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罗店中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（每题3分）
1、函数的定义域为 .
2、已知，则 ．
3、在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为，则扇形的弧长为 ．
4、函数且的图象恒过定点 ．
5、是2的倍数，是6的倍数，则是的 条件.
6、若，则的最小值为 ．
7、把下列式子化为的形的： ．
8、一元二次方程的两个实根为，则 ．
9、函数是偶函数，且定义域是，则 ．
10、定义在上的奇函数，当时，（为常数），则 ．
11、已知是定义域为上的奇函数，且在上严格递减，若成立，则实数的取值范围是 ．
12、高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的美誉，用其名字命名的＂高斯函数＂：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为 ．
二、选择题（每题3分）
13、已知是第四象限的角，则点在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14、已知，则等于（ ）.
A． B． C． D．
15、关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ）.
A.幂函数的图象一定经过和 B.幂函数的图象一定关于轴或原点对称
C.幂函数的图象一定不经过第四象限 D.两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点
16、已知函数，若存在使得，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题
17、（分）已知全集为，集合．
（1）求；
（2）集合，且，求实数的取值范围。
18、（10分）已知函数的表达式为．
（1）证明：当时，函数在上是严格增函数；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
19、（10分）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
20、（12分）二十大指出，中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完。
（1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21、（12分）若函数满足：对任意正数，都有，且，则称函数为＂函数＂．
（1）判断函数与是否是＂函数＂；
（2）若函数为＂函数＂，求实数的取值范围；
（3）若函数为＂函数＂，且，求证：对任意，都有
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.必要非充分; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11、已知是定义域为上的奇函数，且在上严格递减，若成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵是定义域为上的奇函数，且在上严格递减，
即，解得，故答案为：．
12、高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的美誉，用其名字命名的＂高斯函数＂：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】，又，则，
所以，则，所以函数的值域为．
故答案为：．
二、选择题
13.B 14.D 15.C 16.A
15、关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ）.
A.幂函数的图象一定经过和 B.幂函数的图象一定关于轴或原点对称
C.幂函数的图象一定不经过第四象限 D.两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点【答案】C
【解析】对于，由幂函数的性质可知，幂函数的图像一定经过，不一定过点，例如，故错误，
对于，幂函数的图像既不关于轴对称，也不关于原点对称，故错误，
对于，由幂函数的性质可知，幂函数的图像一定不经过第四象限，故正确，
对于，幂函数与的交点为，，共3个，故错误，
故选：．
16、已知函数，若存在使得，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以与的图象关于直线对称，作出的图象如图所示．
所以．由，得，
所以，所以．
因为，所以，得，
所以，
设，所以，
因为对勾函数在上单调递减，所以，
所以．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）非奇非偶函数，证明略
19.（1） （2）
20、（12分）二十大指出，中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
【解析】（1）由题意知利润收入入总成本，
所以利润
故2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式为
（2）当时，，
故当时，；
当时，，
当且仅当，即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
21、（12分）若函数满足：对任意正数，都有，且，则称函数为＂函数＂．
（1）判断函数与是否是＂函数＂；
（2）若函数为＂函数＂，求实数的取值范围；
（3）若函数为＂函数＂，且，求证：对任意，都有
【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）对于函数，当时，
又
所以，故是＂函数＂；
对于函数，当时，
故不是＂函数＂；
（2）由是＂函数＂，可知
即对任意恒成立，
当时，，可得对任意恒成立，所以，
当时，由，
可得故，
又，故，
由，即对任意正数恒成立，可得，即，
综上所述实数的取值范围是；
（3）证明：由函数为＂函数＂，可知对任意正数，都有，且令，可得，即，
故对任意正整数与正数，都有
对任意，可得又因为，
所以
同理
所以．

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