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东辰外国语学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
A卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．四个有理数﹣3，1，0，﹣1，其中最小的数是（　　）
A．﹣3 B．1 C．0 D．﹣1
2．若3x＝2y，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（　　）
A．40个 B．35个 C．20个 D．15个
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA，则AB的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD：DB＝3：1，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为200万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x，则（　　）
A．200（1+x）＝500 B．200+200（1+x）＝500 C．200（1+2x）＝500 D．200（1+x）2＝500
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．4
8．函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．已知，则 　 　 ．
10．反比例函数的图象经过点（﹣2，8）、（a，﹣4）及（8，b），则a+b＝　 　 ．
11．如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1与△A2B2C2的面积比为　 　 ．
12．关于x的一元二次方程2x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　 ．
13．如图，在直角△ABO中，AO，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y的图象上，则k的值为 　 　 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：x2+4x+3＝0．
15．（8分）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格纸第一象限中画出△A1B1C1；
（2）点C1的坐标是　 　 ，若图中每个小方格的面积为1，△A1OC1的面积＝　 　 ．
16．（8分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 　 　 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
17．（10分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
18．（10分）如图，双曲线y与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y有唯一交点，求n的值．
B卷
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若点A（a，b）在双曲线y上，则代数式ab﹣8的值为 　 　 ．
20．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2﹣2a﹣2ab的值是 　 　 ．
21．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD＝2BD，DE＝8，则BF＝　 　 ．
22．阅读材料：关于三角函数有如下的公式：，利用公式可以求一些不是特殊角的三角函数值．例：．根据以上阅读材料，计算；tan75°＝　 　 ．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　 ．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求第二、三这两个月的销售量月平均增长率；
（2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
25．（10分）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的横坐标为3，点B的纵坐标为﹣1，经过点A的直线与x轴，y轴分别交于C、D，与反比例函数在第一象限交于点E．
（1）求正比例函数y＝k1x与反比例函数y的解析式；
（2）当AD＝3DE时，
（i）点P为反比例函数在第一象限的图象上一点，若△OPA的面积是△OPE面积的两倍时，求点P的坐标；
（ii）点M为直线DE上一点，点N为坐标平面内一点，若以O、E、M、N为顶点的四边形为菱形时，直接写出点N的坐标．
26．（12分）（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．
①判断DQ与AE的数量关系：DQ　 　 AE；
②推断：的值为 　 　 ；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
九年级上学期期中数学试卷
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C D D A D
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9． 10．2． 11．4． 12．． 13．．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．解：（1）原式＝421﹣3
＝432+1
＝3；
（2）x2+4x+3＝0，
分解因式得：（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1．
15．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，点C1的坐标是（2，10）．
△A1OC1的面积为30﹣6﹣8＝16．
故答案为：（2，10）；16．
16．解：（1）此次调查的学生人数为：4÷10%＝40（人），“C”类兴趣课的人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：40；
（2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：360°72°；
故答案为：72；
（3）将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．
17．解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DECD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）①由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CEDE＝3（m），
在Rt△ABC中，AB＝hm，∠BCA＝45°，
∴ACh（m），
∴AE＝EC+AC＝（3h）m，
∴线段EA的长为（3h）m；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA＝（3h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝hm，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.5（3h）m，
∴h﹣3＝0.5（3h），
解得：h＝36≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
18．解：（1）∵双曲线y过点A（﹣8，1），
∴m＝﹣8×1＝﹣8，
又∵直线y＝kx+b经过点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），
∴，
解得k，b＝﹣3，
答：m＝﹣8，k，b＝﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的关系式为y，
直线AB的关系式为yx﹣3，
当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝﹣6，即C（﹣6，0），
∴OC＝6，
由点E（1，0）可得OE＝1，
∴EC＝OE+OC＝1+6＝7，
∴S△ABE＝S△ACE+S△BCE
7×17×4
；
（3）设直线DE的关系式为y＝mx+p，D（0，﹣3），E（1，0）代入得，
p＝﹣3，m+p＝0，
∴m＝3，p＝﹣3，
∴直线DE的关系式为y＝3x﹣3，
设DE平移后的关系式为y＝3x﹣3+n，由于平移后与y有唯一公共点，
即方程3x﹣3+n有唯一解，
也就是关于x的方程3x2+（n﹣3）x+8＝0有两个相等的实数根，
∴（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，
解得n＝3+4，n＝3﹣4（舍去），
∴n＝3+4，
答：n的值为3+4．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．﹣5． 20．3． 21．4． 22．2． 23．．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．解：（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得64（1+x）2＝100，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为25%；
（2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，当月的销售量为[100+10（80﹣y）]件，
依题意得：（y﹣60）（900﹣10y）＝2160，
整理得：y2﹣150y+5616＝0，
解得：y1＝72，y2＝78，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴y＝72，
即该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元．
25．解：（1）由题意得，
A（3，1），B（﹣3，﹣1），
∴1＝3 k1，1，
∴k1，k2＝3，
∴正比例函数的解析式为：yx，反比例函数的解析式为：y；
（2）（i）如图1，
作EF⊥y轴于F，作AG⊥y轴于G，
∴EF∥AG，
∴△DEF∽△DQG，
∴，
∴EF，
∴y，
设P（m，），（m＞0），
∴S△OPA＝S梯形AMNP（1） （3﹣m），
同理可得，S△OPE（3） |m﹣1|，
∴（1） （3﹣m）＝2（3） |m﹣1|，
∴m，
当m时，y，
∴P（，）；
（ii）当点M和A重合时，OM＝OA＝OE，
∴四边形MOEN是菱形，
∴N（1+3）1，1+3），即（4，4），
∵A（3，1），E（1，3），
∴直线AE的解析式为：y＝﹣x+4，
设M（m，﹣m+4），
当EM＝OM时，
（m﹣1）2+（﹣m+4﹣3）2＝m2+（﹣m+4）2，
∴m，
∴M（，），
∴N（1，3），即（），
当OE＝EM时，
（m﹣1）2+（﹣m+4﹣3）2＝12+32，
∴m＝1，
当m＝1时，M（1，3），
此时N（11，3），即（），
当m＝1时，M（1，3），
此时N（，），
综上所述：N（4，4）或（）或（）或（，）．
26．解：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
故答案为：＝．
②结论：1．
理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴1．
故答案为：1．
（2）结论：k．
理由：如图2，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴k．
（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点A作AE⊥EF，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝10，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，
∴△ADE∽△DCF，
∴，
∴AE＝2DF，DE＝2CF，
∵DC2＝CF2+DF2，
∴25＝CF2+（10﹣2CF）2，
∴CF＝5（不合题意，舍去），CF＝3，
∴BF＝BC+CF＝8，
由（2）的结论可知：．

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