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2026甘肃省初中招生考试预测卷
数学(一)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．下列四个数中，最小的数为（　　）
A．﹣2 B．3 C． D．0
2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　）
A． B．C．D．
3．一副三角板如图所示摆放，若∠ABE＝110°，则∠DBC等于（　　）
A．20° B．25° C．15° D．30°
4．化简的结果是（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（　　）
A．155° B．145° C．135° D．125°
7．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，若AB＝12cm，EF＝4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．48cm2 B．46cm2 C．44cm2 D．42cm2
8．5G移动通信网络将推动我国数字经济发展迈上新台阶，据预测，2020年到2025年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列推断不正确的是（　　）
A．2020年到2025年，5G间接经济产出和直接经济产出都呈增长趋势
B．2020年到2022年，5G间接经济产出和直接经济产出共10.7万亿元
C．2023年到2024年，5G间接经济产出和直接经济产出的增长率相同
D．2020年到2025年，5G间接经济产出总量比直接经济产出总量多3万亿元
9．如图，小颖做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y（单位：N），铁块被提起的高度为x（单位：cm）．在铁块被提起过程中选取5组数对（x，y）在直角坐标系中进行描点，则正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随AC的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（　　）
A．42 B．46 C．48 D．50
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．分解因式：2x2﹣2x　 ．
12．已知y是x的一次函数，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … 5 3 m n …
比较大小：m 　 　 n．
13．用“⊙”定义一种新运算：a⊙b＝ab﹣ab+1，如2⊙3＝23＝2×3+1＝3．则3⊙[（﹣1）⊙2]的值为 　 　 ．
14．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 　 　 种．
15．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是　 　 ．
16．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示和所在圆的圆心均为点O，且点A在OB上，点D在OC上，若OA＝AB＝6dm，OA⊥OD，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为 　 　 dm2．（结果保留π）
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）先化简再求值：（a﹣1）2﹣2a（a﹣1），其中a．
20．（8分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中，请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，请你用直尺和圆规作圆的内接正方形．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
作法 图形
①作直径AC； ②过点A作AC的垂线AM； ③作∠MAC的平分线交⊙O于点B； ④以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交⊙O于点D； ⑤依次连接BC，CD，DA，四边形ABCD就是所求作的正方形
21.（10分）5月18日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的“庄严妙相——甘肃佛教艺术展”“甘肃古生物化石展”“甘肃彩陶展”“甘肃丝绸之路文明展”四个展厅中选择一个报名当志愿者，两人决定用扑克牌中的四个花色分别表示这四个展厅，庄严妙相——甘肃佛教艺术展（红桃），甘肃古生物化石展（方片），甘肃彩陶展（黑桃），甘肃丝绸之路文明展（梅花），分别将这四种花色的四张扑克牌正面朝下，小英先随机抽取一张，小丽再从剩下的扑克牌中抽取一张．
（1）小英抽到庄严妙相——甘肃佛教艺术展（红桃）的概率为 　　；
（2）用列表法或画树状图法求出两人抽到甘肃彩陶展（黑桃）和甘肃丝绸之路文明展（梅花）的概率．
22．（10分）在甘肃省瓜州县戈壁难上，有一尊命名为“大地之子”的巨大雕塑格外显眼（如图①），雕想的周边都是荒漠，而荒漠又是生态很脆弱的地方，在一定意义上说，这座雕塑警示人们要爱护好赖以生存的环境．某数学兴趣小组开展了测量“大地之子”高度的实践活动，具体过程如下：
【方案设计】如图②，点A为雕塑的最高点，在雕塑头部和尾部选取B，D两处，分别将无人机竖直向上飞至C，E处观测点A，通过无人机携带的观测设备测得无人机两次飞行高度及仰角α和β的度数（点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，且B，F，D三点在同一条直线上，AF⊥BD）．
【数据收集】通过实地测量，地面上B，D两点的距离为15m，α＝8°，β＝23°，BC＝3m，DE＝2m．
【问题解决】求雕塑的最高点A到地面的高度（结果保留一位小数，参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
23．（8分）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．
甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
b．丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，4.5，5.0，3.1，4.8，3.5，4.8，4.5；
c．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
甲 乙 丙
平均数 m 4.5 4.2
中位数 4.5 4.7 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值是 　　 ，n的值是 　　 ；
（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是S甲2，S乙2，S丙2，直接写出S甲2，S乙2，S丙2之间的大小关系；
（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
24．（10分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点H，过点D的直线EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若，，求BC和AH的长．
26．（10分）【教材呈现】
活动2用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
请结合教材内容，解决下面问题：
【概念理解】（1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形ABCD；
【性质探究】
（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．
证明：
（3）如图3，连结筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明；
【拓展应用】
（4）如图4，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，点D、E分别是边BC，AB上的动点，当四边形AEDC为筝形时，请直接写出∠BDE的度数．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2026甘肃省初中招生考试预测卷
数学(一)
1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.A 10.C
11.2（x）2 12.＞ 13.70 14.4 15.3m 16.27π
17．解：原式＝4﹣2＝2．
18．解：，
由①得，x＜2，
由②得，x＞1，故不等式组的解集为：1＜x＜2．
19．解：（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）
＝a2﹣2a+1﹣2a2+2a．
＝﹣a2+1．
∵a．
∴原式．
＝﹣2．
20．解：如图，四边形ABCD即为所求．
（2）理由：∵AM⊥AC，∴∠MAC＝90°，由条件可知，
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴AB＝BC，
由条件可知，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
由条件可知∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴AD＝DC＝AB＝CB，∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
21．解：（1）列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中纸牌上数字之和为6的情况有3种，
∴两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率为；
（2）纸牌上数字之和为奇数的情况有8种，为偶数的情况有8种，
∴P（之和为偶数）＝P（之和为奇数）．则该游戏公平．
21．解：（1）∵共有四个展厅，分别是甘肃佛教艺术展”“甘肃古生物化石展”“甘肃彩陶展”“甘肃丝绸之路，∴小英抽到庄严妙相——甘肃佛教艺术展（红桃）的概率为；故答案为：；
（2）列表如下：
* 红桃 方片 黑桃 梅花
红桃 * （红桃，方片） （红桃，黑桃） （红桃，梅花）
方片 （方片，红桃） * （方片，黑桃） （方片，梅花）
黑桃 （黑桃，红桃） （黑桃，方片） * （黑桃，梅花）
梅花 （梅花，红桃） （梅花，方片） （梅花，黑桃） *
∴一共有12种等可能的情况数，其中两人抽到甘肃彩陶展（黑桃）和甘肃丝绸之路文明展（梅花）的有2种情况，∴两人抽到甘肃彩陶展（黑桃）和甘肃丝绸之路文明展（梅花）的概率是．
22．解：如图②，过C点作CM⊥AF于M点，过E点作EN⊥AF于N点，设BF＝a米，则DF＝（15﹣a）米，
∵在Rt△ACM中，CM＝BF＝a米，∠ACM＝α＝8°，
∴AM＝CM tanα＝a tan8°≈0.14a（米），
∴AF＝AM+MF＝AM+BC＝0.14a+3（米），
∵在Rt△AEN中，EN＝BF＝（15﹣a）米，∠AEN＝β＝23°，
∴AN＝EN tanβ＝（15﹣a） tan23°≈0.42（15﹣a）＝6.3﹣0.42a（米），
∴AF＝AN+NF＝AN+ED＝8.3﹣0.42a（米），
∴0.14a+3＝8.3﹣0.42a，
解得a≈9.46，
AF＝0.14a+3≈4.3（米），
答：雕塑的最高点A到地面的高度约为4.3米．
23．解：（1）甲民宿的评分的平均数为4.5（分），即m＝4.5，
将样本中丙民宿评分从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为4.5（分），因此中位数是4.5分，即n＝4.5，
故答案为：4.5，4.5；
（2）∵S甲2[（4﹣4.5）2+（4.1﹣4.5）2+（4.2﹣4.5）2×2+（4.7﹣4.5）2×5]＝0.104，
S乙2[（3.2﹣4.5）2+（4.2﹣4.5）2+（4.3﹣4.5）2+（4.8﹣4.5）2×5+（5﹣4.5）2×3]＝0.266，
S丙2[（2.6﹣4.2）2+（3.1﹣4.2）2+（3.5﹣4.2）2+（4.5﹣4.2）2×3+（4.7﹣4.2）2+（4.8﹣4.2）2×2+（5﹣4.2）2]＝0.614，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2；
（3）推荐甲民宿，理由：甲民宿的满意度评分的方差较小，说明甲民宿的评分比较稳定，波动不大，甲民宿满意度评分的平均分是4.5分，比丙民宿的高．
24．解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），∴k＝3，a＝﹣1，∴反比例函数解析式为，
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+2；
（2）根据解析式可知C（﹣2，0），D（0，2），
∴，∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P的坐标为，∴，解得，∴点或．
25．（1）证明：如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，∴AC∥OD，∴∠ODE＝∠F．∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠ACB＝∠ODE＝90°，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；
（2）解：∵，设⊙O的半径为r，则．由条件可知∠ABC＝∠E．
∵，在Rt△OED中，，
即，解得r＝5，∴，
∴，根据勾股定理，得．
∵，∴AC＝6，AF＝8．
根据勾股定理，得．
∴DF＝EF﹣DE＝4，
根据勾股定理，得AD＝4，
由平行线性质可知：，即，解得．
26．解：【教材呈现】猜想筝形的角、对角线有的性质：∠BAD＝∠BCD，BD垂直平分AC，BD平分∠ADC和∠ABC，证明：∵AD＝CD，AB＝CB，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠BAD＝∠BCD，∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠BDC，即BD平分∠ADC和∠ABC，∴BD垂直平分AC．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD即为所求；
【性质探究】（2）如图2，连接AC，
在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B＝∠D；
（3）有一条对角线平分一组对角（答案不唯一），证明：在△ABC与△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠CAB＝∠CAD，∠ACB＝∠ACD，
即AC平分∠BAD，∠BCD；
【拓展应用】（4）分两种情况：①当四边形AEDC是筝形时，∠CDE＝∠A＝80°时，如图3，
∴∠BDE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣80°＝100°；
②当四边形AEDC是筝形时，∠AED＝∠C时，如图 4，
∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣40°＝60°，∴∠AED＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝∠AED﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，综上所述，∠BDE＝100°或20°．
27．解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，∴0＝16a﹣8a+4，
∴a，∴y．
令y＝0，得0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，∴点C的坐标为（0，4）；
（2）如图，
由y，可得对称轴为：，
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．
点A关于x＝﹣1的对称点为点B，
∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．
∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），
∴，解得，∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线y＝﹣x+2上，
∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，），
∴，
即，当时，解得，
此时点M的坐标为：（，）或（，），当时，
解得m＝0（舍去），
综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（，）或（，）．

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