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2026年兰州市初中学业水平考试模拟试卷
数学(四)
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“微信支付”是人们普遍使用的一种支付方式．若转入8元记作+8元，那么转出6元记作（　　）
A．﹣6元 B．+6元 C．元 D．±6元
2．北斗系统是由GEO卫星、IGSO卫星和MEO卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统，其中，MEO卫星的轨道高度约为21500000米，将21500000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．21.5×106 D．215×105
3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝160°，∠2＝30°，则∠3为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为（　　）
A． B． C． D．
5．司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将⊙O八等分（图2中的点A﹣H为八个等分点），连接AD、AH、DG，AH与DG的延长线交于点P，则∠P的度数为（　　）
A．60° B．50° C．45° D．30°
6．若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判定
7．已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数图象的一个交点坐标为（2，b），则其另一个交点的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
8．【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因BB，bB，Bb均为双眼皮．【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（　　）
A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个
B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个
C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个
D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个
10．如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
11．如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随AC的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（　　）
A．42 B．46 C．48 D．50
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．分解因式：9﹣m2＝　　 ．
13．某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：2：1：2：3对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为　　 ．
14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将△BCD沿射线BD平移得△EGF（BE＜BD），连接AE，AF，当△AEF是直角三角形时，平移的距离BE的长度为 　　．
15．清代数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对宋代数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的高，则．当AB＝15，BC＝14，AC＝13时，线段BD的长为 　　 ．
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）化简：（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣y）2．
17．（5分）解方程组．
18．（5分）解不等式组：．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，且点Q在点B的右边，请求出Q点坐标．
20．（7分）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是37°，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是60°．楼底点D与点A，B共线，且CD⊥AB，求黄河楼CD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
（7分）【发现问题】近年来，我国无人机技术发展迅猛，新型号无人机不断面世．某科研单位为保障某种型号无人机能安全投产，现针对该种型号无人机的降落情况进行测试．一架该型号无人机在跑道端点处着陆后，相关滑行数据如下表：
滑行时间t（s） 0 1 2 3 4 …
滑行速度v（m/s） 60 56 52 48 44 …
滑行距离y（m） 0 58 112 162 208 …
【提出问题】这架该型号无人机在跑道端点处着陆后，滑行的速度v（单位：m/s）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系和滑行的距离y（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系是不同的．
【分析问题】科研人员在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，如图1，图2所示，据此猜想了函数关系，并进行了验证．
【解决问题】（1）请直接写出这两个函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）若该无人机在跑道端点处着陆后，当滑行400m时，求此时无人机的滑行速度；
（3）求该无人机在着陆的过程中，以不大于20m/s的速度滑行直至停止，一共滑行了多少米？
22．（7分）以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，取AB，BC中点D，E，将△ABC沿DE剪开，得到四边形ACED和△DEB，将△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG．
【操作发现】（1）若FG交BC于点M，求证：MF＝ME．
【深入探索】（2）在（1）的条件下，同学们发现将△DEB旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．①如图1，若FG∥AD，求MF的长；
②如图2，若A，F，G三点共线，求MF的长．
【拓展延伸】（3）在△DFG旋转的过程中，请直接写出△CFG面积的最大值．
23．（7分）某超市计划采购一批荔枝．现从甲和乙两个产地的荔枝中，各随机抽取10颗，测量单果质量，将测量的数据制成如下统计图：
统计量产地 平均数 中位数 众数
甲 25.3 25 b
乙 m a 24
解答下列问题：
（1）填空：m＝ 　　 ，a＝ 　　 ，b＝ 　　 ；
（2）测量数据的方差越小，荔枝的大小越匀称，可以判断 　　 产地的荔枝更为匀称；
（3）若规定质量不低于25克的为大果，超市购进两箱甲产地的荔枝，净重101.2千克，请你估计其中大果的数量．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB边上，⊙O与BC相切于点D，与AB相交于A，E两点，连接AD，DE．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BE＝5，tan∠BAD，求⊙O的半径．
25．（8分）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．
【动手操作】如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展开纸片，得到折痕MN；过点M，C折叠纸片，使点B落在点B′处；再沿过点C的直线折叠纸片使得CD与CB′重合，折痕交AD于点E．求知小组的同学们通过观察猜测E是AD的三等分点，并进行证明，过程如下：
设AD＝AB＝x，DE＝y，则，B′E＝DE＝y．
∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠B＝∠D＝90°．
由折叠的性质，得∠CB′M＝∠B＝90°，∠CB′E＝∠D＝90°，
∴∠MB′E＝∠CB′M+∠CB′E＝180°，即M，B′，E三点在同一条直线上
在Rt△AEM中，AM2+AE2＝EM2，可列方程①　　 ，整理，得x＝　②．
∴AD＝3DE，即E是AD的三等分点．
（1）请将上述过程补充完整：①　　 ；②　 ；
【深入探究】乐学小组尝试了另一种折叠方法，如图2，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展开纸片，得到折痕MN；折叠纸片，使点C与点M重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，点D的对应点为D′，MD′交AD于点G．
（2）判断点G是否为AD的三等分点，并说明理由．
【拓展延伸】善思小组继续探究，如图3，将正方形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在点B′处，折痕交边AB于点E；再沿过点C的直线折叠，使CD与CB′重合，折痕交边AD于点F，将△AEF沿EF折叠，得到△PEF．
（3）若正方形ABCD的边长为6，当点P落在△CEF的边上时，请直接写出BE的长．
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB．给出如下定义：若存在点C，使得直线AC与⊙O有且仅有一个公共点，并且∠ACB＝α，则称点C为弦AB的“α伴随点”．
（1）已知点A的坐标为（0，1），B的坐标为（0，﹣1），在点，C2（2，1），中，点 是弦AB的“60°伴随点”；
（2）若弦AB的长度为，且存在唯一的点D为弦AB的“α伴随点”，直接写出α的取值范围；
（3）已知直线l：y＝﹣x+m与x轴交于点N，与y轴交于点M，若⊙O上存在弦，使得线段MN上总存在弦EF的“45°伴随点”，直接写出m的取值范围．
2026年兰州市初中学业水平考试模拟试卷
数学(四)
A 2. B 3. D 4. A 5. C 6. B 7. D 8. B 9. A 10. A 11.C
12．（3+m）（3﹣m）
13．8
14．或
15．9
16．解：原式＝x2﹣9y2﹣（x2﹣2xy+y2）
＝x2﹣9y2﹣x2+2xy﹣y2
＝2xy﹣10y2．
17．解：，②×2得：2x+4y＝16③，
①+③得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入②，得2+2y＝8，
解得：y＝3，
∴方程组的解为．
18．解：，由①得：3x﹣x＞﹣3﹣1，
2x＞﹣4，
x＞﹣2．
由②得：3（x﹣1）＞2x，
3x﹣3＞2x，
3x﹣2x＞3，
x＞3，
∴不等式组的解集是x＞3．
19．解：（1）由条件可得，
解得m＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y，
把B（1，n）代入中，得出，
∴B（1，﹣6），
则把A（﹣6，1）和B（1，﹣6）分别代入y＝kx+b得出，
解得，
∴y＝﹣x﹣5；
（2）由（1）得出设点Q的坐标为，如图：点Q在点B的右边时，
∵△QAB的面积为21，A（﹣6，1）和B（1，﹣6），
∴，
整理得，
解得q＝3（负值已舍去），经检验q＝3是原方程的解，∴Q点坐标为（3，﹣2）．
20．解：由题意得：∠CBD＝60°，∠CAD＝37°，AB＝71.3米，
设BD＝x米，则AD＝AB+BD＝（x+71.3）米，
在Rt△CDB中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD tan60°＝x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD tan37°≈0.75（x+71.3）米，
∴x＝0.75（x+71.3），
解得：x≈56.29，
∴CD＝x≈95.7（米），
∴黄河楼CD的高约为95.7米．
21．解：（1）由图象可知，滑行的速度v（单位：m/s）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系是一次函数，设v＝mt+n，把（0，60），（1，56）代入解析式得：，
解得，
∴v＝60﹣4t，当t＝2时，v＝60﹣4×2＝52；
当t＝3时，v＝60﹣4×3＝48；
当t＝4时，v＝60﹣4×4＝44．
∴滑行的速度v（单位：m/s）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系为v＝60﹣4t；
由图象可知，滑行的距离y（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系二次函数，
设y＝ax2+bx+c，
把（0，0），（1，58），（2，112）代入解析式得：，
解得，∴y＝﹣2t2+60t，当t＝3时，y＝﹣2×9+60×3＝162；
当t＝4时，y＝﹣2×16+60×4＝208；
∴滑行的距离y（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）之间满足的函数关系为y＝﹣2t2+60t；
（2）当 y＝400 时，400＝﹣2t2+60t，解得t＝10，t2＝20，
∵y＝﹣2t2+60t＝﹣2（t﹣15）2+450，
∴当t＝15时，y最大，即飞机滑行15秒停止，
所以t2＝20不合题意，舍去，
∴当t＝10时，v＝60﹣4t＝60﹣40＝20，∴无人机的滑行速度为20米/秒；
（3）当v≤20时，60﹣4t≤20，t≥10，即滑行10s后直至停止的速度都不大于20，
由y＝﹣2t2+60t知，当t＝15时，飞机最远滑行了450米，当t＝10时，飞机最远滑行了400米，
∴当10≤t≤15时，飞机一共滑行了50米．
22．（1）证明：如1，连接DM．
∵∠C＝90°，取AB，BC中点D，E，∴DE∥AC，
∴∠DEB＝∠C＝90°．
∵C，E，B三点共线，∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝90°．
∵△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG，∴DF＝DE，∠DFG＝∠DEB＝90°，
∴∠DFG＝∠DEC＝90°．
在Rt△DFM和Rt△DEM中，∵
∴Rt△DFM≌Rt△DEM（HL），∴MF＝ME．
（2）解：①如图，记DG交BC于点O．
∵AC＝6，BC＝8，取AB，BC中点D，E，
∴，．
在Rt△DEB中，由勾股定理，得．
∵△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG，
∴DG＝DB＝5，∠DGF＝∠B．
∵FG∥AD，∴∠DGF＝∠BDG，∠BMG＝∠B，
∴∠DGF＝∠BMG，∠BDG＝∠B，∴OD＝OB，OG＝OM，
∴MB＝MO+OB＝OD+OG＝DG＝5，
∴MF＝ME＝MB﹣EB＝5﹣4＝1．
②∵△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG，
∴DG＝DB＝5，∠DGF＝∠B．∵AD＝DB，∴AD＝DG．
∵A，F，G三点共线，∴∠DGF＝∠DAG，∴∠B＝∠DAG，
∴MA＝MB．设MA＝MB＝x，
在Rt△ACM中，由勾股定理，得MA2＝AC2+MC2，
则x2＝62+（8﹣x）2，
解得，∴MF＝ME＝MB﹣EB．
（3）解：如图，过C作CN⊥FG于点N，
∵FG＝BE＝4，为定值，∴当FG上的高线CN最大时，则△CFG面积最大，
即求出C到FG的最大距离即可，
∵CN≤CF，
当点N和点F重合时，且△DFG旋转到AB外侧时，此时CN最大，
∵DF⊥FG，∴此时C、D、F三点共线，
即CN＝CF＝CD+DF＝5+3＝8，
∴S△CFGFG CN16，即△CFG面积最大值为16．
23．解：（1）m25.3，
对乙的10个数据进行排序为：24，24，24，24，25，25，26，26，27，28，
所以，中位数为a25，
通过观察甲的数据可知25出现的次数最多，故众数b＝25，
故答案为：25.3，25，25；
（2）由统计图可知，甲的波动比乙小，所以甲产地的荔枝更为匀称；
故答案为：甲；
（3）101.2×1000÷25.33200（个），答：估计其中大果的数量约3200个．
24．（1）证明：连接OD，
∵BC与圆O相切于点D，∴∠ODB＝90°＝∠C，
∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；
（2）解：由（1）可知∠BAD＝∠CAD，∴tan∠BAD＝tan∠CAD，∴，
设CD＝2a，则AC＝4a，
∴AD2a，∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∴tan∠BAD，∴DEa，∴AE5a，
∴ODa，
∵OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，
∴，即，
解得a＝3，∴r＝ODa，答：⊙O的半径为．
25．解：（1）可列方程①：，
②整理方程如下：，
，
x2＝3xy，
x＝3y，故答案为：，3y；
（2）点G是AD的三等分点．理由如下：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠A＝∠B＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠可得：，CF＝MF，∠FMD′＝∠C＝90°，
设AB＝2x，BF＝y，则BM＝AM＝x，
则BC＝AD＝AB＝2x，CF＝MF＝BC﹣BF＝2x﹣y，
∵BM2+BF2＝MF2，∴x2+y2＝（2x﹣y）2，
∴，
∴，
∵∠FMD′＝∠C＝∠A＝90°，
∴∠AMG+∠BMF＝∠AMG+∠AGM＝90°．
∴∠BMF＝∠AGM，∴，
∴，
∴．∴，即点G是AD的三等分点；
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝6，
分情况讨论：①如图1，当点P落在CF边上时，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠PFE＝∠PFD＝60°，
∴，∴，
∴，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣（66）＝12﹣6；
②如图2，当点P落在CE边上时，如图：
由折叠的性质得：∠AEF＝∠PEF＝∠BEP＝60°，
∵BC＝6，
∴；综上所述，BE的长为或．
26．解：（1）∵点，
∴由坐标知，点C1，C2，C3在过点A且平行于x轴的直线上，且，，
∵点A的坐标为 （0，1），B的坐标为（0，﹣1），∴AB＝2，
在Rt△ABC1中，，则∠AC1B＝60°；
同理得∠AC3B＝60°，∠AC2B＝30°，∵∠AC1B＝∠AC3B＝60°，且AC1是圆的切线，
∴C1，C3是弦AB的“60°伴随点”，而点C2则不是弦AB的“60°伴随点”；故答案为：C1，C3；
（2）如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，过点B作BE⊥AD于点E，
∵OA＝OB＝1，OF⊥AB，∴，
∴，∴∠FAO＝30°，
∵点D为弦AB的“α伴随点”，∴OA⊥AD，∠ADB＝α，∴∠BAD＝60°，
当点D在AB的右边，根据三角形外角的性质可得，∠ADB＜∠BAD＝60°，当点D在AB的左边，根据三角形内角和定理可得，∠ADB＜180°﹣60°＝120°，
∵存在唯一的点D为弦AB的“α伴随点”，∴60°≤α＜120°；
（3）如图，当M，N分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上时，连接OE，OF，OC，
∵OE＝OF＝1，OE2+OF2＝2＝EF2，∴∠EOF＝90°，∠OEF＝45°，
∵点C为弦EF的45°伴随点”，
∴∠ECF＝45°，OE⊥EC，
∴∠FEC＝∠OEC﹣∠OEF＝45°，
∴∠FEC＝∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝90°，EF＝CF；
由勾股定理得，
在Rt△OEC 中，由勾股定理得：，
则伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆；
设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接GD，直线PH与直线DG平行且与此圆相切，则，，当MN与DG重合时，把点D坐标代入，即；
∵直线PH∥DG，且与圆相切，∠OHP＝∠OPH＝45°，
∴点O到切线的距离为，OP＝OH，∴，∴，即，
当线段MN与直线PH重合时，把点H的坐标代入，即；
当线段MN位于直线PH与直线DG间时满足题意，此时，
由对称性，当M，N分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围为；
综上，m的取值范围为：或．

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