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七宝中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果.
1．已知集合，则 ．
2．关于的不等式的解集为 ．
3．抛物线的焦点到其准线的距离为 ．
4．已知球的体积为，则球的表面积为 ．
5．复数的虚部为 ．
6．二项式的展开式中的系数为-160，则 ．
7．已知数列通项公式，则数列的前9项和为 ．
8．有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ．
9．已知正实数满足，则的最小值为 ．
10．在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为 ．
11．已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为 ．
12．已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列曲线：①；②；③；④则其中是型曲线的是 ．（填序号）
二、选择题（本大题满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）
13．掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（ ）.
A． B． C． D．
14．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ）.
A．米 B．米
C．米 D．米
15．已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非条件
16．对于一个单位球，为球心，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）.
A．4 B．6 C．7 D．8
三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）
17．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下：
（1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联？
（3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中；
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点，
（1）求双曲线的方程；
（2）过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值；
（3）若直线交于点，证明：在定直线上．
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数的定义域为，且函数图像连续不断，若它的任一函数值都恰好被取到次，则称是阶覆盖函数，若它的任一函数值都被取到无数次，则称是阶覆盖函数．
（1）若是1阶覆盖函数，求实数的取值范围；
（2）已知函数图像连续不断，请证明是阶覆盖函数．
（3）证明：不存在2阶覆盖函数．
七宝中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果.
1．已知集合，则 ．
【答案】
2．关于的不等式的解集为 ．
【答案】
3．抛物线的焦点到其准线的距离为 ．
【答案】2
4．已知球的体积为，则球的表面积为 ．
【答案】
5．复数的虚部为 ．
【答案】4
6．二项式的展开式中的系数为-160，则 ．
【答案】-2
7．已知数列通项公式，则数列的前9项和为 ．
【答案】205
8．有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ．
【答案】240
9．已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】16
10．在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为 ．
【答案】
11．已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为 ．
【答案】
12．已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列曲线：①；②；③；④则其中是型曲线的是 ．（填序号）
答案：③④
二、选择题（本大题满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）
13．掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
14．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ）.
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
15．已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非条件
【答案】
16．对于一个单位球，为球心，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）.
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】
三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）
17．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）连接，交于点，则是的中点，连接．
因为分别是的中点，所以．
又因平面平面，所以平面．6分
（2）因平面，底面为正方形，即两两垂直，
故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以．易得即为平面的一个法向量10分
设直线与平面所成角为，因为，
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．14分
18．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值为1，没有极小值 （2）
【解析】（1）由题意可知的定义域为R，且，
令时，，则的关系为
所以当时，取到极大值为1，没有极小值.6分
（2）若，即恒成立，
设，则，
①当时，则恒成立，符合题意；
②当时，则，可知在上单调递增，
因为，所以不恒成立；10分
当时，的关系为
可知的最小值为，则，
因为，则，解得．
综上所述，实数的取值范围是，14分
19．（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下：
（1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联？
（3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中；
【答案】（1）联列表见解析， （2）是 （3）见解析
【解析】（1）完善列联表，如下：
估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为，4分
（2）零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联，
利用（1）中数据，得，
根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，
所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联.8分
（3）由题意知的所有可能值为，
所以的分布列为
14分
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点，
（1）求双曲线的方程；
（2）过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值；
（3）若直线交于点，证明：在定直线上．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）因为双曲线的离心率，故，
而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为，而，故故双曲线的方程为：4分
（2）显然直线与由不垂直，设，
由双曲线的对称性知，结合，即四边形为平行四边形，
且为平行四边形的对角线中点，故，
联立，故，
由于均在双曲线右支，故，故，
而，
代入韦达定理得8分
令，则，
易知在上为减函数，则当时，，
综上，四边形的面积的最小值为10分
（3）证明：左顶点，右顶点，
设过的直线方程
直线的方程为，直线的方程为，
两式相除得，代入
计算：．
由（2）知，14分
注意到，代入得：，
因此，解得.故交点的横坐标恒为，即在定直线上.18分
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数的定义域为，且函数图像连续不断，若它的任一函数值都恰好被取到次，则称是阶覆盖函数，若它的任一函数值都被取到无数次，则称是阶覆盖函数．
（1）若是1阶覆盖函数，求实数的取值范围；
（2）已知函数图像连续不断，请证明是阶覆盖函数．
（3）证明：不存在2阶覆盖函数．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）由题意可知，的任一函数值只能取到一次，
故在上具有单调性，故不变号，
于是可知恒成立，则.4分
（2）证明：显然函数的定义域为，取序列，则，因为可以取遍全体整数，且图像连续不断，故的值域为．
下证：对任意的实数，关于的方程都有无数个解
①若，考虑区间，其中为正整数，令，
因，
当正整数首次超过时，记为，则，即，由函数零点存在性定理可知，区间上至少存在一个零点，于是当以后，区间上均有零点，即方程都有无数个解；8分
②若，显然都是方程的解；
③若，考虑区间，其中为正整数，类似分析同①
综上：对任意的实数，关于的方程都有无数个解，即的任一函数值都可以被取无数次，即是阶覆盖函数.10分
（2）证明：反证法，假设存在定义在的函数，函数图像连续不断，且它的任一函数值都恰好被取到2次.
设，满足，由题意可知，任意的，
且总有或总有（否则若有，
使得，则，
由零点存在性定理知存在，使得，与只有使矛盾）.
不妨设任意的，总有，在区间上达到最大值，按题意，恰好存在唯一的，，
不妨设
为在内的最小值，，，对，
由图像连续不断，故至少存在，
使得，与题设矛盾；16分
，对介于及之间的数，
至少存在，使得，也与题设矛盾，故这样的函数不存在.18分

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