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华二2025~2026学年高一上学期期末考试
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.已知全集，集合，则________．
2.已知，则是第________象限角．
3.已知是方程的两个根，则________．
4.函数的定义域为________．
5.已知，则________．
6.已知集合．若，则实数________．
7.若，则表达式的最大值为________．
8.已知，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是________．
9.若存在实数使得成立，则实数的取值范围是________．
10.设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________．
11.已知，且．若，则的最小值为________．
12.在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸→目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸→原始尺寸），则的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13.下列函数中，既是奇函数又是严格增函数的为（ ）.
A． B． C． D．
14.若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（ ）.
A． B． C． D．
15.若，则“”是“”的（ ）条件.
A.充要 B.充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分
16.对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：
命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；
命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（ ）.
A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确
C.命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误
三、解答题（本大题共有4题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）若角的终边经过点，求的值；
（2）已知，且为第二象限角，分别求和的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
若．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
可知．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知．
（1）若，求函数的定义域；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围。
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在人工智能领域，神经网络被广泛应用于图像识别、语音识别等任务．为了让神经网络能在计算能力有限的设备上运行，工程师们使用＂量化＂技术．量化就是将神经网络中的浮点数（小数）转换为整数，这样计算更快、更省电．考虑一个简单的量化神经网络，它只有一个输入和一个输出．输入是经过标准化处理的有理数，输出是整数．我们用函数来表示这个过程：输入一个有理数，经过量化网络后输出整数．
对于定义域为的函数，若对任意，当时，都有，则称在上单调递增；若对任意，当时，都有，则称在上单调递减.
（1）设其中表示不超过的最大整数，设，其中，互质．分别判断和在Q上是否单调递增，（无需说明理由）；
（2）设量化神经网络表示最接近输入值的整数（当输入恰好在两个整数中间时，规定输出值向偶数取整），例如：-4．判断的奇偶性，以及在有理数集上是否单调递增？说明理由.
（3）证明：对于任意量化神经网络，一定存在输入满足，使得输出满足：，其中表示中最大的数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.三; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.B 14.D 15.C 16.B
三、解答题（本大题共有4题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）若角的终边经过点，求的值；
（2）已知，且为第二象限角，分别求和的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由点和，得．
根据三角比的定义：．
因此，．
（2）已知，两边平方得：．
利用同角关系，代入得，解得．
由是第二象限角知，联立方程组：，
可得，因此．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
若．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）解不等式得：．
当时，，解不等式得．
因此，．
（2）解一元二次方程得或，由此得.
当时，，显然不成立；
当时，，此时，不满足题意；
当时，，因为此时，所以，解得．
综上所述：的取值范围为．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
可知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正切的二倍角公式可得：，所以．
（2）由正弦、余弦二倍角公式得：．
因此．
由于，在上述分式中的分子、分母同时除以，并代入，
可得.
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知．
（1）若，求函数的定义域；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）当时该函数才有意义，所以函数的定义域是．
（2）此时定义域为．由得，解得．综上，所求解集为．
（3）由得，即．
则，即．
当时，经检验确为原方程的解，成立；
当时，经检验确为原方程的解，成立；
当且时，考虑和.
由得总为原方程的解，故此时一定不满足原方程，从而，即．
综上所述：的取值范围是．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在人工智能领域，神经网络被广泛应用于图像识别、语音识别等任务．为了让神经网络能在计算能力有限的设备上运行，工程师们使用＂量化＂技术．量化就是将神经网络中的浮点数（小数）转换为整数，这样计算更快、更省电．考虑一个简单的量化神经网络，它只有一个输入和一个输出．输入是经过标准化处理的有理数，输出是整数．我们用函数来表示这个过程：输入一个有理数，经过量化网络后输出整数．
对于定义域为的函数，若对任意，当时，都有，则称在上单调递增；若对任意，当时，都有，则称在上单调递减.
（1）设其中表示不超过的最大整数，设，其中，互质．分别判断和在Q上是否单调递增，（无需说明理由）；
（2）设量化神经网络表示最接近输入值的整数（当输入恰好在两个整数中间时，规定输出值向偶数取整），例如：-4．判断的奇偶性，以及在有理数集上是否单调递增？说明理由.
（3）证明：对于任意量化神经网络，一定存在输入满足，使得输出满足：，其中表示中最大的数．
【答案】（1）在上是单调递增的，在上不是单调递增的；
（2）是奇函数，在上单调递增；（3）见解析．
【解析】（1）任取，则由函数的定义可知，即在上单调递增；
分别取，则，因此在上不是单调递增的．
（2）先证：是奇函数．
由于量化神经网络的定义域为，关于原点对称.
任取，不妨设，即，其中．下面分情况讨论：
当时，，又此时，故；
当时，设整数和中的偶数为，则.
又，且此时整数和中的偶数为，故；
当时，.又，则．
综上所述：对于任意，恒有，即是奇函数．
下面证明：在上单调递增．
任取，且．不妨设，其中．下面对分类讨论：
当时，由于，而，即；
当时，即，由的定义可知：．
综上所述：在上单调递增．
（3）给定量化神经网络，不妨设，否则可考虑新的量化神经网络，进行如下论证过程．
若，取，即得．
下面只需考虑的情形：
若存在，使得，取，即得结论；
若存在，使得，取，即得结论；
若对任意，都有，则在上的取值范围为，又函数值，故在上只能取有限个函数值．
注意到，中包含无限多个有理数，那么存在整数，使得是在中无限个点处的函数值，因此必定存在，且满足，使得，即得．
综上所述：原命题成立．

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