即可判断①；过点C作于F，则四边形是矩形，可得，则，由，即可判断②；根据，得到，则，即可判断③．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
∴，即，故①正确；
如图所示，过点C作于F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
故选D．
9．（本题3分）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
10．（本题3分）如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意条件可证得，结合全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，则，故①正确；过点A作，垂足为点H，通过条件证得，，再通过条件证得，结合对应边相等可得到，从而说明②③正确；通过边长的等量关系能推出，最后说明，故能说明④错误．
【详解】解：∵由题可知，，，
∴，，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
即，故①正确；
如图，过点A作，垂足为点H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则，故④错误；
故选C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形性质与判定，锐角三角函数的应用等知识，综合运用相关知识，采用数形结合的方法是解题关键．
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）如图，，，，则
【答案】140
【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，然后根据三角形内角和为即可解答．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：140 ．
12．（本题3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O 为的中点，测得，则零件内径的宽度 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意易证明，则．
【详解】解：∵O 为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（本题3分）如图，在等腰三角形中，，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握等腰等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，由作图可得垂直平分线，则有，所以，再根据，即可求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，，
∴，
根据作图可得，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
14．（本题3分）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质．由角平分线的定义得，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得，，然后即可求得结论．解题的关键是证明，．
【详解】解：∵和的平分线交于点，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴线段的长为．
故答案为：．
15．（本题3分）阅读作图过程，并解答问题：
①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点；
②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线．
如图，已知，点为射线上一点，过点作于点，点在边上，连接，若，当的长取最小值时，的面积为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可知，再利用角平分线的性质及垂线段最短即可解答．
【详解】解：由作图可知是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
当时，的值最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线的定义及性质是解题的关键．
16．（本题3分）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，延长至点G，使，连接、、，根据可证明，得出，则，故当D、E、G三点共线时，取最小值为，然后根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解∶延长至点G，使，连接、、，
∵正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当D、E、G三点共线时，取最小值为，
在边长为5的正方形中，，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
17．（本题3分）已知如图，在中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，过作于，通过证明，依此即可求解，熟练掌握相关定理，证明全等三角形，将阴影面积转化为是解题的关键．
【详解】解：过作于，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
同理：，，
∴，
∴
，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．（本题3分）如图，矩形纸片中，，，点、点分别是边、上的一个动点，将沿折叠，使顶点落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点落在射线上的点处，下列结论：①；②若，则；③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或．其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】由折叠得，得，即可证明①正确；证明，得出，即可求出，证明②正确；当点与重合时，在中，利用勾股定理求出，即可证明③正确；若是以为腰的等腰三角形，分两种情况∶时和时，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可证明④正确．
【详解】解：由折叠得，，
∵
∴，即，故①正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴,
∴，
若，
∵，，
∴，,
∴，
∴，
∴，故②正确；
设，则，
当点与重合时，，
在中，，即，
∴故③正确；
若是以为腰的等腰三角形，且时，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
若是以为腰的等腰三角形，且时，
设，则，
在中，，即，
，故④正确；
故答案为∶①②③④．
【点睛】本题提考查了折叠问题，矩形性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识点的应用是本题的解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且．
(1)求证：；
(2)连接，若平分，，求平行四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键：
（1）根据平行四边形的性质，结合，证明即可；
（2）全等的性质得到，角平分线结合平行线的性质，推出，进而求出的长，再根据平行四边形的对边相等，求出周长即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴（）
（2）∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长．
20．（本题6分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长和面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的周长是，面积是．
【分析】（1）根据菱形的性质，得到， ，再根据作图得到，证明四边形是平行四边形即可得到；
（2）根据菱形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而求得的三边长即可求解．
本题考查了菱形的性质，平行四边形判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，即，
∵以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长，
．
21．（本题8分）如图，四边形是平行四边形，对角线平分，过点作交其延长线于点，过点作于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，得，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出，，进而利用直角三角形的性质及平行线的性质得，从而得，又求得，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵平分，
，
∴，
是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、勾股定理，度直角三角形的性质；熟练掌握菱形判定与性质是解决问题的关键．
22．（本题8分）如图，在中，，分别垂直对角线于点，．

(1)求证：；
(2)若的周长为，，过点作于点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质推得后可证，由全等三角形的性质即可得证；
（2）由题意可得，利用勾股定理及含的直角三角形特征求得、，再用解直角三角形求出并推得、，由平行四边形性质推得，并用勾股定理求出后即可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别垂直对角线于点、，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，，，
，
在中 ，，
，
在中，，
，，
的周长为，
，
，
中，，
．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形的特征、解直角三角形，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定．
23．（本题9分）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进．
(1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离；
(2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，）
【答案】(1)B点与糖所在位置C点之间的距离为
(2)蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角的应用，勾股定理的应用，根据题意正确找出直角三角形利用三角函数进行解题即可．
（1）记正北方向为，与交于点M，利用正弦求出的长，即可得出结果；
（2）过点C作与点N，根据题意可得，再根据含角的直角三角形特征求出的长，再根据勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）解：记正北方向为，与交于点M，
由题意可知：中，，，
，
，
在中，，，
，
，
答：B点与糖所在位置C点之间的距离为；
（2）如图，过点C作与点N，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
答：蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为．
24．（本题9分）如图，平行四边形，，分别是，的中点，，连接交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作于点，交于点．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质结合已知可得四边形是平行四边形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可得证四边形是菱形；
（2）利用菱形的性质，判断为等边三角形，从而求得，在中，利用特殊角，求出，进而求出线段的长．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴
∵，分别是，的中点，，
∴，则
又∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形；
∴，
∴，
∵，
，
，，
，
在中，，，
∴
，
在中，，，
，
＝，
为等边三角形，
，为的中点，
又
是等边三角形，
，
的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定与性质、直角三角形的斜边中线与斜边的关系、等边三角形的性质和判定，利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半是求解的关键．
25．（本题10分）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到；
（2）根据，求得的长度，从而得出长度；
（3）根据题意得出四边形是正方形，根据折叠的性质，设，则，，则，，在中，勾股定理可得，根据得出，，进而得出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴设，则，
∵折叠，
∴，
设，则，，
在中，
即，
∴
∴，即，
∴，，
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
26．（本题10分）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的解析式为：；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况点为直角顶点；点为直角顶点；点为直角顶点分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：点，，
，，
，
，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，
直线经过点和，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为：，
二次函数，
设点，则，
，
当时，的最大值为，
点的坐标为，
；
（3）解：存在，
，
对称轴为直线，
设，分三种情况：
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，
解得：或，
或，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、解二元一次方程、解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法和分类讨论的思想是解答本题的关键．
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专题04 三角形的性质与判定
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（本题3分）如图，在四边形内部，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下面说法正确的个数有（　　）
①若m＞n，则ma2＞na2；
②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；
③如果△ABC的三个内角满足∠A＝∠C﹣∠B，那么△ABC一定是直角三角形；
④任意的多边形的外角和都等于360°；
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（本题3分）如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（本题3分）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（　　）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶角在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
8．（本题3分）如图，已知点E在线段上，，．连接，设，下面三个结论：①；②；③ ，正确结论的序号是（ ）
A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③
9．（本题3分）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）如图，，，，则
12．（本题3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O 为的中点，测得，则零件内径的宽度 ．
13．（本题3分）如图，在等腰三角形中，，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数为 ．
14．（本题3分）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ．
15．（本题3分）阅读作图过程，并解答问题：
①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点；
②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线．
如图，已知，点为射线上一点，过点作于点，点在边上，连接，若，当的长取最小值时，的面积为 ．
16．（本题3分）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ．
17．（本题3分）已知如图，在中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为 ．
18．（本题3分）如图，矩形纸片中，，，点、点分别是边、上的一个动点，将沿折叠，使顶点落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点落在射线上的点处，下列结论：①；②若，则；③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或．其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且．
(1)求证：；
(2)连接，若平分，，求平行四边形的周长．
20．（本题6分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长和面积．
21．（本题8分）如图，四边形是平行四边形，对角线平分，过点作交其延长线于点，过点作于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的值．
22．（本题8分）如图，在中，，分别垂直对角线于点，．

(1)求证：；
(2)若的周长为，，过点作于点，，求的长．
23．（本题9分）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进．
(1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离；
(2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，）
24．（本题9分）如图，平行四边形，，分别是，的中点，，连接交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作于点，交于点．若，，求的长．
25．（本题10分）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由．
26．（本题10分）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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