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逆等线最值专题
两线段和的最值问题，大家首先想到的都是“将军饮马”问题，即要求的两条线段有公共端点，或者平移后有公共端点。
除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中，两条动线段始终保持着相等，我们可以在等线段处构造全等，从而将要求的两条线段拼接到一起，利用三点共线求最值。若两条动线段始终保持着比值关系，我们也是可以在比例线段处构造相似三角形，从而也能将要求的两条线段拼接到一起，通过三点共线去计算最值问题。这就是今天咱们要说的逆等线最值问题。
★题型一·构造SAS型全等拼接线段
【例1】锐角△ABC中，AC=10，BC=8，∠ABC=60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足AD=CE,则CD+BE的最小值为 ；
（备用）
【变式1-1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D、E分别是边AB、AC上的两个动点，且AD=CE，连接CD、BE，则CD+BE的最小值为 ；
（备用）
【变式1-2】如图，在等边△ABC中，AB=4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，且CE=CF，则AE+AF的最小值为 ；
（备用）
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，BC=4，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD=BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值是 ；
（备用）
★题型二·平移、对称或者构造平行四边形
【例2】如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE=CF，则BF+CE的最小值是 ；
（备用）
【变式2-1】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别是边AB、CD上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ；
（备用）
【变式2-2】如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E在AD上，点F在BC上，且AE=CF，连结CE、DF，则CE+DF的最小值是 ；
（备用）
★题型三·构造相似求加权线段和
【例3】如图，已知CB⊥AB，AB=BC=2，E为线段BC上的动点，连接AE，点D在AB延长线上，且CE=2BD，则AE+2CD的最小值是 ；
（备用）
【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=，E、F分别是BD、BC上的动点，且BF=2DE，则AF+2AE的最小值是 ；
（备用）
【变式3-2】如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD=4，∠ADB=60°，点E、F为对角线BD上的动点，DE=2BF，连结AE，CF，则AE+2CF的最小值是 ；
（备用）
★题型四·取到最小值对其它量进行计算
【例四】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,AB=3，E、F分别是AD、BD上两个动点，且BF=DE，连结AF、CE，则AF+CE的最小值为 ；此时∠BAF= ；
（备用）
【变式4-1】如图，AD为等边△ABC的高，M、N分别为线段AD、AC上的动点，且AM=BN，当BM+CN取得最小值时，∠ANC= ；
（备用）
【变式4-2】如图，已知直线AB：分别交轴，轴于点B、A两点，C为（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上的一动点，BE交轴于点H，且AD=CE，当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为 ；
（备用）
★题型五·隐动点与显性单线动点问题
【例五】点P在△PAB平面内一动点，∠APB=90°，AB=6，点M是PB上的一点，且BM=PA，连结AM，则AM的最小值为 ；
（备用）
【变式5-1】如图，在△ABC中，∠A=45°，BC=，点D为AC上的一点，且AB=2CD，则BD的最小值为 ；
（备用）
课后练习
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2，点M是线段BC上的动点，在线段CA上截取CN=BM，连接AM和BN，当点M在运动的过程中，AM+BN的最小值为 ；
如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动，确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+BQ最小时，∠PBQ的度数为 ；
如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB==1，AC=2，D、E分别是边AB、AC上的动点，且CE=2AD，则BE+2CD的最小值是 ；
如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为边BC上的一点，AE=AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM=EN，连接DM，DN，则DM+DN的最小值为 ；
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点M、N分别为BC、AC上的动点，且AN=CM，AB=，当AM+BN的值最小时，CM的长为 ；
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逆等线最值专题
两线段和的最值问题，大家首先想到的都是“将军饮马”问题，即要求的两条线段有公共端点，或者平移后有公共端点。
除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中，两条动线段始终保持着相等，我们可以在等线段处构造全等，从而将要求的两条线段拼接到一起，利用三点共线求最值。若两条动线段始终保持着比值关系，我们也是可以在比例线段处构造相似三角形，从而也能将要求的两条线段拼接到一起，通过三点共线去计算最值问题。这就是今天咱们要说的逆等线最值问题。
★题型一·构造SAS型全等拼接线段
【例1】锐角△ABC中，AC=10，BC=8，∠ABC=60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足AD=CE,则CD+BE的最小值为 ；
（备用）
【变式1-1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D、E分别是边AB、AC上的两个动点，且AD=CE，连接CD、BE，则CD+BE的最小值为 ；
（备用）
【变式1-2】如图，在等边△ABC中，AB=4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，且CE=CF，则AE+AF的最小值为 ；
（备用）
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，BC=4，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD=BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值是 ；
（备用）
★题型二·平移、对称或者构造平行四边形
【例2】如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE=CF，则BF+CE的最小值是 ；
（备用）
【变式2-1】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别是边AB、CD上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 10 ；
（备用）
【变式2-2】如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E在AD上，点F在BC上，且AE=CF，连结CE、DF，则CE+DF的最小值是 ；
（备用）
★题型三·构造相似求加权线段和
【例3】如图，已知CB⊥AB，AB=BC=2，E为线段BC上的动点，连接AE，点D在AB延长线上，且CE=2BD，则AE+2CD的最小值是 ；
（备用）
【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=，E、F分别是BD、BC上的动点，且BF=2DE，则AF+2AE的最小值是 ；
（备用）
【变式3-2】如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD=4，∠ADB=60°，点E、F为对角线BD上的动点，DE=2BF，连结AE，CF，则AE+2CF的最小值是 ；
（备用）
★题型四·取到最小值对其它量进行计算
【例四】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,AB=3，E、F分别是AD、BD上两个动点，且BF=DE，连结AF、CE，则AF+CE的最小值为 ；此时∠BAF= 45° ；
（备用）
【变式4-1】如图，AD为等边△ABC的高，M、N分别为线段AD、AC上的动点，且AM=BN，当BM+CN取得最小值时，∠ANC= 105° ；
（备用）
【变式4-2】如图，已知直线AB：分别交轴，轴于点B、A两点，C为（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上的一动点，BE交轴于点H，且AD=CE，当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为 （0,4） ；
（备用）
★题型五·隐动点与显性单线动点问题
【例五】点P在△PAB平面内一动点，∠APB=90°，AB=6，点M是PB上的一点，且BM=PA，连结AM，则AM的最小值为 ；
（备用）
【变式5-1】如图，在△ABC中，∠A=45°，BC=，点D为AC上的一点，且AB=2CD，则BD的最小值为 4 ；
（备用）
课后练习
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2，点M是线段BC上的动点，在线段CA上截取CN=BM，连接AM和BN，当点M在运动的过程中，AM+BN的最小值为 ；
如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动，确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+BQ最小时，∠PBQ的度数为 30° ；
如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB==1，AC=2，D、E分别是边AB、AC上的动点，且CE=2AD，则BE+2CD的最小值是 ；
如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为边BC上的一点，AE=AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM=EN，连接DM，DN，则DM+DN的最小值为 ；
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点M、N分别为BC、AC上的动点，且AN=CM，AB=，当AM+BN的值最小时，CM的长为 ；
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