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2025-2026学年北京市顺义十一中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果，那么的值是( )
A. B. C. D.
2.如图，中，，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若AD：：3，，则EC的值为( )
A. 6 B. 4 C. 10 D. 3
3.实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是( )
A. a B. b C. c D. d
4.下列关于二次函数的说法正确的是( )
A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是直线
C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y有最大值为0
5.若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为( )
A. B. 1 C. 9 D. 6
6.将二次函数化成的形式为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象如图所示，那么函数解析式为( )
A. B.
C. D.
8.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( )
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.分解因式： .
10.两个相似三角形的周长比是3：2，则面积比为 ，对应高的比为 .
11.若是反比例函数，则a的取值为______.
12.抛物线的顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而减小.
13.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为 .
14.已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过点；②当时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：______.
15.二次函数的图象如图所示，则a 0，b
16.如图，直线AD，BC交于点O，，若，，，则的值为 .
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题5分
计算：
18.本小题5分
解不等式组：
19.本小题5分
如图，在中，D为AC边上一点，
求证：；
若，，求CD的长．
20.本小题5分
已知：，求代数式的值．
21.本小题6分
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且A点坐标为，与y轴交于点
求出这个二次函数解析式；
求出这个二次函数图象的对称轴和B点坐标.
22.本小题6分
如图，BO是的角平分线，延长BO至D使得
求证：∽
若，，，求OC长．
23.本小题6分
已知二次函数
用配方法求它的顶点坐标和对称轴；
求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图；
当x取何值时，y随x的值增大而减小？当x取何值时，y的值最小还是最大？是多少？
24.本小题6分
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，且点A的横坐标是
求k的值；
过点作直线，使直线与x轴平行，直线与直线交于点M，与双曲线交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．
25.本小题6分
已知抛物线
求证：该抛物线与x轴有两个交点；
求出它的交点坐标用含m的代数式表示；
当两交点之间的距离是4时，求出抛物线的表达式．
26.本小题6分
某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．
当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？
当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？
27.本小题6分
数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型.
应用：
如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点求证：≌；
如图3，在 ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若，，，求的值.
28.本小题6分
已知：抛物线经过坐标原点，且当时，y随x的增大而减小．
求抛物线的解析式；
结合图象写出时，对应的x的取值范围；
设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作轴于点B，轴于点当时，直接写出矩形ABCD的周长．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.C
5.D
6.C
7.A
8.A
9.
10.9：4，3：
11.1
12.，
13.
14.
15.<，
16.
17.解：原式
18.解：
由不等式①得
由不等式②得；
不等式组的解集为
19.解：，，
；
，
，
，，

20.解：由得：，
原式
21.二次函数的图象经过A点和y轴交于点C，
，
，，
二次函数解析式为：；
二次函数的图象的对称轴是：，
，B两点关于直线对称，
点的坐标为
22.解：是的角平分线，
，
，
，
，
又，
∽；
，
，
∽，
，即，
解得：
23.解：，
该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线；
将代入函数，则，
函数图象与y轴的交点坐标为；
令，
解得，，
函数图象与x轴的交点坐标为或；
列表如下：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
描点，连线作出图形的图象，如图：
由图象可知，当时，y随x的增大而减小．当时，y有最小值，最小值为
24.解：令，代入，则，
，
点在双曲线上，
；
由知，反比例函数解析式为，
联立得：，
解得：或，即，
如图所示：
当点M在N右边时，n的取值范围是或
25.证明：当时，则，
方程有两个不相等的实数根，
抛物线与x轴一定有两个交点；
解：令，则，
解得：，，
抛物线与x轴的交点坐标为，；
解：由题意得：，
解得：或，
经检验，或是原方程的根，
抛物线的表达式为或
26.解：获利：；
答：当售价定为30元时，一个月可获利800元；
设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，
由题意，得，
当时，y的最大值为845，
故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元．
27.证明：于点D，于点E，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图3，四边形ABCD是平行四边形，，，在BC的延长线上取点M，使，连接DM，则，
，，
，
，，
，
∽，
28.解：由经过坐标原点，得
，解得或
当时，y随x的增大而减小，
得
抛物线的解析式；
由图象1，得
位于x轴下方的部分，
时，对应的x的取值范围；
如图2，
由轴，得
A、D关于对称轴对称，
B、C关于对称轴对称，且，得
，即
当时，，
即
矩形ABCD的周长为

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