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2026年江西南昌市南昌县莲塘第四中学等校九年级中考模拟数学（四）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-587的绝对值是（）
A. -587 B. 587 C. D.
2.下列图形中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.预计到2026年，中国用户数量将超过．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.若a≠0，则（-a）-2026·a2025=（ ）
A. -a B. a C. D.
5.某连锁咖啡店的店长计划推出一个“惊喜福袋”，里面包含7款不同的杯子．为了控制成本，店长希望这7款杯子的价格中位数正好为50元．目前，编号为1至5的5款杯子已确定入选，它们的价格（单位：元）如下图所示．经计算，这5款杯子的价格中位数恰好为50元．现在，需要从A，B，C三款杯子中挑选1款作为第6款，再从D，E两款杯子中挑选1款作为第7款，使得最终7款杯子的价格中位数依然是50元．可以选择（）
A. A，D B. B，E C. C，D D. C，E
6.已知二次函数的图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度得到的点的坐标是 ．
8.因式分解： ．
9.若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根 ．
10.在平行四边形中，，与交于点，则的长为 ．
11.如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是 ．
12.如图，是等腰直角三角形，，点是边上的两动点，，且．若中有一条边恰好等于另一条边的2倍，且，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.计算和解方程组
(1) 计算：；
(2) 解方程组：．
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中 x=3．
15.(本小题8分)
某文创店推出四款城市主题徽章，每款徽章都有对应的特色照片，分别是：
将四款徽章的照片分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀．
(1) 从中随机抽取一张卡片，求抽到“上海·外滩”的概率；
(2) 抽取一张卡片记录内容后放回洗匀，再随机抽取一张，求抽到的两张卡片照片内容不同的概率．
16.(本小题8分)
2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．某校组织师生观看春晚后，计划购买“骐骐”“骥骥”这两款徽章共40枚作为活动纪念品．已知“骐骐”徽章每枚22元，“骥骥”徽章每枚16元．
(1) 若该校购买这两款徽章共花费760元，求购买“骐骐”徽章的数量；
(2) 如果学校购买“骐骐”徽章的数量不少于“骥骥”徽章数量的，求至少购买“骐骐”徽章多少枚？
17.(本小题7分)
如图，这是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺，在给定的方格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1) 在图1中的上作点，使得；
(2) 在图2中的上作点，使得．
18.(本小题8分)
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，其中点的横坐标为．
(1) 求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2) 若点在轴上，且，求点的坐标．
19.(本小题8分)
如图，为的直径，点为上一点，点为的中点，交于点，过点作交的延长线于点，连接．
(1) 求证：为的切线；
(2) 若，求图中阴影部分的面积．
20.(本小题8分)
2026马年春晚名为《武BOT》的武术表演节目中，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了甩动双节棍，表演时需要和武术演员保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，双节棍握手端一节长度，与手臂保持垂直．肘关节与点之间的水平宽度为（即的长度）．
(1) 求的度数；
(2) 机器人表演时规定双节棍端点与武术演员的水平安全距离范围为．在图2中，机器人与武术演员之间的距离为．问此时双节棍端点与武术演员的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：）
21.(本小题8分)
为贯彻落实2026年全国基础教育重点工作部署会议精神，全面推进“每天一节体育课”及“每天2小时综合体育活动”政策落地，某校近日对七、八年级学生的体质健康水平进行了抽样测试．测试项目为“立定跳远”，满分100分，得分均为整数．学校从七、八年级各随机抽取了20名学生的测试成绩进行统计分析，成绩共分成四组：组：（及格）；组：（良好）；组：（优秀）；组：（卓越）．
①八年级抽取的学生成绩为：
65，68，72，76，78，81，83，85，87，89，92，92，93，94，95，96，97，98，99，100．
②七、八年级抽取的学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 卓越率
七 82.3 84 88
八 92
③七年级抽取的学生成绩扇形统计图如图：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 填空： ， ， ；
(2) 根据以上统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的测试成绩更好？请说明理由（写出一条合理理由即可）；
(3) 若该校七年级有700名学生，八年级有600名学生，试估计七、八两个年级学生的测试成绩为优秀（成绩分组为组）的总人数．
22.(本小题7分)
某湿地公园为提升游客体验，在观鸟步道旁设计了一处喷泉景观（如图1）．为避免步道积水，喷泉水柱呈抛物线状喷入景观湖中，图2是其截面示意图．已知观鸟步道宽米，湖岸观景台到湖面垂直距离米，观景台斜坡的坡比为．当水柱离喷水口水平距离为2米时，达到最大高度4米．以喷水口为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1) 求水柱所在抛物线的解析式；
(2) 为保障游客安全，在观景台边缘处设置高度为米的护栏，试判断水柱能否喷到护栏上，并说明理由；
(3) 湖水水位随季节变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上．当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在斜坡截线与水面截线的交点处？
23.(本小题7分)
综合与实践
如图1，在中，点，分别在直线和上，直线，相交于点，，某数学兴趣小组在探究、、、四条线段的比例关系时，经历了如下过程：
【特例感知】
(1) ①如图2，当，时，若，则 ；②如图3，当时，若，则 ；
(2) 【猜想证明】猜想、、、四条线段的比例关系，并结合图进行证明；（备注：从图中的①或②选择一个证明即可）
(3) 【拓展应用】如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，若，试求边的长．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】-2025
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或或
13.【答案】【小题1】
解：原式．
【小题2】
解：已知，
由，得，解得，
把代入，得，解得．
故原方程组的解为．

14.【答案】解:原式=
=
=.
当x=3时,原式=.
15.【答案】【小题1】
解：从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“上海·外滩”的概率是；
【小题2】
根据题意，画树状图如下：
由树状图可知共有16种等可能的结果，满足条件的有12种结果，
故（抽到的两张卡片照片内容不同）．

16.【答案】【小题1】
解：设购买“骐骐”徽章枚，则购买“骥骥”徽章枚．
根据题意，得，
解得．
答：购买“骐骐”徽章20枚．
【小题2】
解：设购买“骐骐”徽章枚，则购买“骥骥”徽章枚．
根据题意得，，
解得．
又∵为正整数，
∴的最小值为18．
答：至少购买“骐骐”徽章18枚．

17.【答案】【小题1】
解：如图，取格点，连接，交于点，
，，，
，
，
；
【小题2】
解：如图，取格点，
，，，
，
，，
取格点，连接，交于点，
根据矩形的性质可得为中点，
，
连接并延长交于点即可．

18.【答案】【小题1】
解：将点代入，得，
∴一次函数的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴在中，当时，
∴点．
将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
【小题2】
解：设点的坐标为，直线与轴交于点，
在中，当时，，
∴点．
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．

19.【答案】【小题1】
证明：∵点为的中点，
∴且平分，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵为的半径，
∴为的切线．
【小题2】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵且平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴阴影部分的面积是．

20.【答案】【小题1】
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：不在规定范围内．理由如下：
如图，过点作交的延长线于点，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴此时双节棍端点与武术演员的距离为，
∵水平安全距离范围为，
∴此时双节棍端点与武术演员的距离不在规定范围内．

21.【答案】【小题1】
15%
87
90.5
【小题2】
解：该校八年级学生的测试成绩更好．理由如下：
因为八年级学生的测试成绩的平均数、中位数、众数和卓越率均比七年级高，所以该校八年级学生的测试成绩更好．
【小题3】
解：（人）．
答：估计七、八两个年级学生的测试成绩为优秀的总人数为395人．

22.【答案】【小题1】
解：由题意得，二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
∵二次函数经过原点，
∴，
解得，
∴该二次函数的解析式为．
【小题2】
解：水柱不能喷到护栏上．理由如下：
当时，．
∵，
∴水柱不能喷到护栏上．
【小题3】
解：∵米，斜坡的坡比为（其中），
∴，
∴米，
点与原点的水平距离为（米），
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
把点代入解析式，得解得，
∴直线的解析式为，
联立得方程组，即．
解得（不合题意，舍去），．
当时，，
即水面离地平面距离为米时，刚好使水柱落在斜坡截线与水面截线的交点处．

23.【答案】【小题1】


【小题2】
，证明如下∶
选择题图中的①：四边形是平行四边形，点，在线段，上，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
选择题图中的②：四边形是平行四边形，点，在直线，上，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小题3】
解：如图，过点作交于点，
在四边形中，，，，，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，整理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
整理得，
，
解得或（舍去），
∴．

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