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2025-2026学年度第十二中学九年级第三次学业水平评估
数 学 试 卷
考试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1.在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次。在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”。如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（ ）次。
A.14 B.15 C.16 D.17
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003。将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系中，若点A(a，)与点B(4，b)关于x轴对称，则（ ）
A.a=4，.，.，.，
5. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率是（ ）
A. B.
C. D.
6. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，设该群一共有x个人，则可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图是一把圆规的平面示意图。使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋
转画出圆（弧）．已知 ，夹角 ，则圆规画出的圆的半径 长是（ ）
A． B．
C． D．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8如图，在中，点在边上，连接，，于点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．
C．10 D．
9．两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．
C． D．6
10．已知抛物线的图象如所示，则化简得（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：．
12．小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 分．
13.如图，在中，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点M，若，，则sinB=__________.
14.如图．在平面直角坐标系中，的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线相交于点C，且BC：：2．则k的值为__________.
第13题图 第14题图 第15题图
15.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若，，则的最小值为__________．
三、解答题（共75分）
16（5分）（1）计算：.
（5分）（2）化简（2）．
17.（8分）今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
A型号 14和16 b 15
B型号 a 20 c
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中 ； ； ； ； ； ；
（2）请求出表中a和b的值；
（3）若该省共投放市场的A型号智能机器人有80台，B型号智能机器人有100台，
请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
18.（8分）某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍．
（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？
19.（8分）如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若，，，求AC的长．
20.（8分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器. 将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米. 已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米.
（1）求抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
21.（8分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成. 图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）. 已知基座高度为1m，主臂长为5m，测得主臂伸展角.
（参考数据：，，，）
（1）求点到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离.
22.（12分）如图，在中，点，分别是边，上的点，，交于点。
（1）如图1，若是等边三角形，，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，，，求的长度；
（3）如图3，，，，，，求的长度。
23.（13分）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则为二次函数图象上的“互反点”．
（1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式；
（2）判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（3）如图1，设函数y=-，的图象上的“互反点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为5时，求的值；
（4）如图2，为轴上的动点，过作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出的取值范围．
2025年第三次月考答案
1.B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.D 7.A 8A 9.B 10.B
11. 12.8.3 13. 14..
16.（1） 原式……………………………………4分
………………………………………………5分
（2） ………………………………………………2分
………………………………………………4分
………………………………………………5分
17解：（1）. ………………………………………………2分
（2）B型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多，
故众数；……………………………4分
将10台A型智能机器人分拣的快递件数从小到大排序后，最中间的两个数据是15，15，
故中位数万件……………………………6分
（3）分别求出A型和B型号智能机器人分别分拣的快递件数可得：
（万件），………………………………………………7分
∴估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有约3200万件. …………………8分
18(1)设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是()元，
根据题意得：，……………………………………………1分
解得：，………………………………………………2分
经检验，是所列方程的解，且符合题意，…………………3分
（元）.
答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元…4分（设答共1分）
（2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，
根据题意得：，……………………………………………6分
解得：，………………………………………7分
的最小值为10.
答：A种商品至少购进10件. ………………………………………8分
19.(1)证明：，E分别为AB，AC的中点，
是的中位线，
，………………………………………1分
∵DG = FC，
∴四边形DFCG是平行四边形. ………………………………………2分
又∵DF⊥BC，
°，………………………………………3分
∴平行四边形DFCG是矩形；………………………………………4分
(2)解：，
°，
∵∠B = 45°，
是等腰直角三角形，
∴BF = DF = 3，
∵四边形DFCG是矩形，
CG=DF………………………………………5分，
∵DG = FC = 5，
，
由(1)可知，DE是的中位线，
∴，
，………………………………………6分
Rt△CEG中，°，
∴. ………………………………………7分
∵E为AC的中点，
.………………………………………8分
20解：（1）由题意，∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
∴．………………………………………1分
∴石块运行的函数关系式为．
把（0，0）代入解析式得：，
∴．………………………………………3分
∴，或可写．………………………………………4分
（2）石块能飞越防御墙，………………………………………5分
理由如下：∵点与点的水平距离为28米，且米，
∴可令代入得：
．………………………………………7分
∵，
∴石块能飞越防御墙．………………………………………8分
21.解：（1）作于点，延长交于点．
∴
由题意得：，四边形是矩形．………………………………………1分
∴（m），．
∵，，
中，
………………………………………2分
∴（m）．………………………………………3分
∴（m）．
答：点到地面的高度约为；4分
（2），，，
中，
5分
，
，
．
中，
6分（两处过程书写共1分）
．7分
．
答：点到点的距离约为．8分
22
（1）证明：为等边三角形，
，，
在和中，
AD = CE A = BCE, AC = CB 2分
，
；3分
（2）解：设，
，
，
，
．
，，
，4分
.
，
.5分
.
，，
，
，
，6分
，，7分
，
.8分
（3）解：过点作于点，过点作于点，
.
.
.
，
在中，，
设，.
中，由勾股定理得.9分
，.
，
.
.
.
，
.
， ，
(AAS). 10分
， .
， ，
.
. 11分
. 12分
23解：（1） 已知点 和 是二次函数 图象上的 “互反点”，
将 和 分别代入得：
， 1分
解得： c = 0 b = 1 ， 2分
这个二次函数的解析式为 ； 3分
（2） 函数 的图象上存在 “互反点”；理由如下：
，
, 4分
互反点是 5分
（3） 设函数 ， 的图象上的 “互反点” 分别为点 ， ，
当 时，得：，
解得：；（舍去）
，分
当时，得：，
解得：，
，分
，
，分
解得：（不合题意，舍去）或；分
（4）或m <分（答对一个分，两个分）

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