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2026年数学中考一模“定心丸”试题03卷
一、单选题
1．下列是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算结果正确的是（　　）
A．a8÷a4=a2 B．a2 a3=a6
C．（a3）2=a6 D．（﹣2a2）3=8a6
3．下列说法不正确的是（　　）
A．相反数等于本身的数只有0
B．绝对值等于本身的数只有0
C．用一个平面去截正方体得到的截面可能是三角形；四边形；五边形或六边形．
D．圆锥的表面展开图中扇形的弧长等于圆的周长
4．下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
5．如图，点、分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为4，则菱形的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
6．某校有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这21名同学成绩的（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最高分
7．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（　　）
A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分
9．某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡.它们的使用寿命如下表所示：
使用寿命x/小时 600≤x≤1000 1000≤x≤1400 1400≤x≤1800
灯泡数/个 30 30 40
这批灯泡的平均使用寿命是（　　）
A．1120小时 B．1240小时 C．1360小时 D．1480小时
10．在2021年的生物操作模拟考试中，甲、乙、丙、丁四个班级的平均分相同，方差分别为： ， ， ， ，则四个班体考成绩最稳定的是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
二、填空题
11．在方程3x－ y＝5中，用含x的代数式表示y为　 　.
12．某组数据按从小到大的顺序如下：2、4、8、x、10、14，已知这组数据的中位数是9，则这组数据的众数是　 　.
13．为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记录如下表：
项目名称组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 59 63 61 57
石子落在阴影内的次数 19 20 19 22
请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是　 　平方米．
14．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参赛人数 平均字数 中位数 方差
甲 55 135 149 191
乙 55 135 151 110
某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大，上述结论正确的是　 　．
15．方程x2＝2x的解是　 　.
三、解答题
16．某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 81 74 85
丙 79 83 91
如果研究报告、小组展示和答辩按照 的权重确定各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
四、复合题
17．如图，在四边形中，，，平分，点P是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
18．在物理学上有一个著名的随机实验叫做伽尔顿板实验，如图在一块垂直的木板上分三层钉了6个铁钉，小球从入口处投入，每层都会碰到铁钉后等可能的向左或向右偏转下落，最后落入底部、、、共4个竖直的管道中．
（1）小球从入口处投入，碰到②号铁钉的概率是　 　；
（2）小球从入口处投入，求小球落入管道的概率．（请用“画材状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α.
（1）如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是　 　；
（2）如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由.
20．为加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案．
【方案一】如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）．
【方案二】如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长．
（1）方案一中，若大视力表中“”的高是，直接写出小视力表中相应“”的高度是　 　．
（2）方案二中，如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
（3）小明选择【方案一】制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的高度之间的关系是一种函数模型，视力表上部分视力值和字母的高度的部分对应数据如表所示：
①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值与字母的高度（说明理由），并求出视力值与字母高度之间的函数关系式；
位置 视力值 的值（）
第1行
第5行
第8行
第14行
②若小明的视力值是，则他能看清的最小的字母的高度是 ▲ ．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
22．综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形；
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？
【分析并解决问题】
（1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图所示，其中，．
求证：四边形是类矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片折叠次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点与点重合，折叠过程如图所示．求证：四边形是类矩形；
（3）【拓展】如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点，，，分别是边，，，上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，再沿，折叠，使得点，的对应点分别落在，上，若四边形是类矩形：
①请画出满足条件的四边形．（作图工具不限，不用保留作图痕迹）；
②请直接写出的值 ▲ ．
23．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|=10，a+b=80，ab＜0.
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动.
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
3．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；几何体的展开图；截一个几何体
4．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；菱形的性质
6．【答案】A
【知识点】中位数
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
8．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
9．【答案】B
【知识点】统计表；加权平均数及其计算
10．【答案】A
【知识点】方差
11．【答案】y＝12x－20
【知识点】解二元一次方程
12．【答案】10
【知识点】中位数；众数
13．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
14．【答案】①②③
【知识点】方差
15．【答案】x1＝0，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
16．【答案】解： （分），
（分），
（分），
所以甲小组成绩最高.
【知识点】加权平均数及其计算
17．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
又∵平分，
∴
∴
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵平分，点P是上一点，
∴
∵四边形是菱形；
∴，
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴（负值舍去）
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中小球落入管道B的结果有3种，
∴小球落入管道B的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
19．【答案】（1）DE＝BD+CE
（2）解：DE=BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，
∴∠DBA=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
（3）解：△DEF是等边三角形，
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点
∴∠BAF＝∠CAF＝60°，
∵AB=AF=AC
∴△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE·10分
在△DBF和△EAF中，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
20．【答案】（1）21.6
（2）解：如图，作于点，延长线交于点，
由题意知，，
，
∴，
，
，
，
，
，
由题意知，
，
，
，
∴镜长至少为．
（3）解：①∵视力值V与字母高度a的乘积是定值7，
∴视力值V与字母高度a成反比例函数关系．
设，
把，代入得到，
∴视力值V与字母高度a的函数关系是，
②把，代入，得，
∴则他能看清的最小的字母的高度是．
故答案为：．
【知识点】函数值；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
21．【答案】（1）解：如图.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC， AD∥BC
又∵E为AD中点， O为BC中点
∴四边形AOCE 是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
22．【答案】（1）证明：如图1，由折叠得：，，
∵，四边形是矩形，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴四边形是类矩形；
（2）证明：如图2，由折叠得：，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
如图，设，，则，
由折叠得：，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是类矩形；
（3）解：①设与交于点O，
∵垂直平分，
∴，
∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，
∴，
同理得：，，
∵四边形是类矩形，
∴或，
如图所示，第一种，找到四边形的中点，作四边形
第二种，找到靠近的三等分点，作四边形
②或
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；分类讨论
23．【答案】（1）解：∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|=10，a+b=80，ab＜0，
∴a=-10，b=90，
即a的值是-10，b的值是90
（2）解：①由题意可得，
点C对应的数是：90-[90-（-10）]÷（3+2）×2=90-100÷5×2=90-40=50，
即点C对应的数为：50；
②设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90-（-10）-20]÷（3+2）
=80÷5
=16（秒），
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90-（-10）+20]÷（3+2）
=120÷5
=24（秒），
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的乘法法则
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