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2026年四川省自贡市中考数学第一次模拟考试押题卷（一）
一、选择题(共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（　　）
A．3.386×108 B．0.3386×109 C．33.86×107 D．3.386×109
2．下面的几何体中，俯视图为三角形的是( )
A． B． C． D．
3．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
5．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．比较A组、B组中两组数据的平均数及方差，一下说法正确的是（ ）
A．A组，B组平均数及方差分别相等 B．A组，B组平均数相等，B组方差大
C．A组比B组的平均数、方差都大 D．A组，B组平均数相等，A组方差大
7．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的方程无实数根，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则cos∠OCE为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A．140° B．100° C．50° D．40°
二、填空题(共6个小题，每小题4分，共24分)
13．分解因式：_____．
14．一组数据1，2，，5，8的平均数是5，则该组数据的中位数是____________
15．如图，矩形ABCD中，E为BC中点，将△ABE沿直线AE折叠，使得点B落在点F处，连接FC．若∠DAF＝18°，则∠DCF＝__________ °
16．已知分式方程无解，则的值为____________
17．如图，正方形ABCD的顶点C，D在反比例函数的图象上，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，则点C的坐标为__________．
18．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．
三、解答题(共8个题，共78分)
19．（8分）
20．（8分）一天晚上，东升和朝阳利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，东升测得朝阳直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着朝阳沿AC方向继续向前走，走到点B处时，朝阳直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1m．已知朝阳直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长．
21．（8分）先化简，再求值：，其中，．
22．（8分）2025年春节联欢晚会传承创新亮点多，收视率较往年大幅增长．成都高新区某学校对部分学生就2025年春晚的关注程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图（其中A表示“非常关注”；B表示“关注”；C表示“关注很少”；D表示“不关注”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）直接写出m＝______；估计该校1800名学生中“不关注”的人数是______人；
（2）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．
23．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．

求反比例函数和一次函数的解析式；
求的面积；
根据图象直接写出，当为何值时，．
25．（12分）在中，，，点D是射线上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得线段，连接，点F是线段的中点，连接．

(1)如图1，若点D在线段延长线上，连接，若，求的长；
(2)如图2，若点D在线段上，连接，求证：；
(3)如图3，点P是的中点，连接，，，若，当为等腰三角形时，求的长．（直接写出答案即可）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．C
4．D
5．A
6．D
7．D
8．C
9．A
10．A
11．B
12．B
二、填空题
13．
14．5
15．36
16．2或7
17．（1，2）
18．
三、解答题
19．【详解】解：原式
20．【详解】解：设长为m，
，，，，
，且为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
m，m，
，
，，
，
，
，
解得：，
路灯的高度为m．
21．【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
22．【详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∴m%＝×100%＝25%，
该校1800名学生中“不关注”的人数是1800×＝330（人）；
故答案为：25，330；
（2）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有6种，
∴选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为＝．

23．【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得，
∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．
∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
24．【详解】（1）在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点也在反比例函数的图象上，
∴，
即，
把点，点代入一次函数中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
故反比例函数解析式为，一次函数得到解析式为；
在中，当时，得，
∴直线与轴的交点为，
∴；
当或时，．
25．【详解】（1）解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
由旋转得：，
∴，
∴，
，，
，
点是线段的中点，且，
∴；
（2）证明：连接，

，，
是等腰直角三角形，
，
由旋转得：，
∴，
∴，
，
，
点是的中点，
，
，
，
；
（3）解：由（2）可得，
∵P是的中点，
∴，，
当时，如图：

∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴；
当时，过点A作，如图：

∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵点D在射线上，
∴点D与点A重合，如图：

∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
综上，或或或．
26．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
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