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2024—2025学年第一学期末质量抽样监测
数学（九年级）
注意事项：
1.本试卷共6页，23小题，满分100，考试时间90分钟．
2.本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效．
3.考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交．
一、选择题（本题包括10道小题，1－5题每小题2分，6－10每小题3分，共25分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1. 以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. “光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不等实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
4. 下列事件中，是必然事件的是（　　）
A. 任意买一张电影票，座位号是奇数
B. 13个人中至少有两个人生肖相同
C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯
D. 冬天某一天一定会下雪．
5. 把抛物线，向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后得到的新的抛物线的函数表达式为（ ）
A B.
C. D.
6. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
7. 某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，则依据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种想得到了圆周率的近似值为．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得n的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得n的估计值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，将绕点顺时针旋转到处，此时点刚好落在边上，且，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
10. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本题包括6道小题，11－13题每小题2分，14－16每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
11. 如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是，为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点，则点的坐标是______．
12. 小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）：
投石子的总次数 50次 150次 300次 600次
石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次
石子落在空白区域内的频率
依此估计空白部分的面积可能是__________．
13. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______s，最高______m．
14. 关于x的一元二次方程x2﹣10x＋m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为__．
15. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条的夹角为，的长为，扇面（阴影部分）的面积为，则竹条的长为________．
16. 如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________．
三、解答题（本大题共7小题，共55分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．
（1）画出关于原点对称的：
（2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标；
（3）求出点C旋转到所经过的路线长．
19. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典 庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．
（1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；
（2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．
20. 如图，为的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，且平分．
（1）求证：为的切线；
（2）若，的半径为3，求线段的长．
21. 某商品原售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经市场调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品进价为每件40元，设每件商品涨价元．
（1）涨价后，每件商品的售价和销售量分别是多少？（用含的式子表示）
（2）每周销售该商品获得的利润能等于6210元吗？如果能，求出商品的售价；如果不能，说明理由．
22. 请阅读下列材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图①，是线段同侧两点，且．
求证：四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图②，若点在外，设与交于点，连接，
则（依据）
又，（依据）
所以，
所以，
这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立．
如图③，若点在内，
……
综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆．
任务：
（1）上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？
依据：______； 依据：______．
（2）请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（3）如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______
23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形面积的最大值；并直接写出M点的坐标．
参考答案
一、选择题（本题包括10道小题，1－5题每小题2分，6－10每小题3分，共25分）
1. C．
2. B．
3. C．
4. B．
5. A．
6. D
7. D．
8. A．
9. A．
10.C．
二、填空题（本题包括6道小题，11－13题每小题2分，14－16每小题3分，共15分）
11.（3，﹣2）．
12. 4．
13. ，
14. 24或25．
15. ．
16.或．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
17. （1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
或，
解得，．
18. （1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求， ；
（3）解：，
点C旋转到所经过的路线长．
19. （1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，
∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为：
故答案为：
（2）解：画出树状图，如图：
共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种
故甲和乙选到不同活动项目的概率为：
20. （1）证明：连接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAB＝30°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴AC＝AB＝3．
21. （1）解：设每件涨价元，依题意得：
每件商品的售价是元，所售件数是件，
（2）根据题意得：，
解得：，
此时售价为：元，或元
答：商品的售价为或元时，每周销售该商品获得的利润等于元．
22. （1）解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）解：如图③，若点在内，延长与交于点，连接，
则，
又∵，
∴，
∴，
这与已知条件“”矛盾，故点在圆内不成立；
（3）解：∵在四边形中，，点在的同侧，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
23. （1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，分别过点M作轴于点P，轴于点Q，
设点M的坐标为，则，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
当时，，即，
∵，
∴，
∴四边形面积
，
∵，
∴当时，四边形面积最大，最大为9，此时点M的坐标为．

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