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格致中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分）
1.已知集合，，若，则______．
2.函数的定义域为______．
3.若，，则______．
4.若幂函数的图像经过点，则的值为______．
5.圆心角为，面积为的扇形的弧长为______．
6.方程的根，，则______．
7.已知，若函数是偶函数，则实数______．
8.已知两个非负实数、满足，则的最小值是______．
9.已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
10.对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．已知，，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是______．
11.定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，且，则不等式的解集为______．
12.某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到）
二、选择题：（本大题共4小题，第13-14题，每题3分，第15-16题，每题4分，满分14分）
13.若，则不等式的等号成立的一个充要条件为（ ）
A. B. C. D.
14.已知函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
15.若方程的两根为、，其中、为三角形内角，则实数的取值范围是（ ）
A.； B.；
C.； D.或．
16.如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“关系”的为（ ）
A.：对任意都有 B.：对任意都有
C.：对任意都有 D.：对任意都有
三、解答题：（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤）
17.（本题满分6分）已知为实数，且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．
18.（本题满分6分）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围．
19.（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分，满分14分）
人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离。若二维空间有两个点，，则之间的曼哈顿距离为：．之间的余弦距离为，
其中为之间的余弦相似度．
已知，，，，且，．
（1）若，，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）求之间的余弦距离；
（3）求之间的曼哈顿距离．
20.（本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）
已知函数的定义域、值域均为，定义集合．
（1）当，，求；
（2）当，，求；
（3）给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；
②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．判断这两个结论是否正确，并说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，且，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】由，可得,
令，则在上是严格增函数，
由，得，又，所以，解得．
12.某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到）
【答案】
【解析】设矩形的长与宽分别为和，则有，
故 平方整理得
所以
而，解得
二、选择题
13.C 14.A 15.C 16.C
16.如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“关系”的为（ ）
A.：对任意都有 B.：对任意都有
C.：对任意都有 D.：对任意都有
【答案】C
【解析】对于为假命题，也为假命题，故错误；
对于为真命题，且，
所以也为真命题，故错误；
对于为假命题，
且，所以为真命题，符合题意；
对于为真命题，也为真命题，故错误．故选：．
三、解答题
17.提示：反证法，前两式相加基本不等式，再平方即可
18.单调性定义，参变分离恒成立
19.（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分，满分14分）
人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离。若二维空间有两个点，，则之间的曼哈顿距离为：．之间的余弦距离为，
其中为之间的余弦相似度．
已知，，，，且，．
（1）若，，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）求之间的余弦距离；
（3）求之间的曼哈顿距离．
【答案】（1）之间的曼哈顿距离为4，余弦距离为 （2） （3）
【解析】（1）已知，根据曼哈顿距离的定义，，
可得：先计算，
根据余弦相似度的定义
可得
再根据余弦距离的定义，可得：
因此，之间的曼哈顿距离为4，余弦距离为
（2）已知），
且.
根据余弦相似度的定义可得
因为，所以
.
则，
又因为
所以
而
根据余弦距离的定义，可得：
因此，之间的余弦距离为
（3）根据曼哈顿距离的定义.
由
则.
因此，之间的曼哈顿距离为.
20.（本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）
已知函数的定义域、值域均为，定义集合．
（1）当，，求；
（2）当，，求；
（3）给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；
②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．判断这两个结论是否正确，并说明理由．
【答案】（1）
（2）时；当时，；当时，
（3）①正确；②错误．
【解析】（1），故，
（2）当时，，而
故
所以当时，，当时，
同理，当时，
即
令，有
故时，，当时，
综上知时；当时，；当时，
（3）对于①，假设在上单调递增函数，
对于任意实数，
因为，则，所以，故①正确；
对于②，设，当时，此时取，
则不满足
当时，，取，则，
因为，所以，所以,此时，不满足；
当时，，
取，则，不满足,
综上，不存在实数，使得对任意均有，故②错误．

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