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闵行区2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1．已知集合，则 ．
2．已知，则不等式的解集为 ．
3．函数的定义域为 ．
4．若指数函数的图像经过点，则该指数函数的表达式为 ．
5．已知，则实数的取值范围为 ．
6．已知角的终边过点,则 ．
7．若正实数满足，则的最小值为 ．
8．若则不等式的解集为 ．
9．已知，则 ．
10．若函数存在最小值，则实数的取值范围为 ．
11．已知，其中，若函数有两个不同零点，则的取值范围为 ．
12．定义表示不大于的最大整数，例如．已知，．若对任 的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
14．下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ）.
A． B． C． D．
15．已知满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
16．定义在上的函数，集合对任意的，有．对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（ ）.
①存在是偶函数； ②存在在处取到最小值；
③存在在上是减函数； ④存在在处取到最大值．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知全集，集合．
（1）当时，试用区间表示集合；
（2）若，求实数的取值范围．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小期满分8分）
已知定义在上的奇函数的表达式为，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
在＂绿色出行，智享未来＂的新能源汽车推广活动中，为评估某品牌电动汽车在城市道路的能耗表现，技术团队在某限速的城市道路进行多次测试，测得车辆每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系如下表所示：
0 20 30 40
0 2560 3540 4480
为了描述该电动汽车在城市道路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型可供选择：
（1）请你根据表格中数据，从中选择一个相对合理的函数模型（需说明理由）；
（2）根据你对（1）的判断以及所给信息，求出所选择的函数模型的解析式；
（3）该车计划从A地前往B地，行程分为两段：前25km为城市道路（限速），每小时耗电量与速度的关系满足（2）中函数解析式，后70km为高速路段（允许车速），每小时耗电量与速度的关系满足．假设该汽车在城市道路和高速路段均做匀速运动，则当在城市路段和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少？并求出最少总耗电量．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知幂函数在上是严格增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）关于的方程在上恰有两个不相等的实根，求实数的取值范围；
（3）设函数的定义域为，如果存在区间，使得，求实数的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为＂型函数＂；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为＂型函数＂．
（1）判断函数是＂型函数＂还是＂型函数＂，并说明理由；
（2）若，证明：函数是＂型函数＂；
（3）若函数定义域为既是＂型函数＂又是＂型函数＂，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
【解析】设，则，且，则，
由于，，所以为和的加权平均数，
所以的取值范围是，
若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，等价于且恒成立，
由于恒成立，则等价于恒成立，即且，即，,
当时，，满足，但不满足，舍去，
当时，，不满足，舍去，
当时，，不满足，舍去，
当时，，满足，也满足，
当时，，满足，也满足，
当时，，满足，也满足，
当时，，满足，但不满足，舍
当时，，满足，但不满足，舍，
当时，，不满足，
综上，，则的取值范围为故答案为：
二、选择题
13.C 14.B 15.C 16.D
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）单调递增
19.（1）选 （2）
（3）城市路段和高速上的车速分别为时，总耗电量最少为．
20．（1） （2） （3）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为＂型函数＂；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为＂型函数＂．
（1）判断函数是＂型函数＂还是＂型函数＂，并说明理由；
（2）若，证明：函数是＂型函数＂；
（3）若函数定义域为既是＂型函数＂又是＂型函数＂，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论.
【答案】（1）函数是＂型函数＂，不是＂型函数＂.
（2）证明见解析 （3）存在 ，证明见解析
【解析】（1）假设函数是＂型函数＂，则存在实数对，
使得对任意满足且的恒成立.
将代入可得：.
令，则当时，对任意恒成立，
所以函数是＂型函数＂.
假设函数是＂型函数＂，则存在实数对，
使得对任意满足且的恒成立.
将代入可得：.
因为的值随的变化而变化，不是一个常数，
所以不存在实数对使得对任意恒成立，
所以函数不是＂型函数＂.
因此，函数是＂型函数＂，不是＂型函数＂.
（2）若函数是＂型函数＂，则存在实数对（，
使得对任意满足且的恒成立.
已知，则.
对通分可得：
令，则上式可化为.
当时，，此时.
即存在实数对，使得对任意恒成立，
所以函数是＂型函数＂.因此，函数是＂型函数＂得证.
（3）因为是＂型函数＂，
所以，即.
因为是＂型函数＂，所以．即．
当时，．
当时，，则．
当时，
则
当时，则
不等式可化为即.
令，其对称轴为，函数图象开口向上.
当时，.
当时，.
因为在上单调递增，且，
所以存在），使得.
即当时，，不等式有解.
因此，存在整数，使得当时，不等式有解.

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